精品解析：北京市北京理工大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月练习数学试题

理工附中2027届高三数学10月练习 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（ ） 参考数据：． A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 9. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 若向量与共线，则________． 12. 在中，，，的面积为，则的长为________． 13. 已知，则______． 14. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 15. 已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则下列结论中正确的是________．（填入编号） ①； ②函数是周期函数； ③函数在区间上的零点个数是7个； ④对任意正整数n，． 三、解答题 16. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 17. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值． 18. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 19. 已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 20. 已知函数，． （1）若，判断函数的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：； （3）若，关于的方程在上有两个不同的实数根，（），证明：． 21. 对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． （1）设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； （2）已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 理工附中2027届高三数学10月练习 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用列举法表示全集，再利用补集的定义进行求解即可 【详解】，所以 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的乘法及除法运算可得，再根据复数模的几何意义计算可得. 【详解】由复数的乘法及除法运算，得， 所以，因此. 3. 为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数变化判断图像平移的方向和长度. 【详解】已知原函数， 为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为， 所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度. 4. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 5. 正项等差数列的公差为d，已知，且三项成等比数列，则（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项的性质结合等差数列通项公式列方程，舍去不符合正项条件的解即可求得公差. 【详解】因为，公差为，所以，， 由题意可得：， 即 ， 化简整理得， 解得或， 因为数列是正项等差数列，及公差，故. 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为A为三角形内角，所以A为钝角， 若△ABC是钝角三角形，结合得A为钝角，所以， 所以，所以“”是“是钝角三角形”的充分必要条件. 7. 已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】，的图象关于点对称， 又，当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则，. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，，. ，时，. 8. 我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（ ） 参考数据：． A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知每年投入的研发资金数成以为公比，以为首项的等比数列，再令，通过取对数运算可得，进而可得所求年份. 【详解】由题意知，从年起，每年投入的研发资金数成以为公比的等比数列，设该数列为，则. 令，得，两边取对数，得， 即，所以，即. 所以时，该公司全年投入的研发资金开始超过亿元， 即研发资金开始超过亿元的年份为年． 9. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数性质化简条件，最后根据基本不等式求解最小值. 【详解】，的定义域为，，所以是奇函数， 令，，在定义域上单调递减， 对数函数是增函数，根据复合函数单调性，在上为减函数， 由，得，因为为奇函数，，所以， 又因为为减函数，则，， 、均为正实数， ， 当且仅当，即，时等号成立. 10. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 若向量与共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示直接列式求解即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得 所以，向量与共线，则. 12. 在中，，，的面积为，则的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的面积，即，可得， 由余弦定理可得，即. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据辅助角公式可得：，再根据余弦的二倍角公式进行求解即可. 【详解】已知， 得：， 则. 14. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 【答案】 ①. 2 ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】由图可知，即可得；根据图象可知函数的对称轴为，结合图象平行求函数的图象的对称轴方程. 【详解】设函数的最小正周期为， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为. 15. 已知奇函数的定义域为，若对任意实数，都有，且当时，，则下列结论中正确的是________．（填入编号） ①； ②函数是周期函数； ③函数在区间上的零点个数是7个； ④对任意正整数n，． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】通过赋值法可以判断①选项；根据函数的周期性判断②选项；由对称性及函数图像即可判断③、④选项． 【详解】由，令，得：，． ∵为奇函数，，，，所以①错误，②正确； 函数在区间上的零点个数等价为的左右两函数的交点个数，分别作出与的图像如下所示： 由图像易知有7个交点，所以③正确； 对，由对称性可知：关于对称， 所以， 又大于0，，小于0，， 所以， 所以④正确． 故答案为：②③④ 三、解答题 16. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）1；最小正周期为 （2）． 【解析】 【小问1详解】 由题意， 所以． 该函数的最小正周期为 【小问2详解】 由(1)知． 由，得． 所以的单调递减区间为． 17. 已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前n项和，则当n为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，最大值为25. 【解析】 【分析】（1）设出公差，利用等差数列的性质计算出公差，从而求出通项公式； （2）令，解不等式，求出当时，取得最大值，并用等差数列求和公式求出最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得：， 则的通项公式为； 【小问2详解】 因为， 令得：，令得：， 故当时，取得最大值， 其中，故最大值为. 18. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 19. 已知条件：①；②；③.从以上三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：的内角的对边分别为，满足：　　　　. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求边长的取值范围. （注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）条件①根据正弦和差角公式化简整理求角即可；条件②根据正弦定理及三角恒等变换求角即可；条件③根据式子化简和余弦定理求角即可. （2）因为为锐角三角形，求出角的范围，根据正弦定理及三角恒等变换化简得到，最后求出边长的取值范围即可. 【小问1详解】 选择条件①，. 则. 又，所以. 选择条件②，. 于是， 在中，由正弦定理得. 因为，所以，即. 因为，所以，则，即. 又，所以. 选择条件③，，则，化简得， 所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，且，所以， 所以解得，又，所以结合正弦定理， 得. 因为，所以，则. 所以，即边长的取值范围为. 20. 已知函数，． （1）若，判断函数的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：； （3）若，关于的方程在上有两个不同的实数根，（），证明：． 【答案】（1）当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减. （2）由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增， 即， 所以． （3）设， 当时，． 又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为， 设，． 当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为， 同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后进行分类讨论，分，和三种情况讨论的单调性即可； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 当时，，可得在区间上单调递减； 当时，由于，得：，即. 可得在区间上单调递增； 当时，令，解得：，， 由，可知：. 当时，，故在区间上单调递增； 当时，， 故在区间上单调递减； 当时，，故在区间上单调递增. 综上所述：当时，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：对任意和，存在，使得，则称数列具有性质T． （1）设，其中．判断数列是否具有性质T？说明理由； （2）已知数列具有性质T， （i）求集合中元素个数的最大值； （ii）证明：存在正整数t，对任意，有． 【答案】（1）具有，理由如下： 数列具有性质． 理由如下：数列满足，其中 ， 即是周期为4的周期数列． 所以对任意和，当时，． 故数列具有性质． （2）（i）4；（ii）考察由连续4项构成的数组， 由（i）知的取值不超过4个，故这样的数组个数不超过． 所以在这257个数组中至少存在两个相同的， 即存在，，满足，其中． 以下证明：若，则，即证． 由性质，知存在，使得． ①若，即时，去掉上述等式两边的公共项，得 若 ，上式即为． 若，由，知，所以． ②若，因为，所以． 当 时，由，得， 记其值为，由性质知，在其后四项出现，所以； 当时，由，得， 分别记其值为，，由性质，知，所以； 同理，得当时，均有． 综上，可推导出． 从而由，得，即得， 进而得到， 所以存在正整数，对任意，有． 【解析】 【分析】（1）首先分析数列为周期数列，再根据性质的定义即可判断； （2）（i）分别取取和，再利用反证法即可证明； （ii）利用（i）中的结论证明得存在，，满足，其中，再分和时证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取，由性质得：存在，使得． 同理，取，由性质得：存在，使得. 以此类推，得数列中任意连续4项中，必有一项的值等于． 同理，得对于数列中的每一项之后的任意连续4项中，必有一项的值等于． 假设的取值超过4个，不妨设有5个值不同的项， 由上述结论，知在之后的连续4项中，这5个不同值都会出现，这是不可能的． 所以中至多只有4个不同的取值． 又因为周期数列：具有性质， 所以集合中元素个数的最大值为4． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $