精品解析：北京市第一六一中学2026-2027学年高三上学期10月阶段测试数学试卷

北京一六一中学2026—2027学年度第一学期10月阶段测试 高三数学试卷 考生须知 1．本试卷共2页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由集合，， 可得或，， 对于A中，可得，不符合题意； 对于B中，可得，符合题意； 对于C中，可得，不符合题意； 对于D中，可得，不符合题意. 故选：B. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 3. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可. 【详解】因为函数是奇函数，则， 即，所以，即， 所以，解得， 当时，，由可得，该函数的定义域为， 此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意； 当时，，由可得或， 即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意. 综上所述，. 5. 设，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数和对数函数性质进行比较. 【详解】因为，， ，，比较可知. 故选：B. 6. 已知，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等式左右两边的系数相等列式得解. 【详解】显然展开式中没有项，而展开式中含的项为， 因此，解得，经验证符合题意，所以. 7. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据奇函数的性质即可求出，进而得出答案． 【详解】令，则 所以是奇函数，即 所以 故选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的关键是令，判断其奇偶性，属于一般题． 8. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 9. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以， 在R上单调递增. 是偶函数：， 说明函数的图像关于直线对称. ，令，得， 已知，， 因为单调递增，所以时，， 故不等式解集为. 10. 设函数，记 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】显然函数在上是增函数，因此， 函数在上是增函数，在上是减函数， 又，因此 ． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11. 已知为虚数单位，若复数满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 可得，所以. 12. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，的零点为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为函数的零点， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以. 14. 已知函数，若且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的图像，结合，可得，再根据对数函数图像性质求解范围. 【详解】画出函数的图像： 因为，由图像可知 令，则， 所以， 因为，所以. 15. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①若，，则； ②存在，，使得且； ③若，，且为增函数，则； ④若，，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】对于①：通过构造具体的函数和，验证具有性质即可；对于②：构造合适的函数，分别验证是否具有性质即可；对于③：通过举反例来验证不具有性质；对于④：对于任意正数，由，可得存在，使得，根据的奇偶性利用绝对值不等式，可找到或，使得，从而推出具有性质. 【详解】若函数具有性质，等价于函数的值域包含. 对于①：设；，两函数定义域均为， 结合函数图象可知，对任意正数， 都存在，使得；也都存在，使得； 故. 由，任意，都有. 故对任意正数，都不存在，使得； 所以，故①错误； 对于②：设，两函数定义域、值域均为， 则，，且，的值域包含， 即，，，，故②正确； 对于③：设， 定义域均为，且为增函数， ，. 则，对任意，都有. 对于任意正数，都不存在，使得； 所以，故③错误； 对于④：因为为奇函数，为偶函数，且. 则定义域均为， 对于任意正数，因为，所以存在，使得， 又因为为奇函数，为偶函数，所以. 则对任意正数， 都有 ； 假设且， 则，这与矛盾，故假设错误， 故中至少一个大于， 即对任意正数，存在或，使得. 所以，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内． 16. 在锐角△ABC中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积. 条件①：，；条件②：， 【答案】（1） （2）选①为：；选②为： 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得. （2）利用正弦定理求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由，利用正弦定理，可得， ，得，在锐角三角形中，. 【小问2详解】 选①：由（1）得，，结合正弦定理，得到，，， 结合为锐角，可计算得，则，， 所以，△ABC的面积为. 选②：，，由（1）得，结合正弦定理，， 可得，且， 所以，△ABC的面积为 17. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以，因为平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明； （2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知平面，所以， 又因为， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 所以， 则. 根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即， 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【小问1详解】 由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； 【小问2详解】 由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 19. 已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）存在； 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【小问1详解】 由题意得，解得． 所以椭圆的方程为，离心率． 【小问2详解】 设直线的方程为，点，点． 由，得． 依据题意，， 因为点与点关于轴对称，所以点． 若在轴上存在定点，使三点共线，则． 由，得． 由，得． 因为 ，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 20. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数极值点的个数； （3）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）2个 （3） 【解析】 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解； （2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断； （3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可． 【小问1详解】 当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 由，得， 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． ， 又在单调递减，在单调递增， 故存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故是函数的极大值点． 同理：存在，使得， 所以，在区间上，在区间上． 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故是函数的极小值点． 综上：函数极值点有2个． 【小问3详解】 对任意的实数恒成立， 等价于在上恒成立，得， 令，则． 令，则．因为，所以， 所以在上是增函数，所以，所以， 所以在上是增函数，所以的最小值为．所以， 即实数的取值范围． 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 【答案】（1）故答案不唯一，如 （2） 由题意，中共有个元素，故最多能选出个两两交集为空集的三元子集． 将中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组， 第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于； 同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16. 假设能选出10个符合题意的三元子集，由题意，这10个三元子集覆盖了中的30个元素， 且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数． 故中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为． 这与矛盾． 所以在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． （3），理由： 记，其中为偶数．不妨假设时有意义． 当时，的三元子集只有一个，且具有性质， 所以在中最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 记中具有性质的三元子集为． 当时，中有个元素，故最多有个两两交集为空集的三元子集． 因为的子集， 和 为两两交集为空集，且具有性质的三元子集（共5个）， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 设为中上述具有性质的三元子集中的任意一个， 同理，得中有个元素，即最多能有个两两交集为空集的三元子集， 且对于，可以对应构造出4个两两交集为空集，且具有性质的三元子集， 即， ， ， . 又因为为中具有性质的三元子集，且与上述集合的交集为空集， 所以在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 以此类推，得在的子集中，最多能选出个两两交集为空集，且具有性质的三元子集． 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解； （2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可； （3）分别分析，，中满足条件的子集个数，类比得出结论即可. 【小问1详解】 由题意，或且， 即， 则满足性质T的三元子集不唯一，如. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学2026—2027学年度第一学期10月阶段测试 高三数学试卷 考生须知 1．本试卷共2页，满分150分，考试时长120分钟． 2．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束后，将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 3. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则( ) A. B. C. D. 6. 已知，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于 A. 1 B. 2 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，记 ，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 11. 已知为虚数单位，若复数满足，则________． 12. 设函数，则______． 13. 已知函数，的零点为，则________． 14. 已知函数，若且，则的取值范围是________． 15. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①若，，则； ②存在，，使得且； ③若，，且为增函数，则； ④若，，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案填在答题卡中相应黑色框区域内． 16. 在锐角△ABC中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积. 条件①：，；条件②：， 17. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． （1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； （2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； （3）从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19. 已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 20. 已知函数． （1）当，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数极值点的个数； （3）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围． 21. 给定正整数n（），记集合或且.对于由中的三个元素组成的子集，若满足对于任意，均为偶数，则称该三元子集具有性质T. （1）在的子集中，写出一个具有性质T的三元子集；（结论不要求证明） （2）证明：在的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集； （3）在的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T的三元子集？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $