学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（苏州专用，范围：新教材苏科版九上全部+九下第6～7章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 10. 11. 3 14. 15. 16. 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(5分) 19.(6分) D 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 成绩/分 12 10 8 6 2 0 甲 乙 22.(8分) VA 23.(8分) A EF D B HG 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) A B D (C)O 25.(10分) 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 备用图 27.(10分) B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册全部+九下第6~7章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（3分）方程的根的情况是（     ） A． B． C．， D．无实数根 2．（3分）（改编题）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（3分）（改编题）已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 4．（3分）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（3分）（改编题）若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 7．（3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．（3分）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 10．（3分）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 11．（3分）已知m为方程的一个根，求_________． 12．（3分）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 13．（3分）一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 14．（3分）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 15．（3分）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 三、解答题：本题共11小题，共82分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分。 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 19．（6分）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 21．（6分）典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3  5  6  6  6  6  7  8  9  9  9  10 乙组：5  5  5  6  7  7  7  7  8  9  9  9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c (1)根据上述信息填空：__________，__________，__________； (2)乙组数据的第一四分位数__________； (3)根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集______． (3)点是轴上一点，若的面积是，求点的坐标． 23．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 25．（10分）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿y轴对折，得到四边形，是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．当面积最大时，求P的坐标； (4)如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9._______________ 13. ________________ 10. ___________ 14. _______________ 11. _________________ 15.________________ 12. __________________ 16. ________________ 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（5分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（8分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10分） 27．（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B C D C D C 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．（答案不唯一，任意负数均可） 10． 11． 12． 13． 14． 15．/ 16． 三、解答题：本题共11小题，共82分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分。 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得；···························2分 （2）解：， ， 或， 解得．···························5分 18．（5分） 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，．···························2分 （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4．···························5分 19．（6分） 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；··························3分 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴．··························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是；··························2分 （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是．··························6分 21．（6分） 【答案】(1)7；；7 (2) (3) 从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐． 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义以及计算方法进行计算即可； （2）根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可； （3）根据箱线图进行解答即可． 【详解】（1）解： 甲组位于正中间的两个数均为6和7， ∴； 乙组数据中出现次数最多的是7， ∴； 故答案为：7；；7；··························3分 （2）解：乙组数据共12个，从小到大排列为：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9， 第一四分位数是下半部分（前6个数）的中位数， 下半部分数据为：5，5，5，6，7，7，其中位数为第3和第4个数的平均数，即， 因此，乙组的第一四分位数为， 故答案为：；··························5分 （3）从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐．·························6分 【点睛】本题考查算术平均数，中位数、众数以及箱线图，掌握平均数、中位数、众数的计算方法以及箱线图的意义是正确解答的关键． 22．（8分） 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再求出坐标，把点、代入一次函数解析式，列方程组求出、； （2）一次函数图象在反比例函数图象上方对应的自变量取值范围就是不等式解集； （3）先求直线与轴交点的坐标，设点的坐标为，用分割法把拆成两个三角形，将面积相加列方程，然后用绝对值求解． 【详解】（1）解：点、在反比例函数的图像上， 将代入， 可得， 则反比例函数的解析式为，·························1分 将代入， 可得， 则点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为．·························2分 （2）解：已知两个函数的交点为，， 故的解集为或．·························4分 （3）解：如图，设直线与轴交于点，点的坐标为， 据（1）可知直线的解析式为， 当时，， 则点的坐标为， 可得， 则， 解得，即， 可得或， 解得或， 故点的坐标为或．·························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米；·························2分 （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴；·························5分 （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米．·························8分 24．（8分） 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点E，利用勾股定理和菱形的性质求出，得到，然后代入即可求解； （2）将代入求出，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点E， ∵点在轴的正半轴上，四边形是菱形， ∴，， ∵点的坐标为，即，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得；·························3分 （2）解：∵， ∴反比例函数， 当点D落在时，将代入得，， 解得， ∴， ∴若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，．·························8分 25．（10分） 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线．·························4分 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为．·························10分 26．（10分） 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为；························2分 （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2；························6分 （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或．························10分 27．（10分） 【答案】(1) (2) (3)当点的坐标为时，的面积最大 (4) 【分析】（1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得于点，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点轴于点，如图，设点的坐标为，根据抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线，得出，结合，再利用二次函数的性质求得最大值即可． （4）取点，连接，证明，得出，则，即可得当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为；························2分 （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点， 即点的纵坐标为， 当时， 解得（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为；····················4分 （3）解：连接，作轴于点轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， ， ∴当时，最大， 此时， 此时点的坐标为， 即当点的坐标为时，的面积最大．························7分 （4）解：∵以为圆心，3为半径作，Q为上一动点，抛物线的对称轴是直线， ∴点在上， 如图，取点，连接， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度， ． 最小值是．························10分 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册全部+九下第6~7章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（3分）方程的根的情况是（     ） A． B． C．， D．无实数根 2．（3分）（改编题）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（3分）（改编题）已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 4．（3分）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（3分）（改编题）若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 7．（3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．（3分）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 10．（3分）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 11．（3分）已知m为方程的一个根，求_________． 12．（3分）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 13．（3分）一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 14．（3分）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 15．（3分）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 三、解答题：本题共11小题，共82分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分。 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 18．（5分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 19．（6分）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 21．（6分）典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3  5  6  6  6  6  7  8  9  9  9  10 乙组：5  5  5  6  7  7  7  7  8  9  9  9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c (1)根据上述信息填空：__________，__________，__________； (2)乙组数据的第一四分位数__________； (3)根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集______． (3)点是轴上一点，若的面积是，求点的坐标． 23．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 25．（10分）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿y轴对折，得到四边形，是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．当面积最大时，求P的坐标； (4)如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册全部+九下第6~7章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．（3分）方程的根的情况是（     ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】先移项，把常数项移到右边，再直接开平方，求出两个根． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 2．（3分）（改编题）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（3分）（改编题）已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 【答案】B 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知甲、乙两班的最高分都未达到150分，所以两班均没有满分，故此选项说法正确，不符合题意； 对于B，甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，都是120，故此选项说法错误，符合题意； 对于C，甲班的成绩的箱体比乙班的成绩的箱体更高，所以甲班的成绩比乙班的成绩波动更大，故此选项说法正确，不符合题意； 对于D，由图可知乙班成绩的中位数与甲班成绩的上四分位数相同，并且乙班成绩的最小值与甲班成绩的下四分位数相同，乙班成绩的下四分位数与甲班成绩的中位数几乎相同，说明乙班的平均分比甲班的平均分更高，故此选项说法正确，不符合题意． 4．（3分）如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 5．（3分）（改编题）若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【详解】解：对移项，得， 整理得． ∵一元二次方程有一解为， ∴， 解得． 6．（3分）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 7．（3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 8．（3分）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．（3分）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 10．（3分）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 11．（3分）已知m为方程的一个根，求_________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义得到，对所求多项式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 12．（3分）如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 13．（3分）一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数的比，两种球概率的分母相同，则只需白球数量大于红球数量，列出不等式即可求解的最小值． 【详解】解：∵袋子中白球数量为个，红球数量为个， ∴摸出白球的概率为，摸出红球的概率为，且， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为． 14．（3分）已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【分析】设方程两根为直角三角形两直角边长，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合面积求出两根之积，再通过勾股定理和完全平方公式计算斜边长． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，， 即直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 直角三角形的面积为3， ， ， ， ， ， ， 该直角三角形斜边长为． 15．（3分）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 三、解答题：本题共11小题，共82分。其中：17-18每题5分，19-21题每题6分，22-24题每题8分，25-27题每题10分。 17．（5分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得；···························2分 （2）解：， ， 或， 解得．···························5分 18．