第10章 第7节 正态分布-2027年高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“正态分布”专题，依据课标要求梳理了正态分布的定义、性质、3σ原则及均值方差含义，对接高考评价体系分析了性质判断、概率计算、实际应用三大高频考点，归纳了对称性质应用、3σ原则计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题（如2024新高考Ⅰ卷）与模拟题结合的训练体系，通过例2利用正态分布对称性求概率、例3实际数据均值方差计算及3σ原则应用，培养学生数学思维和数据观念，帮助掌握答题技巧，教师可据此系统教学，提升复习效率。

第10章 第7节　正态分布 2027 高考总复习 目录索引 课表解读 课前自测 知识梳理 考点突破 课标解读　 1.了解服从正态分布的随机变量,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义. 课前自测 1.(人教A版选择性必修第三册习题7.5第2题改编)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名该市高二年级的男生,则其身高落在区间(175,180)内的概率约为(　　) (附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5) A.0.045 6 B.0.135 9 C.0.271 8 D.0.317 4 B 解析 由题意知, P(175<X<180)=P(μ+σ<X<μ+2σ)=≈0.135 9. 2.(人教A版选择性必修第三册7.5节练习第1题)设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为　 　　　　 ,P(X≤0)=　　　 ,P(|X|≤1)=　　 　　, P(X≤1)=　　　 ,P(X>1)=　　　 .(精确到0.000 1)  f(x)=　 0.5 0.682 7 0.841 3　 0.158 7 解析 由X~N(0,1),知μ=0,σ=1, ∴X的密度函数为f(x)=. ∵μ=0,∴P(X≤0)=0.5.∵|X|≤1,∴-1≤X≤1,∴P(|X|≤1)=P(0-1≤X≤0+1)≈0.682 7, ∴P(X>1)=≈0.158 7. ∴P(X≤1)=1-P(X>1)≈0.841 3. 知识梳理 1.正态分布的定义及表示 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　.  服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量 X~N(μ,σ2) 2.正态曲线及其特点 (1)正态曲线 函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线. (2)正态曲线特点 ①曲线位于x轴上方,与x轴不相交. 当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴. ②曲线与x轴之间的区域的面积为1. ③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. ④曲线在x=μ处达到峰值(最大值). ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示. 图1 图2 3.3σ原则 假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地, (1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7. (2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. (3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 考点突破 考点一　正态分布的性质 例1　(2025·四川成都模拟)已知甲、乙两批袋装食盐的质量(单位:g)分别服从正态分布N(μ甲,)和N(μ乙,),其正态曲线如图所示,则(　　) A.μ甲>μ乙,σ甲>σ乙 B.μ甲>μ乙,σ甲<σ乙 C.μ甲<μ乙,σ甲>σ乙 D.μ甲<μ乙,σ甲<σ乙 解析 由对称轴位置,甲的平均数小于乙的平均数,即μ甲<μ乙,由乙“高瘦”,甲“矮胖”,即乙数据更加集中,方差比甲小,即σ甲>σ乙.故选C. C 规律方法　正态分布曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且弯曲较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭. [对点训练1]设三个正态分布N(μ1,)(σ1>0),N(μ2,)(σ2>0),N(μ3,)(σ3>0)的密度函数图象如图所示,则μ1,μ2,μ3按从小到大的顺序排列是　　　　____　;σ1,σ2,σ3按从小到大的顺序排列是　　　　　.  μ2<μ1<μ3 σ1<σ3<σ2 解析 ∵正态曲线关于直线x=μ对称,且μ越大,图象越靠近右边,则μ2<μ1<μ3. ∵σ的值越小,图象越“瘦高”, ∴σ1<σ3<σ2. 考点二　正态分布的概率计算 例2　(1)(2025·广东茂名模拟)随机变量ξ~N(4,2),若P(ξ>2a-1)=P(ξ<a),则实数a的值为(　　) A.2 B. C.3 D.4 C 解析 因为ξ~N(4,2),所以随机变量ξ的正态曲线关于直线x=4对称, 故=4,则a=3.故选C. (2)(多选题)(2024·新高考Ⅰ,9)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 BC 解析 由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3, ∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7. ∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误. P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确.∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1) =P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC. 教考链接 (人教A版选择性必修第三册习题7.5第2题)某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率: (1){165<X≤175};(2){X≤165};(3){X>175}. 解 (1)P(165<X≤175)≈0.682 7. (2)P(X≤165)=P(X≤170)-P(165<X≤170)≈×(1-0.682 7)≈0.158 7. (3)P(X>175)=×[1-P(165<X≤175)]≈×(1-0.682 7)≈0.158 7. 规律方法　正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个. [对点训练2](1)(2025·吉林模拟)为了解教育改革制度出台后学生每周的锻炼时长情况,从某市中小学抽取样本,经分析得到改革后学生每周的锻炼时长X(单位:小时)近似服从正态分布N(14,σ2),若P(X<18)=a,则P(10≤X≤14)=(　　) A.a- B. C.1- D. A 解析 由题知,P(X≤14)=,且P(X≤10)=P(X≥18)=1-P(X<18)=1-a, 所以P(10≤X≤14)=-(1-a)=a-.故选A. (2)(2025·湖南师范大学附属中学模拟)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为(　　) A.150 B.200 C.300 D.400 C 解析 因为X~N(105,σ2),所以P(X<90)=P(X>120)=,则P(90≤X≤120)=1-,所以P(90≤X≤105)=P(90≤X≤120)=,所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1 000×=300.故选C. 考点三　正态分布的实际应用 例3　某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备,用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件,从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:μm). 97　97　98　102　105　107　108　109　113　114 (1)计算平均值μ与标准差σ; (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ,σ2),该团队到工厂安装调试后,试打了5个零件,度量其内径分别为(单位:μm)86,95,103,109,118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么? 参考数据:P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,0.954 53 ≈0.87,0.997 34≈0.99,0.0462≈0.002. 解 (1)由题可得, μ=×(97+97+98+102+105+107+108+109+113+114)=105. σ2=×(64+64+49+9+0+4+9+16+64+81)=36,则σ=6. (2)需要进一步调试. ∵Z服从正态分布N(105,36),P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3, ∴内径在[87,123]之外的概率约为0.002 7,而86∉[87,123],根据3σ原则,得此打印设备需要进一步调试. 规律方法　利用正态分布求解实际问题,首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差,进而计算标准差,将问题转化为正态分布问题,结合正态分布的有关性质求解.计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据,则在计算中应出现并利用相应的数据). [对点训练3](2025·云南昆明模拟)某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给共2 500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,问甲能否获得奖励,并说明理由; (2)丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分数为201分,351分以上共有57人”,请帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. 解 (1)甲能够获得奖励.理由如下:设此次闯关活动的分数记为X~N(μ,σ2). 由题意可知μ=171,因为=0.022 8,且P(X>μ+2σ)=≈0.022 8, 所以μ+2σ=351,则σ==90. 而=0.16,且P(X>μ+σ)=≈0.158 7<0.16,可知前400名参赛者的最低得分高于μ+σ=261,而甲的得分为270分,所以甲能够获得奖励. (2)假设乙所说为真,则μ=201, P(X≥μ+2σ)==≈0.022 8. 又=0.022 8,所以σ==75,从而μ+3σ=201+3×75=426<430. 而P(X≥μ+3σ)==≈0.001 3<0.005, 所以X≥μ+3σ为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,所以可认为乙所说为假. $