专题04 双曲线16大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题04 双曲线16大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 双曲线的定义的理解 1．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 2．（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则___________. 5．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则___________． 题型2 双曲线的标准方程的求解 6．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 10．（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 题型3 曲线方程与双曲线 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 13．（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 15．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）曲线且. (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 题型4 双曲线中焦点三角形问题 16．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 17．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为___________. 20．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 题型5 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 21．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 22．（25-26高二上·广东广州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．以上答案都不对 23．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则____________． 25．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 题型6 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 26．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 27．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 28．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为____________． 29．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是___________． 30．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 题型7 求双曲线的轨迹方程 31．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·山西·期中）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 35．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 题型8 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线方程 36．（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 38．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 39．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则__________. 40．（25-26高二上·云南昭通·期中）（1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 题型9 利用双曲线的几何性质求标准方程 41．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 44．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 45．（25-26高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 题型10 求双曲线的离心率或其取值范围 46．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 47．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·河南漯河·期中）设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 50．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. (1)求双曲线的离心率； (2)点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 题型11 双曲线的应用 51．（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 52．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·江苏泰州·期中）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________．    55．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 题型12 直线与双曲线的位置关系 56．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 57．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 58．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为____________． 60．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 题型13 双曲线的弦长与“中点弦”问题 61．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________. 64．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 65．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 题型14 双曲线中的面积问题 66．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 67．（25-26高二上·湖南·期中）已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________. 68．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 69．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 70．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型15 双曲线中的参数范围及最值 71．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 72．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为____________． 73．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为____________. 74．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 75．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 题型16 双曲线中的定点、定值、定直线问题 76．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 77．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 78．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. (1)求双曲线的标准方程. (2)是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. (3)若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 79．（25-26高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． (1)若点在上，求的渐近线方程． (2)当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 80．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双曲线16大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 双曲线的定义的理解 1．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知P是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右焦点，若=15，则=（    ） A．31 B．27 C．3或27 D．3 【答案】B 【解题思路】由双曲线定义结合三角形边长关系计算即可得. 【解答过程】由双曲线定义可得， 则，即或， 又，则， 故. 故选：B. 2．（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解题思路】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【解答过程】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·广东惠州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，P是双曲线上的一点，且，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．13 【答案】B 【解题思路】由双曲线方程及焦距确定，再由双曲线定义可求. 【解答过程】由题设，解得，又且， 所以，所以， 又P是双曲线上的一点，所以， 又因为，所以，解得或， 当P在双曲线左支时，， 当P在双曲线右支时，， 所以，即不可能有，则. 故选：B. 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则___________. 【答案】6 【解题思路】先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【解答过程】双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6. 5．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则___________． 【答案】 【解题思路】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果. 【解答过程】根据双曲线方程，， ， 根据双曲线的定义，由已知， 又， 所以． 故答案为：.    题型2 双曲线的标准方程的求解 6．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【解答过程】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）与椭圆共焦点且过的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程可得焦点坐标，设双曲线方程为，根据题意列式求解即可. 【解答过程】由椭圆方程可知，即焦点坐标为， 设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 故选：C. 8．（25-26高二上·湖南·期中）双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．为直角三角形且其内切圆半径为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意得到，结合双曲线定义得到，，再根据内切圆半径和三角形面积公式得到，，求出双曲线的方程. 【解答过程】在中，直线的斜率为2，故⊥， 则，故， 又，所以，， 由勾股定理得，所以． 又内切圆半径为， 由三角形等面积法可得， 解得，故，，故双曲线的方程为. 故选：A． 9．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解题思路】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【解答过程】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 10．（25-26高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 题型3 曲线方程与双曲线 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线的标准方程即得. 【解答过程】由题，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 12．（25-26高二上·福建厦门·期中）若，则“”是“方程表示双曲线”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【解题思路】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分不必要条件的定义进行判断. 【解答过程】方程表示双曲线等价于，解得或， 所以“” 是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 13．（25-26高二上·吉林长春·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【解答过程】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 14．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据焦点在轴上的双曲线的特征列出不等式组，求解即得 . 【解答过程】因方程表示焦点在轴上的双曲线， 则可将其方程化为，需使，解得. 故答案为：. 15．（25-26高二上·浙江绍兴·期中）曲线且. (1)若曲线表示双曲线，求的取值范围； (2)当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出； （2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案. 【解答过程】（1）表示双曲线，则， 解得， 故的取值范围是； （2）时，曲线为双曲线， 设，，故， 因为， 所以， 解得， 故点的横坐标为. 题型4 双曲线中焦点三角形问题 16．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解题思路】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【解答过程】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 17．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【解答过程】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 18．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解答过程】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 19．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为___________. 【答案】36 【解题思路】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【解答过程】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【解答过程】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 题型5 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 21．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线右支上的一点到其右焦点的距离为9，则点到其左焦点的距离为（    ） A．17 B．19 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】根据双曲线第一定义求解即可. 【解答过程】由题意知，根据双曲线第一定义可知（分别为左､右焦点）， 已知，则. 故选：A. 22．（25-26高二上·广东广州·期中）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则的值为（   ） A．1 B．9 C．1或9 D．以上答案都不对 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义与性质计算即可. 【解答过程】由题意可知， 双曲线上任一点到右焦点的距离 ， 当且仅当时取得等号，即 由双曲线的定义可知或（舍去）. 故选：B. 23．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【解答过程】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 24．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，为线段的中点，为坐标原点，若，则____________． 【答案】 【解题思路】根据中位线的性质得出，再结合双曲线的定义求解即可. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在双曲线中，，由双曲线的定义可得， 故. 故答案为：. 25．（25-26高二上·云南昆明·期中）双曲线的左焦点为． (1)点P在双曲线上，求的最小值（请写出必要推导过程）； (2)过点作倾斜角为的直线l与C交于A，B两点，求． 【答案】(1)1 (2)3 【解题思路】（1）设，得到，结合即可求解； （2）根据直线的倾斜角求得斜率，进而根据点斜式写出直线的方程，与双曲线联立，结合韦达定理以及弦长公式即可求解． 【解答过程】（1）由题可知，， 设，则，即 或， ， 又或，所以时，取得最小值1； （2）双曲线的左焦点，又因为直线的倾斜角为，所以， 则直线的方程为， 联立直线方程与双曲线方程，得， 设，则， 则． 题型6 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 26．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解题思路】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 27．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【解答过程】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 28．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【解题思路】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【解答过程】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 29．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知是双曲线上的点，为双曲线的右焦点，点的坐标为，则的最小值是___________． 【答案】 【解题思路】根据已知求出的值.结合图象可知点应在双曲线的右支上，根据双曲线的定义可得.结合图象，以及两点间的距离公式，即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，，， 所以，，，.    如图，设双曲线左焦点为， 因为点在双曲线右支内部，要使最小，则点应在双曲线的右支上. 根据双曲线的定义可得，， 所以，. 所以，. 由图象可知，当三点共线且如图示位置时，有最小值. 又，所以， 所以，有最小值， 即有最小值. 故答案为：. 30．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【解答过程】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以 ，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9. 题型7 求双曲线的轨迹方程 31．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【解答过程】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 32．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 33．（25-26高二上·山西·期中）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【解答过程】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 34．（25-26高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【解题思路】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为：. 35．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【解题思路】（1）根据题意可得，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，即可得轨迹方程； （2）求直线与双曲线的交点，结合几何意义分析最值即可. 【解答过程】（1）圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 综上所述：， 可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，则， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）由题意可知：过点的直线方程为， 联立方程，解得或， 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则； 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为. 题型8 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、渐近线方程 36．（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件求出，再求渐近线方程. 【解答过程】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 37．（25-26高二上·重庆渝北·期中）若实数满足，则双曲线与的（   ） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【解题思路】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【解答过程】由，得，所以两双曲线的焦点均在轴上， 因为，所以两双曲线的焦距相等，故C正确， 而实轴长前者为8，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，故ABD错误， 故选：C． 38．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）双曲线的焦点到它的渐近线的距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【解答过程】由对称性，不妨取双曲线的右焦点，渐近线方程为， 所以所求距离为. 故选：C. 39．（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则__________. 【答案】5 【解题思路】利用双曲线的渐近线方程即可求解. 【解答过程】经化简双曲线的渐近线方程为， ∵已知渐近线是，解得. 故答案为：5. 40．（25-26高二上·云南昭通·期中）（1）求经过点，，且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程. （2）求方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标，离心率以及渐近线方程. 【答案】（1）. （2）双曲线的实轴长为，焦点坐标，，离心率为，渐近线为. 【解题思路】（1）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，代入方程即得双曲线方程； （2）由双曲线标准方程可得，根据双曲线的性质得到实轴长、焦点坐标、离心率与渐近线方程. 【解答过程】（1）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为． （2）由得，，， 故双曲线的实轴长为，焦点坐标，， 离心率为，渐近线为. 题型9 利用双曲线的几何性质求标准方程 41．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线，设双曲线方程为，分和，根据虚轴长求的值. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为即， 故可设双曲线的标准方程为：，. 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：； 若，则，由虚轴长 ，所以双曲线方程为：. 故选：D. 42．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【解答过程】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． 43．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【解题思路】设双曲线的方程为，由条件得到方程组，求出，得到答案. 【解答过程】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为：. 44．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【解答过程】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 45．（25-26高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，         ，，         所以，所以，         所以， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为，         将点代入上述方程，得，         所以，所以，             故所求双曲线的方程为. 题型10 求双曲线的离心率或其取值范围 46．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据几何关系建立方程式，分别解出、的值，即可求解的值. 【解答过程】因为，所以由，可知. 不妨设，则，故. 又由双曲线定义，得， 所以. 故选:C. 47．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知是双曲线右支上的一点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到的关系，即可得解. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，则，， 又因为为直角三角形，所以， 所以，解得， 所以， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 48．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围. 【解答过程】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 49．（25-26高二上·河南漯河·期中）设分别为双曲线的左､右焦点，点在的右支上，直线与的右支的另一个交点为，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】/ 【解题思路】根据双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【解答过程】由双曲线的定义， 所以，， 设，则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以， 在中，， 即，即，所以. 故答案为：. 50．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）设双曲线的半焦距为，直线过，两点，原点到直线的距离为. (1)求双曲线的离心率； (2)点在双曲线上，直线与双曲线相交于，两点，请问是否存在以为直径的圆经过坐标原点，若存在请说明理由，并求出实数的值. 【答案】(1)或 (2)存在，或 【解题思路】（1）直线方程为：，利用点到直线的距离公式得，化简得，两边除以得，求解即可； （2）先根据题意求出双曲线方程为，再与直线联立，根据和韦达定理求解. 【解答过程】（1）根据题意，直线方程为：，即， 又原点到直线的距离为，即， 则，又， 所以，则， 解得或，所以或； （2）当时，由可得， 双曲线经过点，则，解得可得， 所以双曲线方程为， 当时，由可得， 双曲线经过点，则，无解， 所以双曲线方程为， 联立方程。 整理可得： ，解得， 因为，不和双曲线的顶点重合，所以 根据韦达定理：，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，则， 解得或， 所以当或，存在以为直径的圆经过坐标原点. 题型11 双曲线的应用 51．（25-26高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【解题思路】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【解答过程】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D.    52．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B. 53．（25-26高二上·江苏泰州·期中）由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用渐近线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式求解即可. 【解答过程】由题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为，即， 故，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：B. 54．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________．    【答案】/ 【解题思路】根据题意可知，，设，结合双曲线的定义可得，结合勾股定理运算求解即可. 【解答过程】因为，    则，， 设，则，， 由双曲线的定义可得，， 则，可得， 即，， 在直角三角形中，则， 即，可得，即. 故答案为：. 55．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【解答过程】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 题型12 直线与双曲线的位置关系 56．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C.    57．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【解答过程】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 58．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】曲线表示双曲线的右支，联立，结合题意与右支交于两个不等的正根，结合判别式和两个正根求解即可． 【解答过程】曲线，则， 所以曲线表示双曲线的右支， 联立， 得， 因为直线与曲线有两个不同的交点， 所以，即，， 解得且， 又因为直线l：与双曲线右支相交， 则存在两个不等且不小于2的根，设两个交点为， 所以， 所以，解得或， 综上：或， 故选：B. 59．（25-26高二上·上海·期中）直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为____________． 【答案】或 【解题思路】对直线是否与双曲线渐近线平行分类讨论，利用方程根的个数即可得出实数的值. 【解答过程】易知双曲线的左、右顶点为，渐近线方程为； 显然直线过定点，当直线与渐近线平行时，满足题意，此时； 当直线与渐近线不平行时，此时， 联立，整理可得， 因此，解得. 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 60．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）联立方程组，消去， 整理得到，讨论和这两种情况，当时，则需要，计算得解； （2）联立方程组，消去，整理得到，设，则，利用弦长公式计算得解. 【解答过程】（1）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点； 当时，即时，则，即，解得， 综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或； （2）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 直线l：与双曲线C相交于A，B两点， 设，则， . 题型13 双曲线的弦长与“中点弦”问题 61．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 62．（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【解答过程】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 63．（25-26高二上·河南南阳·期中）过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________. 【答案】 【解题思路】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程. 【解答过程】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 64．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知条件建立关于的方程组，解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【解答过程】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 65．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【解答过程】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    题型14 双曲线中的面积问题 66．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解题思路】由，得为直角三角形，根据双曲线定义，再利用，以及勾股定理建立等量关系即可求解. 【解答过程】双曲线的左、右焦点分别为， 所以为的中点，又因为的面积为2，所以的面积为4. 又，所以， 所以为直角三角形，且. 设，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 67．（25-26高二上·湖南·期中）已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________. 【答案】 【解题思路】先求得左焦点的坐标，根据双曲线的定义求得的周长，根据直线的方程和双曲线方程，求得点的纵坐标，进而求得的面积. 【解答过程】双曲线，， 右焦点，设其左焦点为， 则， 当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限， 此时直线的方程为， 由，以及点在第一象限，可得点的纵坐标， 所以. 故答案为：. 68．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知双曲线E的标准方程为：，左右焦点分别是､，到双曲线渐近线的距离是1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若斜率为1的直线过点与双曲线E交于A､B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由点到直线的距离公式可得，代入可得双曲线的标准方程； （2）由弦长公式可得，由三角形面积公式计算即可. 【解答过程】（1）设 ，由已知得：， 双曲线E的渐近线方程为：，即 设到双曲线渐近线的距离是1. 由点到直线的距离公式得： 所以双曲线的标准方程为； （2）设， 由（1）及题设知：， 所以直线方程为：， ，消得： ， ， ， 又因为， ， 即的面积为. 69．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【解题思路】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以，解得，， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）证明：易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴. ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为. 70．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上． (1)求的方程． (2)过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为． （i）求证：． （ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）由已知可求得，进而由离心率求得，可求得的方程． （2）（i）设，将直线方程与的方程联立，由韦达定理可得，求得点的坐标，分与两种情况讨论可得结论；（ii）根据，，结合韦达定理进行整理，进而得到的取值. 【解答过程】（1）设的半焦距为． 因为在上，所以， 因为的离心率，即， 所以． 故的方程为． （2）（i）证明：由的方程知， 设． 由 得， 因为与的左支交于两点，且的渐近线方程为，可得， 即， 所以． 直线的方程为， 令，得， 所以，同理得． 所以 即． 当时，直线与轴垂直，与都在轴上，满足； 当时，有，也满足． 综上，． （ii）证明： 所以，即存在，符合条件．    题型15 双曲线中的参数范围及最值 71．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据渐近线和焦点得到，计算得到，再根据对勾函数性质计算得到答案. 【解答过程】双曲线的一条渐近线方程为，则， 双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上， 代入可得，解得，且， 故，所以，设， 则， 为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且， 当单调递减，故,即. 故选：C. 72．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为____________． 【答案】 【解题思路】求出直线的方程，利用双曲线的右支上一点到的距离恒大于，可得直线与其平行的渐近线的距离恒大于等于，进而可得出答案. 【解答过程】由题意，双曲线的渐近线方程为， 因为直线过且与的一条渐近线平行， 不妨设直线的方程为，即， 由的右支上一点到的距离恒大于， 可得直线到直线的距离恒大于等于， 直线到直线的距离， 所以，所以的最大值为. 故答案为：. 73．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【解答过程】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 74．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 75．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线的渐近线方程为，与轴的正、负半轴分别交于，两点，过点的直线与的右支交于，两点． (1)若直线的斜率存在，求出直线斜率的取值范围； (2)探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中，分别表示直线，的斜率）； (3)若直线，交于点，且，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)是， (3) 【解题思路】（1）设，，直线的方程为，与双曲线方程联立利用韦达定理可得答案； （2）由韦达定理代入可得答案； （3）设直线与直线的方程分别为，，联立两直线方程可得交点的横坐标为1，可得 ，即可求出的范围，从而得解. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的渐近线方程为，所以， 易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为， 联立双曲线与直线消元整理得， 所以，解得， 再由斜率存在以及可得，的取值范围为； （2）依题意，，，结合（1）由韦达定理可知， ，， 于是， 因此 ， 即是定值，定值为； （3）由（2）可知，， 令，则， 所以直线与直线的方程分别为，， 由，解得，即交点的横坐标为， 故 ， 又，即，即， 又，即，解得或， 又，所以， 故的取值范围为. 题型16 双曲线中的定点、定值、定直线问题 76．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【解题思路】（1）由双曲线的焦距为得到，再由其中一条渐近线方程为，得到求解； （2）设过P点的切线l的方程为，由动圆D的圆心到切线l的距离为，设直线，与双曲线的方程联立，结合韦达定理求得点B和C的坐标，写出直线BC的方程求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 77．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的下焦点为，若，求； (3)记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； （2）由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； （3）证明：由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 78．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. (1)求双曲线的标准方程. (2)是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. (3)若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 【答案】(1)； (2)存在实数使得为定值； (3)或. 【解题思路】（1）根据题意得，再结合解方程即可得答案； （2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值； （3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标. 【解答过程】（1）由题知，双曲线的焦点在轴上， 故焦点为，渐近线方程为 因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为， 所以，又因为， 所以，，， 所以双曲线的标准方程为，即 （2）由（1）知， 因为点是直线上一点，所以， 所以， 所以 ， 所以，当，即时，，为定值. 所以，存在实数使得为定值； （3）设直线的方程为， 联立方程得， 因为直线与双曲线相交于、两点， 所以，即， ，， 所以， 即，整理得，即， 解得或，满足判别式. 当时，即，解得，，即； 当时，即，解得，，即. 所以，当点或时，. 79．（25-26高二上·河北保定·期中）已知是双曲线上两个不同的点，为坐标原点，点． (1)若点在上，求的渐近线方程． (2)当四点共线时，，点． （i）求的方程； （ii）若三点共线，两点均不在轴上，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）动点在定直线上. 【解题思路】（1）直接将点代入双曲线方程求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，求出的横坐标，再运用弦长公式即可求解； （ii）设出直线,与双曲线方程联立，设出两点，表示出直线与及其交点,再运用韦达定理化简求解. 【解答过程】（1）因为点在上，所以． 又 ,所以, 故的渐近线方程为. （2）（i）直线的方程为． 由,得． 因为,所以, 所以, 解得, 故的方程为. （ii）证明：因为两点均不在轴上，所以直线的斜率不为0，则可设直线的方程为. 由得, 则. 设,则. 直线,直线, 由,得 , 解得, 故动点在定直线上． 80．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知是双曲线的左、右顶点，，点在上． (1)求的方程； (2)是左支上一点（异于点），设直线交直线于点，连接，直线与的另一个交点为，设直线的斜率分别为． （i）证明：为定值； （ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii）直线过定点，理由见解析 【解题思路】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，，利用斜率公式结合双曲线方程分析证明；（ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【解答过程】（1）因为，所以，则双曲线， 又因为点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）证明：由题意可知：，， 设，，， 则，，即， 且，， 可得， 又因为，则， 所以，为定值； （ii）设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 整理可得，解得， 所以直线：过定点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $