11.6正态分布 课件-2027届高三数学一轮复习

11.6　正态分布 第十一章 2027 课标要求 1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义. 备考指导 正态分布在高考中一般以选择题、填空题的形式进行考查,难度不大.也可能出现在概率解答题中的某一环节,尤其对于正态分布的3σ原则要引起重视. 本节常利用对称性、间接法进行概率求解,素养方面要加强逻辑推理、直观想象和数学建模的培养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.正态密度函数及其图象 (1)正态密度函数的解析式为 ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数. (2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线. 2.正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 问题思考1 若随机变量X~N(μ,σ2),则参数μ和σ的意义是什么? μ和σ分别为随机变量X的均值和标准差. 3.正态曲线的特点 (1)曲线在x轴的上方,曲线与x轴围成的面积总为1; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)曲线在x=μ处达到峰值 (4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. 问题思考2 参数μ,σ对正态曲线的位置和形状有何影响? (1)当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图①所示. (2)当μ一定时,正态曲线的形状由σ确定.σ越小,峰值越高,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中;σ越大,峰值越低,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越分散,如图②所示. 图① 图② 4.3σ原则 假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则. 【知识巩固】 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)随机变量X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.(　　) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积随参数μ,σ的变化而变化.(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称.(　　) √ × √ 2.(2021新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　) A.σ越小,该物理量在一次测量中在区间(9.9,10.1)的概率越大 B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中落在区间(9.9,10.2)与落在区间(10,10.3)的概率相等 D 对于A,因为σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在区间(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确. 对于B,由正态曲线的对称性,可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确. 对于C,由正态曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确. 对于D,因为该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.0)的概率与落在区间(10.2,10.3)的概率不同,所以该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.2)的概率与落在区间(10,10.3)的概率不同,故D错误. 3.(多选)已知甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布 ,其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(　　)   A.乙类水果的平均质量为0.8 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右 C.μ1<μ2 D.σ1>σ2 ABC 因为甲的图象关于直线x=0.4对称,乙的图象关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C正确. 因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”, 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右,σ1<σ2, 故B正确,D错误. 4.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(-1<X<2)=　　　　. 5.设某城市居民私家车的平均每月汽油费用为随机变量X(单位:元),经统计, X~N(520,14 400),从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本,则平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有　　　　　辆.  0.3 由随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,可得 , 所以P(-1<X<2)=0.5-P(X<-1)=0.3. 6 827 因为X~N(520,14 400),所以μ=520,σ=120, 所以P(400<X<640)=P(520-120<X<520+120)≈0.682 7. 所以平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有 10 000×0.682 7=6 827(辆). 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 正态曲线及其性质 例1　(多选)已知三个正态密度函数 ,x∈R(i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)   　　　　　 　　　　　　　　　 A.σ1=σ2=σ3 B.σ1=σ2<σ3 C.μ1=μ2>μ3 D.μ1<μ2=μ3 BD 观察图象可知μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3. 能力形成点1 能力形成点2 解题心得对于正态曲线,首先应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ,二是峰值为 .这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,然后根据参数对图象影响的规律进行判断. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练1 设随机变量 ,X,Y的密度曲线如图所示,则有(　　)   A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 A 根据正态曲线的特点,观察题中图象可知μ1<μ2,σ1<σ2. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点2 利用正态曲线的对称性求概率 例2　(多选题)坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌,斜方肌下束.小明是一个健身爱好者,他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位:kg)符合正态分布N(27.5,4),下列说法正确的是(　　) 参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.997 3 A.配重的平均数为4 kg B.P(23.5<X≤29.5)≈0.818 6 C.σ=2 D.1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的有135人 BC 能力形成点1 能力形成点2 对于A项,由配重X符合正态分布N(27.5,4)可知,配重的平均数为27.5 kg,故A项错误; 对于B项,由配重X符合正态分布N(27.5,4)可知μ=27.5,σ=2, 故P(23.5<X≤29.5)=P(μ-2σ<X≤μ+σ) =P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] ≈0.954 5-(0.954 5-0.682 7)=0.818 6, 故B项正确,C项正确; 对于D项,因为P(X>33.5)=P(X>μ+3σ)=[1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)]≈(1-0.997 3) =0.001 35,故1 000个使用该器材的人中,配重超过33.5 kg的约有1 000 ×0.001 35=1.35≈2人,故D项错误.故选BC. 能力形成点1 能力形成点2 拓展延伸 设随机变量X~N(1,22),若P(X>c+1)=P(X<c-1),求c的值. 解 因为X~N(1,22), 所以μ=1. 又P(X>c+1)=P(X<c-1), 即c=1. 能力形成点1 能力形成点2 解题心得利用正态分布求概率的两种方法 (1)对称法:已知X~N(μ,σ2),因为正态曲线关于直线x=μ对称,所以X的取值在关于直线x=μ对称的区间上的概率相等. (2)3σ法:已知X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 能力形成点1 能力形成点2 对点训练2 已知随机变量X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,则P(X>3)=(　　) A 能力形成点1 能力形成点2 第三环节　学科素养提升 正态分布的实际应用 典例1　(多选)已知在某市的一次摸底检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是(　　) 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.该市学生数学成绩的均值为100 B.该市学生数学成绩的标准差为100 C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8 D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案:AC 解析:依题意,μ=100,σ=10, 故该市学生数学成绩的均值为100,标准差为10, 故A正确,B错误. 因为X~N(100,100), 所以P(X<100)=P(X≥100)=0.5, P(90≤X≤110)≈0.682 7, P(80≤X≤120)≈0.954 5, 所以该市学生数学成绩不及格的人数比优秀的人数多很多,故D错误. 典例2　有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求: (1)这批零件中尺寸在18~22 mm的零件所占的百分比; (2)若规定尺寸在24~26 mm的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 解:(1)因为X~N(20,4),所以μ=20,σ=2, 所以P(18≤X≤22)≈0.682 7, 所以这批零件中尺寸在18~22 mm的零件所占的百分比约为68.27%. (2)因为P(16≤X≤24)≈0.954 5, P(14≤X≤26)≈0.997 3, 所以P(24≤X≤26)= [P(14≤X≤26)-P(16≤X≤24)]≈0.021 4. 所以这批零件中尺寸在24~26 mm的零件大约有5 000×0.021 4=107(个). 解题心得解决正态分布的实际应用问题,关键是将待求问题的正态变量的取值范围向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间进行转化,在此过程中用到转化与化归思想和数形结合思想. 本 课 结 束 f(x)= ; N(μ1,), N(μ2,) μ==2 φi(x)= X~N(μ1,),Y~N(μ2,) 所以=1, A.-a B.1-a C.a D.+a 因为X~N(1,σ2),所以μ=1, 所以P(X>1)=,P(1<X<3)=P(-1<X<1)=a, 所以P(X>3)=P(X>1)-P(1<X<3)=-a. 所以P(X≥90)=P(90≤X≤110)+P(X≥100)≈0.841 35>0.8, 即该市学生数学成绩及格率超过0.8,故C正确. 因为P(X<90)=P(X<100)-P(90≤X≤110)≈0.158 65, P(X≥120)=P(X≥100)-P(80≤X≤120)≈0.022 75, $