（5分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，．···························2分 （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4．···························5分 19．（6分）如图，在中，点D是上一点，且， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；··························3分 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴．··························6分 20．（6分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗进校园”系列活动．九年级（）班准备从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动． (1)若采用抽签方式，甲同学被选中的概率是 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求恰好选中乙、丙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列举出从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动的结果，得到甲同学被选中的结果，代入简单概率公式计算即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果及恰好选中乙、丙两名同学的结果，代入简单概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从报名的甲、乙、丙、丁名同学中随机选取名参加“剪纸技艺展示”活动有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共种等可能的结果，其中含甲同学的结果有种， 甲同学被选中的概率是；··························2分 （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 — 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 — 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 — 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选中乙、丙两名同学的结果有种， 恰好选中乙、丙两名同学的概率是．··························6分 21．（6分）典故是中华传统文化的“浓缩载体”，它将复杂的道理、深厚的情感寄托于简短的历史故事或传说中，既便于流传又极具感染力．某中学八年级以“探典故源流，品华夏文脉”为主题开展比赛．比赛满分10分，得分均为整数，在比赛中，甲、乙两组（每组12人）学生成绩如下（单位：分）： 甲组：3  5  6  6  6  6  7  8  9  9  9  10 乙组：5  5  5  6  7  7  7  7  8  9  9  9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 组别 平均数 中位数 众数 甲组 a b 6 乙组 7 7 c (1)根据上述信息填空：__________，__________，__________； (2)乙组数据的第一四分位数__________； (3)根据箱线图，比较两个组成绩的特点（写出一个即可）． 【答案】(1)7；；7 (2) (3) 从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐． 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义以及计算方法进行计算即可； （2）根据四分位数的定义以及计算方法进行计算即可； （3）根据箱线图进行解答即可． 【详解】（1）解： 甲组位于正中间的两个数均为6和7， ∴； 乙组数据中出现次数最多的是7， ∴； 故答案为：7；；7；··························3分 （2）解：乙组数据共12个，从小到大排列为：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9， 第一四分位数是下半部分（前6个数）的中位数， 下半部分数据为：5，5，5，6，7，7，其中位数为第3和第4个数的平均数，即， 因此，乙组的第一四分位数为， 故答案为：；··························5分 （3）从箱线图可知，乙组数据比较集中，比较稳定，比较整齐．·························6分 【点睛】本题考查算术平均数，中位数、众数以及箱线图，掌握平均数、中位数、众数的计算方法以及箱线图的意义是正确解答的关键． 22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集______． (3)点是轴上一点，若的面积是，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入反比例函数求出，再求出坐标，把点、代入一次函数解析式，列方程组求出、； （2）一次函数图象在反比例函数图象上方对应的自变量取值范围就是不等式解集； （3）先求直线与轴交点的坐标，设点的坐标为，用分割法把拆成两个三角形，将面积相加列方程，然后用绝对值求解． 【详解】（1）解：点、在反比例函数的图像上， 将代入， 可得， 则反比例函数的解析式为，·························1分 将代入， 可得， 则点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为．·························2分 （2）解：已知两个函数的交点为，， 故的解集为或．·························4分 （3）解：如图，设直线与轴交于点，点的坐标为， 据（1）可知直线的解析式为， 当时，， 则点的坐标为， 可得， 则， 解得，即， 可得或， 解得或， 故点的坐标为或．·························8分 23．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米；·························2分 （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴；·························5分 （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米．·························8分 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点E，利用勾股定理和菱形的性质求出，得到，然后代入即可求解； （2）将代入求出，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点E， ∵点在轴的正半轴上，四边形是菱形， ∴，， ∵点的坐标为，即，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得；·························3分 （2）解：∵， ∴反比例函数， 当点D落在时，将代入得，， 解得， ∴， ∴若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，．·························8分 25．（10分）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线．·························4分 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为．·························10分 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为；························2分 （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2；························6分 （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或．························10分 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线．点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿y轴对折，得到四边形，是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接．当面积最大时，求P的坐标； (4)如图2，以B为圆心，3为半径作，Q为上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当点的坐标为时，的面积最大 (4) 【分析】（1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得于点，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点轴于点，如图，设点的坐标为，根据抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线，得出，结合，再利用二次函数的性质求得最大值即可． （4）取点，连接，证明，得出，则，即可得当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度，再根据勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，B两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为；························2分 （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点， 即点的纵坐标为， 当时， 解得（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为；····················4分 （3）解：连接，作轴于点轴于点，如图， 设点的坐标为， ∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， ， ， ∴当时，最大， 此时， 此时点的坐标为， 即当点的坐标为时，的面积最大．························7分 （4）解：∵以为圆心，3为半径作，Q为上一动点，抛物线的对称轴是直线， ∴点在上， 如图，取点，连接， ，，， ， ， 又， ， ， ， ， ∴当点Q在线段上时，有最小值，最小值为的长度， ． 最小值是．························10分 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $