专题08 第三章 函数的概念与性质题型全归纳（专项训练30大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

专题08 第三章 函数的概念与性质题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 题型1 具体函数的定义域（重点） 2 题型2 抽象函数的定义域（重难） 2 题型3 相等函数（同一函数）的判断 3 题型4 求具体函数的值域（高频） 3 题型5 函数定义域与值域的综合（重难） 4 题型6函数定义域、值域中的含参问题（难点） 4 考点二 函数的表示法 题型7 表格法表示函数 5 题型8 图象法表示函数（重点） 6 题型9 求函数的解析式（重难） 7 题型10 分段函数问题（高频） 8 考点三 函数的单调性 题型11 判断函数的单调性（重难） 8 题型12 函数单调性的证明 9 题型13 复合函数的单调性 10 题型14 由函数的单调性求参（重难） 10 题型15 利用函数的单调性解决最值问题（高频） 11 题型16 利用函数单调性比较大小或解不等式（重难） 11 题型17函数不等式恒成立问题（高频） 12 题型18函数不等式能成立问题（高频） 12 考点四 函数的奇偶性 题型19 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 13 题型20利用函数的奇偶性求值和解析式（高频） 13 题型21利用函数的奇偶性求参数（重难） 14 题型22函数奇偶性与单调性的综合（重难） 14 题型23奇偶性、对称性的应用（高频） 15 考点五 幂函数 题型24 幂函数的概念及解析式 15 题型25 幂函数的图象（重点） 16 题型26 幂函数的性质及应用（高频） 17 考点六 函数的应用（一） 题型27 函数的实际应用（重难） 17 考点七 函数性质的综合 题型28函数性质的综合应用（重难） 18 题型29 抽象函数性质的综合问题（高频） 19 题型30 函数的新定义问题(难点) 20 综合攻坚·知能拔高……………………………………………………………………………………………21 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 ◆题型1 具体函数的定义域（重点） 1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设集合，集合B是函数的定义域，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ◆题型2 抽象函数的定义域（重难） 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. ◆题型3 相等函数（同一函数）的判断 1．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 3．（多选）（26-27高一上·河南开封·阶段检测）下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 ◆题型4 求具体函数的值域（高频） 1．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 6．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 7．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． ◆题型5 函数定义域与值域的综合（重难） 1．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）(多选)已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 4．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. ◆题型6函数定义域、值域中的含参问题（难点） 1．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 5．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 考点二 函数的表示法 ◆题型7 表格法表示函数 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 3．（26-27高一上·北京·期中）已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． ◆题型8 图象法表示函数（重点） 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 2．（26-27高一上·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ）    A． B． C． D． ◆题型9 求函数的解析式（重难） 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . ◆题型10 分段函数问题（高频） 1．（26-27高一上·四川·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 3．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 4.（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 5．（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 考点三 函数的单调性 ◆题型11 判断函数的单调性（重难） 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．(2026台州市黄岩中学高一月考)函数f(x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 4．(2026·全国高一课时练习)下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是( ) A．y=-3x-1 B．y= C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2 5．(2026·贵溪市实验中学高二期末)函数的单调递增区间是____________； ◆题型12 函数单调性的证明 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 2.（2026·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 3.(2026·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 4．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. ◆题型13 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． ◆题型14 由函数的单调性求参 1．（2026·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型15 利用函数的单调性解决最值问题 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 3．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． ◆题型16 利用函数单调性比较大小或解不等式（重难） 1．（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． ◆题型17函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． ◆题型18函数不等式能成立问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 4．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 考点四 函数的奇偶性 ◆题型19 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（ ） A． B． C． D． 2． （5-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ◆题型20利用函数的奇偶性求值和解析式 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 3．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 4．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． ◆题型21利用函数的奇偶性求参数（重难） 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 3．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 4.若函数是上的偶函数，则的值为______． ◆题型22函数奇偶性与单调性的综合（重难） 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ◆题型23奇偶性、对称性的应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 考点五 幂函数 ◆题型24 幂函数的概念及解析式 1.下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 3．（2026高一·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． ◆题型25 幂函数的图象（重点） 1.（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． ◆题型26 幂函数的性质及应用（高频） 1．（2026高二·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 2.（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 3．（多选）（2026高三·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 4.（2026高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 考点六 函数的应用（一） ◆题型27 函数的实际应用（重难） 1.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 2.（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 3.（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 考点七 函数性质的综合 ◆题型28函数性质的综合应用（难点） 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 3．（2026北京朝阳·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设， (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小. ◆题型29 抽象函数性质的综合问题（难点） 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 2．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 3.（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． ◆题型30 函数的新定义问题(难点) 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 2．（26-27高一上·全国·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 3．（25-26高一上·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 综合攻坚·知能拔高 1、 单选题 1．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·山东·期中）定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 8．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 二、多选题 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 11．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 13．（25-26高一上·云南大理·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·陕西西安·期中）若函数，则下列选项中正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．在区间上是增函数 D．若，则 15．（26-27高一上·广东·期中）已知函数的定义域为R，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 三、填空题 16．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 17．（26-27高一上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 18．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 19．（26-27高一上·北京·期中）已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 四、解答题 20．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 21.（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 23．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 24．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 25．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 26．（26-27高一上·湖南怀化·开学考试）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 第三章 函数的概念与性质题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 ◆题型1 具体函数的定义域（重点） 1．【答案】C 【详解】由函数有意义，可得，即,故, 因为，所以. 2．【答案】D 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 3．【答案】B 【详解】集合，， 所以，. ◆题型2 抽象函数的定义域（重难） 1．【答案】A 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 2．【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 3．【答案】 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 4．【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. ◆题型3 相等函数（同一函数）的判断 1．【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于C，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于D，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数. 2．【答案】D 【详解】A. 的定义域为R，的定义域为，二者定义域不同， 二者不表示同一个函数，故错误； B. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； C. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； D.，定义域为，则， ，定义域为，则，定义域以及对应关系均相同，二者表示同一函数，故正确； 3．【答案】BCD 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； ◆题型4 求具体函数的值域（高频） 1．【答案】B 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 2．【答案】 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 3．【答案】 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 4．【答案】 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 5．【答案】/ 【详解】令，则，， 当时，. 6．【答案】 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 7．【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． ◆题型5 函数定义域与值域的综合（重难） 1．【答案】A 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 2．【答案】AD 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 3．【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 4．【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 5．【答案】9 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. ◆题型6函数定义域、值域中的含参问题（难点） 1．【答案】D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 2．【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 3．【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 4．【答案】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 5．【答案】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 考点二 函数的表示法 ◆题型7 表格法表示函数 1．【答案】C 【详解】由表可知：， 故选：C. 2．【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C． 3．【答案】C 【详解】等于在“”中所出现的次数，则， 若在“”中出现次数超过次，不妨设出现次，则. 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 同理在“”中出现过、、次也不可能， 即不可能出现， . 同理，若出现次数超过次，不妨设出现次，即， 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 故不可能出现， . ， 在“ ”中至少出现了次， . 若或，即或出现了次，则或不为，矛盾， . ， ， “”仅有下列四种可能: ① ， ② ， ③ ， ④ ， 其中:① 中，出现次与矛盾，不可能; ② 满足题意; ③出现次与矛盾; ④ 中，出现次与矛盾; 故仅有“ ”满足题意， 故 . ◆题型8 图象法表示函数（重点） 1．【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 2．【答案】C 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 3．【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 4．【答案】C 【详解】对于A，由图1可得，当时，， 所以当时，，故错误； 对于B，由图1可得当时，，所以当时，，故错误； 对于C，由图1可得当时，，当时，， 所以当时，；当时，，选项C正确； 对于D，由图1可得当时，，则当时，，， 选项D错误. 故选：C. ◆题型9 求函数的解析式（重难） 1．【答案】D 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2．【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 3．【答案】 【详解】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. 4．【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 5．【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． ◆题型10 分段函数问题（高频） 1．【答案】A 【详解】因为函数 ，则， 所以. 2．【答案】D 【详解】由函数， 对于A，由，所以A不正确； 对于B，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可得，方程的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，可得定义域为，所以C不正确； 对于D，当时，函数为单调递增函数，所以； 当时，函数为单调递增函数，可得， 综上可得，函数的值域为，所以D正确. 故选：D. 3．【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 4.【答案】或/或 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 5．【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 考点三 函数的单调性 ◆题型11 判断函数的单调性（重难） 1．【答案】C 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．【答案】B 【详解】f (x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．【答案】D 【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递减，故A错误； 由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上单调递减，故B错误， 由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增. 故选：D. 5．【答案】 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调增区间为. ◆题型12 函数单调性的证明 1．【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 2.【证明】任取，. 又，，. ∴，则，即. ∴在区间上是增函数. 3.【证明】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 4．【详解】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. ◆题型13 复合函数的单调性 1．【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 2．【答案】C 【解析】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：. 3．【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 ◆题型14 由函数的单调性求参 1．【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2．【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 3．【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. ◆题型15 利用函数的单调性解决最值问题 1．【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 2．【答案】B 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 3．【答案】 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 4．【详解】(1)在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ◆题型16 利用函数单调性比较大小或解不等式（重难） 1．【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 2．【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 3．【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 4．【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. ◆题型17函数不等式恒成立问题 1．【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 2．【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 3．【答案】 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. ◆题型18函数不等式能成立问题 1．【答案】B 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 2．【答案】B 【详解】由不等式有实数解，则有实数解， 令函数，则， 当时，； 当时，； 当时，， 因此函数取最小值为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 3．【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 4．【详解】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 考点四 函数的奇偶性 ◆题型19 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1.【答案】C 【详解】对于A，函数定义域为，不可能是偶函数，不是A； 对于B，函数定义域为，值域是，不符合要求，不是B； 对于C，函数定义域为，是偶函数，值域为，符合要求，是C； 对于D，函数定义域为，是奇函数，不符合要求，不是D. 2．【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 3．【答案】B 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. ◆题型20利用函数的奇偶性求值和解析式 1．【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 2．【答案】 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 3．【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 4．【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    ◆题型21利用函数的奇偶性求参数（重难） 1．【答案】D 【详解】已知是上的奇函数，故且； 结合，将替换为得，可得， 则， 即的一个周期为4，故； 由可知关于直线对称，因此， 结合得，， 故； 当时，，代入得，即； 代入和，由得， 化简解得； 将代入，解得； 综上. 2．【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 3．【答案】 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 4.【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． ◆题型22函数奇偶性与单调性的综合（重难） 1．【答案】C 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 2．【答案】B 【详解】因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 3．【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 4．【答案】B 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. ◆题型23奇偶性、对称性的应用 1．【答案】A 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 2．【答案】A 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 3．【答案】A 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 考点五 幂函数 ◆题型24 幂函数的概念及解析式 1.【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2.【答案】27 【详解】由题知：，，所以. . 3．【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. ◆题型25 幂函数的图象（重点） 1.【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 2．【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 3.【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 4．【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． ◆题型26 幂函数的性质及应用（高频） 1．【答案】A 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 2.【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 3．【答案】BC 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 4.【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 考点六 函数的应用（一） ◆题型27 函数的实际应用（重难） 1.【答案】C 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 2.【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 3.【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 考点七 函数性质的综合 ◆题型28函数性质的综合应用（难点） 1．【详解】(1) 因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． (2)在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． （3）由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为 2．【详解】(1)证明：易知的定义域为， 要证明，只需证， 只需证， 只需证， 只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 3．【详解】(1)∵， ∴b=a+1. ∵f(x)≥0对任意实数x恒成立， ∴， 解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1. 故． (2)由(1)知f(x)=x2+2x+1， ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1． 由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或， 解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范围为． (3)∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴b=0． 又a>0, ∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数． 对于F(x),当x>0时，； 当x<0时,， ∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数， ∴在上为增函数． 由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0, 则有m>-n>0， ∴， ∴． ◆题型29 抽象函数性质的综合问题（难点） 1．【详解】(1)， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 2．【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 3.【详解】（1）因为， 所以, , . （2）令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. ◆题型30 函数的新定义问题(难点) 1．【详解】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. (2)证明：对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. (3)证明： 因为， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 2．【详解】(1)记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； （2）设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. (3)法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 3．【详解】（1） , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. （2）由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 综合攻坚·知能拔高 1、 单选题 1．【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 2．【答案】B 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 3．【答案】A 【详解】设，即，则， 所以函数的值域为． 4．【答案】A 【详解】因为函数​的定义域为，所以对任意实数x恒成立， 对于二次函数，其开口向上，要恒成立， 则， 解得. 若“函数定义域为”成立，即，必然满足，因此充分性成立； 若成立，比如取，不满足，对应存在小于的取值， 所以函数定义域不为，因此必要性不成立. 综上所述，“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 5.【答案】D 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 6．【答案】D 【详解】，是函数的对称轴. ，当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减. ，. 当时，；当或时，. ，或，解得或. 不等式的解集为. 7．【答案】A 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 8．【答案】D 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以. 当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 9．【答案】D 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 二、多选题 10．【答案】ABC 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．【答案】BD 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 12．【答案】ACD 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 13．【答案】BD 【详解】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 故选：BD. 14．【答案】ACD 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，的值域是，是非奇非偶函数，在区间上是增函数， 故AC正确，B错误； 对于D，当时，由，解得（舍去）； 当时，由，解得（舍去）或， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 15．【答案】ACD 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合，可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 即， 又，，故， 故，依次有， 所以，故C正确； 对D：令，得，得； 令，得，所以， 所以. 令，得； 用代替，，得. 因此，故D正确. 三、填空题 16．【答案】 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 17．【答案】 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 18．【答案】 【详解】对任意的实数，都有， 则在上为减函数， 可得： ，解得， 则实数的取值范围为. 19．【答案】 【详解】如图1所示，若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， ，此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为，如图2所示， ①当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需， 解得，结合得 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为. 四、解答题 20．【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. (2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 21.【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 22．【详解】（1）证明：因为， 令，则， 所以． （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增， 所以，解得. 所以不等式的解集为． 23．【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 24．【详解】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2)令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 25．【详解】(1)由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. (2)设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. (3) 由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 26．【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． （3）将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 第三章 函数的概念与性质题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 题型1 具体函数的定义域（重点） 2 题型2 抽象函数的定义域（重难） 2 题型3 相等函数（同一函数）的判断 3 题型4 求具体函数的值域（高频） 5 题型5 函数定义域与值域的综合（重难） 7 题型6函数定义域、值域中的含参问题（难点） 9 考点二 函数的表示法 题型7 表格法表示函数 11 题型8 图象法表示函数（重点） 12 题型9 求函数的解析式（重难） 15 题型10 分段函数问题（高频） 17 考点三 函数的单调性 题型11 判断函数的单调性（重难） 19 题型12 函数单调性的证明 21 题型13 复合函数的单调性 22 题型14 由函数的单调性求参（重难） 24 题型15 利用函数的单调性解决最值问题（高频） 25 题型16 利用函数单调性比较大小或解不等式（重难） 27 题型17函数不等式恒成立问题（高频） 28 题型18函数不等式能成立问题（高频） 30 考点四 函数的奇偶性 题型19 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 32 题型20利用函数的奇偶性求值和解析式（高频） 33 题型21利用函数的奇偶性求参数（重难） 35 题型22函数奇偶性与单调性的综合（重难） 36 题型23奇偶性、对称性的应用（高频） 38 考点五 幂函数 题型24 幂函数的概念及解析式 39 题型25 幂函数的图象（重点） 39 题型26 幂函数的性质及应用（高频） 41 考点六 函数的应用（一） 题型27 函数的实际应用（重难） 43 考点七 函数性质的综合 题型28函数性质的综合应用（重难） 45 题型29 抽象函数性质的综合问题（高频） 48 题型30 函数的新定义问题(难点) 50 综合攻坚·知能拔高……………………………………………………………………………………………54 常考题型·精准突破 考点一 函数的概念 ◆题型1 具体函数的定义域（重点） 1．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）设集合，集合B是函数的定义域，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数有意义，可得，即,故, 因为，所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 3．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 所以，. ◆题型2 抽象函数的定义域（重难） 1．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 2．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 4．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. ◆题型3 相等函数（同一函数）的判断 1．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）下列函数中，与相同的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于C，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于D，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A．和y＝ B．和y＝ C．和 D． 和 【答案】D 【详解】A. 的定义域为R，的定义域为，二者定义域不同， 二者不表示同一个函数，故错误； B. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； C. 和对应关系不同，二者不表示同一个函数，故错误； D.，定义域为，则， ，定义域为，则，定义域以及对应关系均相同，二者表示同一函数，故正确； 3．（多选）（26-27高一上·河南开封·阶段检测）下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； ◆题型4 求具体函数的值域（高频） 1．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 2．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 6．（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 7．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． ◆题型5 函数定义域与值域的综合（重难） 1．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）(多选)已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 3．（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 4．（23-24高一上·河南开封·期末）已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 【答案】（答案不唯一） 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. ◆题型6函数定义域、值域中的含参问题（难点） 1．（25-26高二下·重庆江津·期中）函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 4．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【答案】 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 5．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 考点二 函数的表示法 ◆题型7 表格法表示函数 1．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由表可知：， 故选：C. 2．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 故选：C． 3．（26-27高一上·北京·期中）已知函数由下表给出： 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等于在“”中所出现的次数，则， 若在“”中出现次数超过次，不妨设出现次，则. 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 同理在“”中出现过、、次也不可能， 即不可能出现， . 同理，若出现次数超过次，不妨设出现次，即， 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 故不可能出现， . ， 在“ ”中至少出现了次， . 若或，即或出现了次，则或不为，矛盾， . ， ， “”仅有下列四种可能: ① ， ② ， ③ ， ④ ， 其中:① 中，出现次与矛盾，不可能; ② 满足题意; ③出现次与矛盾; ④ 中，出现次与矛盾; 故仅有“ ”满足题意， 故 . ◆题型8 图象法表示函数（重点） 1．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 2．（26-27高一上·天津和平·开学考试）满足式子的图象形状大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 3．（24-25高一上·江西抚州·阶段检测）在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 4．（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由图1可得，当时，， 所以当时，，故错误； 对于B，由图1可得当时，，所以当时，，故错误； 对于C，由图1可得当时，，当时，， 所以当时，；当时，，选项C正确； 对于D，由图1可得当时，，则当时，，， 选项D错误. 故选：C. ◆题型9 求函数的解析式（重难） 1．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 3．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 【答案】 【详解】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 5．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． ◆题型10 分段函数问题（高频） 1．（26-27高一上·四川·期中）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数 ，则， 所以. 2．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 【答案】D 【详解】由函数， 对于A，由，所以A不正确； 对于B，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可得，方程的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，可得定义域为，所以C不正确； 对于D，当时，函数为单调递增函数，所以； 当时，函数为单调递增函数，可得， 综上可得，函数的值域为，所以D正确. 故选：D. 3．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）的值域为，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时：当时，指数函数单调递增，故，值域为 ， 当时，一次函数的斜率， 函数单调递减，最大值为， 当时 ，故值域为 ，，， 所以两部分值域的并集为 ，无法覆盖大于的实数， 值域不为，不符合题意. 当时：当时，指数函数单调递减，故，值域为 ， 时，一次函数斜率，函数单调递减， 最大值为 ，当时 ，故值域为 ， 若函数值域为，需两段值域覆盖全体实数，即满足， 由于，两边同乘得， 解得或（舍去），结合，得. 综上所述，的取值范围是. 4.（2026高一·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 5．（2026高一·江苏·专题练习）已知函数. (1)用分段函数的形式表示函数； (2)画出函数的图象，并写出函数的值域. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）由（1）得 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 考点三 函数的单调性 ◆题型11 判断函数的单调性（重难） 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．(2026台州市黄岩中学高一月考)函数f(x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B 【详解】f (x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．(2026·全国高一课时练习)下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是( ) A．y=-3x-1 B．y= C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2 【答案】D 【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递减，故A错误； 由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上单调递减，故B错误， 由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增. 故选：D. 5．(2026·贵溪市实验中学高二期末)函数的单调递增区间是____________； 【答案】 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调增区间为. ◆题型12 函数单调性的证明 1．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 2.（2026·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 【证明】任取，. 又，，. ∴，则，即. ∴在区间上是增函数. 3.(2026·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 【证明】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 4．（26-27高一上·北京·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【详解】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. ◆题型13 复合函数的单调性 1．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 2．（2025·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：. 3．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 ◆题型14 由函数的单调性求参 1．（2026·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. ◆题型15 利用函数的单调性解决最值问题 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 2．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 3．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【详解】(1)在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ◆题型16 利用函数单调性比较大小或解不等式（重难） 1．（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 4．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. ◆题型17函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 2．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 3．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【答案】 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. ◆题型18函数不等式能成立问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式有实数解，则有实数解， 令函数，则， 当时，； 当时，； 当时，， 因此函数取最小值为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 4．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 考点四 函数的奇偶性 ◆题型19 函数的奇偶性的定义与判断（重点） 1.下列函数是偶函数且值域是的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，函数定义域为，不可能是偶函数，不是A； 对于B，函数定义域为，值域是，不符合要求，不是B； 对于C，函数定义域为，是偶函数，值域为，符合要求，是C； 对于D，函数定义域为，是奇函数，不符合要求，不是D. 2．（25-26高二下·山西·期末）若定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数，则一定有（     ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】D 【详解】因为定义域均为的函数与分别为奇函数与偶函数， 则，. 对于A：因为， 可知为奇函数，故A错误； 对于B：例如，，则为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为， 可知为偶函数，故C错误； 对于D：因为， 可知为奇函数，故D正确. 3．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. ◆题型20利用函数的奇偶性求值和解析式 1．（25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 2．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 3．（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 4．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求的解析式； (2)写出的单调区间； (3)求出的值域． 【详解】（1）若，则，则， 因是偶函数，则， 则. （2）时，的图象开口朝上且对称轴为， 则的单增区间为，单减区间为， 因是偶函数，则的单增区间为，， 单减区间为，. （3）由的单调性以及偶函数的性质可知，， 故的值域为    ◆题型21利用函数的奇偶性求参数（重难） 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知是定义在上的奇函数，，当时，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】已知是上的奇函数，故且； 结合，将替换为得，可得， 则， 即的一个周期为4，故； 由可知关于直线对称，因此， 结合得，， 故； 当时，，代入得，即； 代入和，由得， 化简解得； 将代入，解得； 综上. 2．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 3．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 4.若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． ◆题型22函数奇偶性与单调性的综合（重难） 1．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 3．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 4．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. ◆题型23奇偶性、对称性的应用 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 3．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（   ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且， 又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称， 可得函数的图象关于对称，即， 因为，可得， 即，所以函数是以为周期的周期函数， 可得 因为，可得， 所以. 考点五 幂函数 ◆题型24 幂函数的概念及解析式 1.下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2.（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【详解】由题知：，，所以. . 3．（2026高一·河南·期末）若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. ◆题型25 幂函数的图象（重点） 1.（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，， 所以. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知幂函数的图象与x轴无交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用幂函数性质列式计算求解. 【详解】因为幂函数的图象与x轴无交点， 所以， 所以，即得 3.（2026高二·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 4．（2026高一·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． ◆题型26 幂函数的性质及应用（高频） 1．（2026高二·辽宁抚顺·期末）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（     ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】A 【详解】由题可知，解得或1.所以实数的值为0或1. 2.（2026高三·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 3．（多选）（2026高三·重庆·阶段检测）下列关于幂函数的说法正确的有（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数为偶函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【详解】A选项，的定义域为，A错误； B选项，，故值域为，B正确； C选项，定义域为，关于原点对称，又， 故为偶函数，C正确； D选项，不等式，故，解得或，D错误. 故选：BC 4.（2026高一·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【详解】（1）因为是幂函数，根据幂函数定义，则，系数为1， 所以，即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以. 代入得：. （2）因为原命题是假命题，所以其否定为真. 即：. 由（1）可知，，所以， 代入得：， 要小于函数在上的最小值. 易得，在单调递增， 所以最小值在时取到：， 所以. （3）因为，定义域为，函数在和上均单调递减， 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，由可得， 解得，则此时； 当，即时，恒成立， 当时，，无解， 综上：不等式的解集为 考点六 函数的应用（一） ◆题型27 函数的实际应用（重难） 1.（25-26高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 2.（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 3.（25-26高一上·广西河池·期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 考点七 函数性质的综合 ◆题型28函数性质的综合应用（难点） 1．（24-25高一上·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 【详解】(1) 因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． (2)在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． （3）由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，，其中. (1)证明：； (2)若函数的最大值为，求的值. 【详解】(1)证明：易知的定义域为， 要证明，只需证， 只需证， 只需证， 只需证，该式显然成立， 当且仅当时等号成立，故. （2）易知， 令， 由题意可知的最大值为， 则，所以， 而，故，即， 从而， 因为，当且仅当时等号成立， 由（1）知，当且仅当时等号成立， 故的值域为，故的值域为， 令，则， 令，则， 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 当时，的值域为， 此时的最大值为，符合题意； 故的值为或. 3．（2026北京朝阳·期末）已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),设， (1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围; (3)设mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)满足f(-x)=f(x),试比较F(m)+F(n)的值与0的大小. 【详解】(1)∵， ∴b=a+1. ∵f(x)≥0对任意实数x恒成立， ∴， 解得a=1． ∴f(x)=x2+2x+1. 故． (2)由(1)知f(x)=x2+2x+1， ∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1． 由g(x)在区间[-2,2]上是单调函数可得或， 解得k≤-2或k≥6． 故k的取值范围为． (3)∵f(-x)=f(x)， ∴f(x)为偶函数， ∴b=0． 又a>0, ∴f(x)在区间[0,+∞)为增函数． 对于F(x),当x>0时，； 当x<0时,， ∴,且F(x)在区间[0,+∞)上为增函数， ∴在上为增函数． 由mn<0,知m,n异号,不妨设m>0,n<0, 则有m>-n>0， ∴， ∴． ◆题型29 抽象函数性质的综合问题（难点） 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【详解】(1)， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 2．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 3.（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. ◆题型30 函数的新定义问题(难点) 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意实数，都满足，且当时，． (1)求的值，并判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上的单调性； (3)定义：若对任意的，且，都有，则称函数为上凸函数，试证明：函数是上的上凸函数． 【详解】（1）因为， 令可得，解得. 因为是定义在上的函数，而不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. (2)证明：对任意的，且， 令，则， 由知， 所以. 又当时，所以，即，所以， 所以函数在上单调递增. (3)证明： 因为， 所以要证，即证， 由（2）知函数在上单调递增， 所以即证，根据基本不等式知，该不等式恒成立， 所以函数是上的上凸函数． 2．（26-27高一上·全国·期中）俄国数学家切比雪夫（1821-1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.设是定义在上的连续函数，称为与直线的偏差.若存在使得，则称为直线的偏差点.记，若存在使得，则称为在切比雪夫意义下的最佳逼近直线. (1)函数，，，求，的偏差以及偏差点； (2)函数，，，求，的偏差的最小值，并求出取得最小值时的值； (3)证明：直线是函数在上的最佳逼近直线. 【详解】(1)记， 当时，又， 故，所以偏差为，偏差点为； （2）设， 当时，， 所以 ， 要使最大值（即偏差）最小，则，此时偏差最小值为. (3)法1：要证是在上切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则恒成立， 令， 因为，所以只要证， 即证，设， 则，，，所以， 即，当且仅当，即，等号成立. 法2：假设存在另一条直线，它与函数，的偏差小于， 则对于任意有，即（1），（2）， （3），由（1）（3）得，由（2）（3）得矛盾， 所以假设不成立，从而直线是函数在上的最佳逼近直线. 法3，令. 当，，其最大值只会在区间端点处产生，则， 表示到数轴上两数距离的最大值，为使该最大值最小，则取数轴上两数对应点中点对应数 1， 从而此时，取等号时； 当，，则其最大值可能在时产生， 从而，表示到数轴上数字距离的最大值. 为使该最大值最小，则应取三者中最大，最小两数所对应两点中点处所对应的数. 若，则，则此时， 当且仅当时取等号； 若，且，即时，，因，由双勾函数性质 可得，则，取等号时； 当时，注意到，则此时. 综上的最小值为，对应，即为的最佳逼近直线. 3．（25-26高一上·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【详解】（1） , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. （2）由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 综合攻坚·知能拔高 1、 单选题 1．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 2．（2027高三·全国·专题练习）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，即，则， 所以函数的值域为． 4．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）“函数的定义域为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为函数​的定义域为，所以对任意实数x恒成立， 对于二次函数，其开口向上，要恒成立， 则， 解得. 若“函数定义域为”成立，即，必然满足，因此充分性成立； 若成立，比如取，不满足，对应存在小于的取值， 所以函数定义域不为，因此必要性不成立. 综上所述，“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 5.（25-26高一上·湖南·阶段检测）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 6．（26-27高一上·山东·期中）定义域为的函数满足，，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，是函数的对称轴. ，当时，， 函数在上单调递增，则函数在上单调递减. ，. 当时，；当或时，. ，或，解得或. 不等式的解集为. 7．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 8．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以. 当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 9．（26-27高一上·上海浦东新·开学考试）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则；…… 所以函数的图象如图所示，函数表示恒过的直线， 若方程有三个不同的实根，则函数与函数有且仅有三个交点， 由图可得，当直线过点时，；当直线过点时，； 当直线过点时，；当直线过点时，； 则实数的取值范围是或，故选D. 二、多选题 10．（2026·江苏淮安·一模）幂函数（为常数），则（    ）. A．当时，是奇函数 B．的图象过定点 C．当时，的值域为 D．若，则 【答案】ABC 【详解】A：当时，，此时该函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； B：因为，所以的图象过定点，故B正确； C：当时，，此时该函数的定义域为， 因为该函数是定义域内的增函数， 所以有，因此的值域为，故C正确； D：当时，幂函数在上单调递减， 因为，所以，故D错误. 11．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 12．（25-26高二下·全国·期末）已知为奇函数，为偶函数，且均为非零函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【详解】设，， 由题意得，即①， ，即②， ②除以①得，即为奇函数，A正确； 由上并结合“同偶异奇”知与奇偶性相异，故B错误， 当为奇函数，为偶函数时，为偶函数，为偶函数， 满足为奇函数，为偶函数， 当为偶函数，为奇函数时，为偶函数，为偶函数， 不满足为奇函数，故C，D正确. 13．（25-26高一上·云南大理·期中）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于定义域上的任意，都有在定义域上，且恒有，即，则是奇函数； 对于定义域上的任意，当时，恒有，则函数为减函数，所以满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”． 对于A，是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件； 对于B，是奇函数，在定义域上是减函数，满足条件； 对于C，是偶函数，不满足条件； 对于D，作出函数的图象，如下图， 由图象知函数既是奇函数又是减函数，满足条件． 故选：BD. 14．（25-26高一上·陕西西安·期中）若函数，则下列选项中正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．在区间上是增函数 D．若，则 【答案】ACD 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，的值域是，是非奇非偶函数，在区间上是增函数， 故AC正确，B错误； 对于D，当时，由，解得（舍去）； 当时，由，解得（舍去）或， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 15．（26-27高一上·广东·期中）已知函数的定义域为R，满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合，可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 即， 又，，故， 故，依次有， 所以，故C正确； 对D：令，得，得； 令，得，所以， 所以. 令，得； 用代替，，得. 因此，故D正确. 三、填空题 16．（26-27高一上·北京·期中）若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 17．（26-27高一上·北京·期中）设是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】由图可知在上，的解集为， 因为是定义在上的偶函数， 所以在上，的解集为， 所以不等式的解集为. 18．（26-27高一上·湖北·期中）已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】对任意的实数，都有， 则在上为减函数， 可得： ，解得， 则实数的取值范围为. 19．（26-27高一上·北京·期中）已知，函数，（1）若，则的单调递增区间是______. （2）若对任意实数，方程有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】如图1所示，若，则 ， 当时，，开口向上，对称轴，在单调递增； 当时，无单调增区间； 综上所述，若，则的单调增区间为. （2）对任意实数，方程有解，的值域为， 时，在上单调递减， ，此时， 若的值域为，则时，的最小值小于等于. 开口向上，对称轴为，如图2所示， ①当时，在单调递减，， 此时只需，解得，结合得； ② 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，此时只需， 解得，结合得 综上所述：的取值范围为，即的取值范围为. 四、解答题 20．（26-27高一上·辽宁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性. 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则. 则. 又，为奇函数，满足题意. 所以. (2)单调递增. 取任意，且， 则. 因为，所以. 因为，所以，即. 所以. 所以函数在区间上单调递增. 21.（25-26高一上·河北承德·期末）近几年，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗．哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力．为了迎接全国游客，某工厂计划在2026年利用3D技术生产哈尔滨纪念徽章，通过调研分析：生产徽章全年需要投入固定成本8万元，生产徽章（万件），其他成本为（万元），且经调研可知每个哈尔滨纪念徽章的售价为12元，且每年内生产的徽章当年全部销售完． (1)求2026年的利润（万元）关于年产量（万件）的表达式； (2)2026年的年产量为多少万件时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）由题意，总收入为（万元）． 当时，； 当时，． 所以2026年的利润 （2）当时，，当时，利润最大，最大为万元． 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，最大为25万元． 因为，所以年产量为4万件时，利润最大，最大为25万元． 22．（26-27高一上·广东·期中）已知在上有意义，单调递增且满足，． (1)求证：； (2)求不等式的的解集． 【详解】（1）证明：因为， 令，则， 所以． （2）因为，， 所以可化为. 又函数在区间上单调递增， 所以，解得. 所以不等式的解集为． 23．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 24．（26-27高一上·辽宁·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【详解】(1)在上是单调递减的函数，证明： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数. (2)令，得，所以. 令，得， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以. 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 25．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【详解】(1)由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. (2)设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. (3) 由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 26．（26-27高一上·湖南怀化·开学考试）我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】(1)点是“靓点”，证明如下： 点为“靓点”， ， ，， 将代入上式，得， ， 点是“靓点”． (2)证明：将代入，得， 整理得， ， 判别式 ， ，， ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， 方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又，两个不同的对应两个不同的， 函数的图象上总存在两个不同的“靓点”． （3）将代入得，， 整理得， 关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， 令，则方程有两个不相等的实数根，， ， 或， 将代入得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， （不符合题意，舍去）或， 的值为． ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $