3.7弧长及扇形的面积 专项训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：3.7弧长及扇形的面积 【思维导图】 【知识梳理】 一、相关概念 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆心角：扇形两条半径的夹角，记作n（单位：°）。 弧长l：扇形中弧的长度；r为圆的半径。 二、核心公式 ✅ 弧长公式 l= 含义：圆心角n对应的弧长，是整个圆周长2 r的。 ✅ 扇形面积（3 个） 角度制：S= 是整个圆面积 r2的 弧长版（考试高频）：S=lr 知道弧长和半径直接用，计算更省事. 一阶学习（基础训练） 1.如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（ ）厘米 A. B. C. D. 2.如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 3.如图，已知A，B，C为上的三点，且，点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当为直角三角形时，弧AP的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 二阶学习（提升训练） 1.如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是___．（结果保留） 2. 如图，正六边形内接于，已知的面积为，则阴影部分面积为______． 3. 若一个扇形圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是________．（结果保留） 4.物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 5.如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ________． 6.半径为6cm的⊙O中，45°圆心角所对的弧长为　 　 cm（结果保留π）． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，以B为圆心，AB长为半径画弧交边CD于点E，连结BE，则图中阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 8.正六边形的一个内角的度数为________°． 9.如图将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，点落在的中点上，若，则的长度为________． 10.已知：如图，为的直径，点C、D在上，且，，．则图中阴影部分的面积是____________． 11.已知扇形的圆心角是120°，半径是6cm，则它的面积是______（结果保留π）． 12.若一段圆弧的度数是120°，半径为6，则该圆弧的弧长是______. 13.若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为_________． （结果保留） 14.一个扇形弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 15.一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 16.如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是______． 19.已知圆的半径为，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长为_____． 20.如图，AB是的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为      . 21.折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 三阶学习（培优训练） 1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C逆时针旋转后的； （2）求点A的运动路径长．（结果保留） 2.如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． （1）仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 3.如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． （1）若点E是弧中点，求的长． （2）若，求弧的长． 4.如图，是直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 5.如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分面积． 6.如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且． （1）求证：； （2）若为，，求图中阴影部分的面积． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点的坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 8.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ___________ ； （2）求的长（结果保留π）． 9.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径; （2）求图中阴影部分的面积． 10.如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点若的度数，求的度数； 过点D作于点F，若，，求的长. 11.如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九年级上册第二单元：3.7弧长及扇形的面积 【思维导图】 【知识梳理】 一、相关概念 扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 圆心角：扇形两条半径的夹角，记作n（单位：°）。 弧长l：扇形中弧的长度；r为圆的半径。 二、核心公式 ✅ 弧长公式 l= 含义：圆心角n对应的弧长，是整个圆周长2 r的。 ✅ 扇形面积（3 个） 角度制：S= 是整个圆面积 r2的 弧长版（考试高频）：S=lr 知道弧长和半径直接用，计算更省事. 一阶学习（基础训练） 1.如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（ ）厘米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积，勾股定理，解题的关键是确定点的轨迹．设的半径为，的半径为，根据面积比面积大平方厘米，列式可得，再根据点在外经过的路径为半圆，可得，进而可求得的长． 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即， ， 点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，， ∴， 如图所示， ，即， ，解得（负值已舍去）， 故选：A． 2.如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 3.如图，已知A，B，C为上的三点，且，点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当为直角三角形时，弧AP的长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】解：当，连接OA，OD，如图所示， ，， ，点D为AB的中点， ， 点C，D，O共线． ， 是等边三角形， ，， ， 弧AP的长； 当时，则， 为直径， 弧AP的长 所以弧AP的长为或 故选： 3.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：l=． 故选D． 二阶学习（提升训练） 1.如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是___．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆心角，弧长公式，正多边形和圆的综合，掌握知识点是解题的关键． 令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，推导出为等边三角形，得到，则，得到“花瓣”图案的周长是，即可解答． 【详解】解：如图，令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，有 ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则“花瓣”图案的周长是． 故答案为：． 2. 如图，正六边形内接于，已知的面积为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的面积公式，正六边形内接于圆的性质及扇形面积公式．根据圆的面积公式求得圆的半径，从而得出阴影部分的圆心角为，最终利用扇形面积公式求得阴影部分的面积． 【详解】解：∵的面积为， ∴的半径为6， 又∵正六边形内接于， ∴阴影部分圆心角为， ∴， 故答案为：． 3. 若一个扇形圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是， 这个扇形的面积是， 故答案为：． 4.物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 根据题意使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 5.如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解． 【详解】解：是等腰直角三角形，且直角边长为， ，， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6.半径为6cm的⊙O中，45°圆心角所对的弧长为　1.5π　 cm（结果保留π）． 【分析】利用弧长公式求解． 【解答】解：45°圆心角所对的弧长为＝1.5π． 故答案为：1.5π． 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，以B为圆心，AB长为半径画弧交边CD于点E，连结BE，则图中阴影部分的面积为　6　 ．（结果保留π） 【答案】6． 【分析】利用勾股定理求出EC，证明∠EBC＝30°，再利用分割法求解即可． 【解答】解：∵四边形ABC都是矩形， ∴∠C＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝4， ∵BE＝BA＝4， ∴EC2， ∴BE＝2EC， ∴∠EBC＝30°， ∴∠ABE＝60°， ∴阴影部分的面积＝4×22×26． 故答案为：6． 8.正六边形的一个内角的度数为________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理， 先求出正六边形的内角和，再根据每一个内角都相等得出每个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， 所以每一个内角度数为． 