4.8图形的位似专项训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：4.8图形的位似 【思维导图】 【知识梳理】 一、位似的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 ✅ 关键点：位似一定相似，但相似不一定位似；位似是一种特殊的相似。 二、位似的性质 位似图形是相似图形，具备相似图形所有性质：对应角相等，对应边成比例，相似比 = 位似比。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 对应线段平行（或共线）。 位似中心可以在：图形内部、外部、边上、顶点上。 三、平面直角坐标系中的位似（高频考点） 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，位似比为 k： 原图形上点坐标(x,y)，位似图形对应点坐标为：(kx,ky) 或(-kx, -ky) (k>1)：放大；(0<k<1)：缩小 取正号：和原图在原点同侧；负号：异侧 ⚠️ 注意：如果位似中心不是原点，不能直接套用这个公式！ 四、画位似图形的步骤 确定位似中心； 找出原图关键点（顶点）； 分别连接位似中心和各顶点，延长（或截取），按位似比取对应点； 顺次连接新的对应点，得到位似图形。 一阶学习（基础训练） 1.如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（ ） A. B.或 C.或 D. 【答案】C 2.如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】】解：由题意， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3.如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 5.如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ，， ，， ． 故选：C． 6.如图，已知和是位似图形，位似中心为点O，且，则和的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的面积之比是， 故选：A． 7.如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的定义、相似比的定义是解题的关键．根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案． 【详解】解：右边的“”与左边的“”是位似图形，A是位似中心，位似比为． ， ， ， 故选：C． 8.如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【详解】解：， ， 四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ，即， ， 故选：C． 9.如图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，使得的边长是的边长的倍．设点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定及性质、坐标与图形性质，熟练掌握位似变换的性质是解答的关键．作轴于，轴于，根据相似三角形的性质求出，的长，得到点的坐标． 【详解】解：作轴于，轴于， ∵点的坐标是 点的坐标是， ∴， ， ∵的位似图形为， 的边长是的边长的倍 由题意得： 相似比为:， ∴， ∵轴于，轴于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 【答案】C 【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0）， 故选：C． 二阶学习（提升训练） 1.如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2.如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.如图，△与△是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为 　　． 【分析】根据位似图形的概念得到△△，再根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：△与△是位似图形，位似比为， △△，且， ， ． 故答案为：4.5． 4.在平面直角坐标系中，，，现以原点为位似中心画出，使与相似比为，则的对应点的坐标为 　　． 【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的的横纵坐标都乘以或得到的对应点的坐标． 【解答】解：以原点为位似中心画出，使与相似比为， 而， 的对应点的坐标为，或，， 即或． 故答案为：或． 三阶学习（培优训练） 1.如图，点O为△ABC内一点，点D，E，F分别在线段OA，OB，OC上，且满足． （1）求证：△DEF∽△ABC． （2）若△DEF的面积是3，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用＝＝，∠DOE＝∠AOB，可判断△ODE∽△OAB，根据相似三角形的性质得到＝＝，＝，＝，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【解答】（1）证明：∵＝＝，∠DOE＝∠AOB， ∴△ODE∽△OAB， ∴＝＝， 同理得＝，＝， ∴＝＝， ∴△DEF∽△ABC； （2）解：∵△DEF∽△ABC； ∴△DEF的面积：△ABC的面积＝（）2＝， ∴△ABC的面积＝3×9＝27． 2.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在边上找一点P，使； （2）画出以点O为位似中心，位似比为的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）取格点J，连接交于点P，点P即为所求； （2）利用位似变换的性质作出A，B，C的对应点即可． 【小问1详解】 如图，点P即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，即为所求． 3.在平面直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为，，． （1）用没有刻度的直尺作出△关于点的同向位似图形△，且位似比为； （2）画出△绕点顺时针旋转得到的△． 【分析】（1）找到位似中心点，把△的三边作关于位似中心对应的放大2倍即可得； （2）先根据旋转的性质分别画出点，，，再顺次连接即可得． 【解答】解：（1）△即为所作． ． （2）△即为所作． ． 4.如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标为，，． （1）以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为2的位似图形△． （2）顶点的坐标为 　　，△与的面积之比为 　　． 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）顶点的坐标为，△与的面积之比为， 故答案为：，． 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，关于轴的对称点，，再顺次连接，再写出三个顶点的坐标即可； （2）延长到使得，同法作出，即可解决问题； 【详解】（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作，    6.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：，如图所示， （2）解：如图所示，   ． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：，如图所示， （2）解：如图所示，   ． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．    (1)画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，关于轴的对称点，，再顺次连接，再写出三个顶点的坐标即可； （2）延长到使得，同法作出，即可解决问题； 【详解】（1）如图，即为所作， （2）如图，即为所作，    1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：4.8图形的位似 【思维导图】 位似中心在位似图形同侧 分类 位似中心在位似图形异侧 放大 位似图形 画图 缩小 性质 位似图形上任意一对对应点到位 似中心的距离之比等于位似比 【知识梳理】 一、位似的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在 同一条直线上)，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。 ☑关键点：位似一定相似，但相似不一定位似；位似是一种特殊的相似。 二、位似的性质 位似图形是相似图形，具备相似图形所有性质：对应角相等，对应边成比例，相似比 =位似比。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 对应线段平行（或共线）。 位似中心可以在：图形内部、外部、边上、顶点上。 三、平面直角坐标系中的位似（高频考点） 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，位似比为k:原图形上点坐 标(x,y),位似图形对应点坐标为：(kx,ky)或(-kx,-ky)(k>1):放大；(O<k<1): 缩小 取正号：和原图在原点同侧：负号：异侧 △注意：如果位似中心不是原点，不能直接套用这个公式！ 1 四、画位似图形的步骤 确定位似中心： 找出原图关键点（顶点）； 分别连接位似中心和各顶点，延长（或截取），按位似比取对应点： 顺次连接新的对应点，得到位似图形。 一阶学习（基础训练） 1如图，点E(-2,),F(l,-),以点0为位似中心，将△EF0放大为原来的2倍， 则点E的对应点B的坐标是() A(4,2) B（-2,4或(2，-4) c（-4,2)或(4，-2) D.(4,-2) 2.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点0为位似中心，位似比为2：3，若AB=3,则 DE的长为( D A.4 B.4.5 C.5 D.6 3.如图，五边形ABCDE与五边形A'B'CD'E'是位似图形，O为位似中心.若 AA'=24O ,则下列结论错误的是() D B A.∠ABC=∠AB'C' B.BC∥B'C DD'=2D'O BC=2B'C" D 4如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0.0)A(6.0),B(0,8), 以某点为位似中心， 作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为() B 8 C 0 A.(0,0）,2 &2,2 2 c.(2,2),2 。 5如图，△ABC三个顶点的坐标分别为1(-2,2)，B(-4,,C(1-),以点C为位 似中心，在x轴下方作把△ABC放大为原来的2倍的位似图形△A'B'C',则点B的坐标 为() 3 (C)0 A(3,-7)B(5,-7)c(5,-5)D(2-5) 6.如图，已知△ABC和△DEF是位似图形，位似中心为点O,且OA:AD=2:3,则 △ABC,ADEF 的面积之比是() D ! A 4 9 4 A.25 B.25 C.9 D. 2-5 7.如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5.若 BC=15 GH ,则 的长为() A.3 B.6 C.9 D.12 4 OE 4 8.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O,且EA3, FG=8BC ,则的长为() E A.6 B.7 C.14 D.16 9.如图，在△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是-1,0，以点C为位似 中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△ABC,使得△ABC的边长是△ABC的边 长的2倍.设点B的坐标是-3， 则点B的坐标是() A.3,-1 B.4,-1 c.5,-2 D.(6,-1 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'BC"D是位似图形.位似中心 是() 5 0987 6 5 4 32 A O 1 123 4 5 6 7891011x A.(8,0) B.(8,1) C.(10,0) D.(10,1) 二阶学习（提升训练） 1.如图，△ABC与ADEF是以点O为位似中心的位似图形，OB=BE,若SBc=2 则 2.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O,且△ABC与△DEF的周长之比是 4:3 AO:AD 则 的值为， 3.如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，若AB=3,则 DE的长为一· 6 A B D 三阶学习（培优训练) 1.如图，点O为△ABC内一点，点D,E,F分别在线段OA,OB,OC上，且满足 0D-0E-0p-1 0A OB OC 3 (1)求证：△DEF∽△ABC (2)若△DEF的面积是3，求△ABC的面积. D B C 2.在平面直角坐标系中，△4BC A(1,3),B(4,1),C1,1) 的三个顶点的坐标分别是 (1)在AB边上找一点P,使AP:BP=2:3: (2)画出△ABC 点0为位似中心，位似比为 :2△AB2C2 的 3.在平面直角坐标系中，△4BC的三个顶点坐标分别为A(-山，-2)，B(4,-),C(-3,2)」 (1)用没有刻度的直尺作出△ABC关于点A的同向位似图形△4BC,且位似比为2：1： (2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A,B,C2. 3 1.0 x2 x B L 8 4.如图，在直角坐标系中，△4BC各顶点的坐标为A(-1,),B(2,3),C(0,3) (1)以坐标原点O为位似中心，在x轴上方作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'. (2)顶点A的坐标为，△AB'C与△4BC的面积之比为一 y 6 4 C B A 1.23.45 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC的顶点都在格点上. (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1三个顶点的坐标： (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的△A2B2C2,且△A2B2C2 与△ABC的位似比为2， 9 6.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A0,2,B-2,4, C-1,6. (1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B,C1: (2)在网格内以点B为位似中心，画△A2B1C2使它与△A1BC1的位似比为2：1. 7如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A0,2,B-2,4, C-1,6. (1)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1: (2)在网格内以点B1为位似中心，画△A2B1C2使它与△A1B,C1的位似比为2：1. 10 8.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC的顶点都在格点上. B (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1三个顶点的坐标： (2)以点O为位似中心，在第一象限内画出与△ABC位似的△A2B2C2,且△A2B2C2 与△ABC的位似比为2. 11