故答案为：120． 9.如图将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，点落在的中点上，若，则的长度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、矩形的性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，熟记弧长公式，得到是解答的关键． 先利用矩形的性质得到，，再由旋转性质和中点定义得，，利用特殊角的锐角三角函数求得，则，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形矩形， ∴，， 由旋转性质得， ∵点落在的中点上， ∴， 在中，， ∴，则， ∴． 故答案为：． 10.已知：如图，为的直径，点C、D在上，且，，．则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理得出，利用勾股定理求出，进一步求出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：连接， ， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为∶ ． 11.已知扇形的圆心角是120°，半径是6cm，则它的面积是______（结果保留π）． 【答案】 cm2 【解析】 【详解】解：由题意得：n=120°，R=6，故可得扇形的面积S===12π（cm2）．故答案为12πcm2． 12.若一段圆弧的度数是120°，半径为6，则该圆弧的弧长是______. 【答案】 【解析】 【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的弧长， 故答案为：． 13.若扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为_________． （结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式以及弧长公式，设扇形半径为R，根据扇形面积公式求出R，再根据弧长公式求出对应的弧长即可． 【详解】解：设扇形半径为R， 由题意得，， ∴， ∴扇形的弧长为， 故答案为：． 14.一个扇形弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 15.一个扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积为____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可得． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径为2， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 16.如图，在正六边形中，以点为圆心，长为半径画弧，连结、．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理以及扇形面积，作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接，先求出，再利用圆周角定理得到，得到后，利用勾股定理求出，代入扇形面积公式即可． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 19.已知圆的半径为，圆心角为，则这个圆心角所对的弧长为_____． 【答案】π 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长计算公式． 根据弧长公式 进行计算． 【详解】由弧长公式，得 ． 故答案为：． 20.如图，AB是的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交于点E，若，则图中阴影部分的面积为      . 【答案】  【解析】解：连接OE，OC，BC， 由旋转知，， ，， ， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为： 21.折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 三阶学习（培优训练） 1.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出绕点C逆时针旋转后的； （2）求点A的运动路径长．（结果保留） 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换及弧长公式的应用，熟练掌握旋转的性质，找出关键点是解题的关键． （1）利用网格特点找出点A，B绕点C逆时针旋转后的点D，E，再顺次连接即可得到答案； （2）利用勾股定理先求得的长作为扇形的半径，再根据弧长公式求得结果． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：由网格图可知，， ∴点A的运动路径长， 即点A的运动路径长为． 2.如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． （1）仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； （2）的长度为______． 【答案】（1）①见详解；②见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，正方形的判定与性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先结合网格以及垂直平分线的性质，则外接圆的圆心是的垂直平分线的交点，即可作答． ②利用网格与勾股定理得出，以及，得四边形是正方形，故，即点M是的中点，再连接，所以，故平分即可作答． （2）结合正方形的性质，以及弧长公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：①的外接圆圆心，如图所示： ②在上作点，使平分，如图所示： 【小问2详解】 解：由（1）中的②得出四边形是正方形，， ∴， 则的长度． 3.如图，在中，，以为直径作半圆，交于点D，交于点E． （1）若点E是弧中点，求的长． （2）若，求弧的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的性质： （1）连接，，由圆周角定理可得，再根据勾股定理计算即可； （2）由等腰三角形的性质推出，得到，由平行线的性质推出，进而可得，再根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，， 为直径，点E是弧中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， |， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 4.如图，是直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧与圆周角的关系，等角对等边，等边三角形的性质与判定，求扇形面积； （1）延长交于点，根据垂径定理可得，根据已知可得，即可得出则，根据等角对等边，即可得证； （2）根据已知先证明是等边三角形，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ 5.如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 6.如图，在中，以边为直径作，交边于点D，延长交于点E，连交于点F，且． （1）求证：； （2）若为，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2）阴影部分的面积是 【解析】 【分析】（1）首先连接，再利用角度转化得到，即可得到，再利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形“三线合一”的性质，即可得到； （2）首先连接，，再发现阴影部分的面积是，即先根据已知条件利用三角函数求得的面积，再求得的大小，即可求得阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵为， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积是． 7.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）画出绕点B顺时针旋转后得到； （2）点的坐标为______； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质作图； （2）根据图形得出点的坐标； （3）根据勾股定理求出BC的长，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 由勾股定理，得， 点C经过的路径长 8.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ___________ ； （2）求的长（结果保留π）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、垂径定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，两条直线交于点P，根据图形求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，连接，分别作的垂直平分线，两条直线交于点P， 由图可知：圆心P的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴的长为． 9.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=，∠DPA=45°． （1）求⊙O的半径; （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 2 ;(2)π-2. 【解析】 【分析】（1）因为AB⊥DE，求得CE的长，因为DE平分AO，求得CO的长，根据勾股定理求得⊙O的半径 （2）连结OF，根据S阴影=S扇形– S△EOF求得 【详解】解：（1）∵直径AB⊥DE ∴ ∵DE平分AO ∴ 又∵ ∴ 在Rt△COE中， ∴⊙O的半径为2 （2）连结OF 在Rt△DCP中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴S阴影= 10.如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点若的度数，求的度数； 过点D作于点F，若，，求的长. 【答案】连接AD， 是圆的直径， ， ， 的度数， ， ； 连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的长  11.如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式．熟练掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理可知， 由等腰三角形的性质得到，再由弧，弦关系证明即可． （2）连接，过点作于点，证明等边三角形，由计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $