精品解析：北京市首都师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

首师大附中2026-2027学年度10月月考 高三数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式解得，则 又，则. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 则． 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，若和方向相同，得：  ， 整理得：，解得或， 当时，，此时，两向量方向相同，符合条件； 当时，，此时，两向量方向相反，不符合条件，舍去， 综上，. 4. 下列函数中，奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，且定义域为R，函数是奇函数； 求导得，由于，故，等号仅在处成立，因此在上单调递增，符合. 对于B，且定义域为R，函数是奇函数， 取，有，不是单调递增函数，排除. 对于C，是奇函数，在整个定义域上不单调，如但，排除. 对于D，且定义域为R，函数是奇函数， 求导得，当时，函数存在递减区间，不满足单调递增，排除. 5. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性，将各选项中的函数值与特殊值0、1比较，逐一判断正误． 【详解】因为在上单调递减， 所以，即，故AC错误； 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故B正确，D错误． 6. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解. 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 7. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且在单调递增 B. 偶函数，且在单调递增 C. 奇函数且在单调递减 D. 偶函数，且在单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域，判断是否关于原点对称，根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，可以判断选项B、D；化简函数表达式，进而根据复合函数单调性判断的单调性，可以判断选项A、C. 【详解】由题知，解得，定义域关于原点对称，代入得： ， 因此是奇函数，故B、D错误. 将函数化简为，令内层函数， 可知该函数在上随增大单调递减； 外层函数是单调递增函数，故在整个定义域上单调递减， 因此在子区间上也单调递减. 综上，是奇函数且在单调递减，故C正确. 8. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由距离从到时，信号衰减值约减少为6dB，可得，解出值，由信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，可得，化简即可求解. 【详解】由题可得当距离从到时，信号衰减值约减少为6dB， 可得：，解得：， 由于信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到 所以，则，解得， 故选：C 9. 已知函数．若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，是函数最小值、是函数最大值，所求最小值为该正弦型函数的半周期. 【详解】已知，周期，  由题意，，可知为函数最小值，为函数最大值， 正弦型函数相邻的最大值点与最小值点的水平距离最小值为半周期，即，故的最小值为，故B正确. 10. 已知函数．则（ ） A. 当时，在区间上单调递增； B. 对任意实数，都有最小值； C. 当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数，都有； D. 对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，取区间内特殊值验证导数存在负值即可进行判断；B选项，当时，函数没有最小值进行判断；C选项，验证时，两图象的交点情况给出反例即可进行判断；D选项，化简整体趋向正无穷，满足题意，即可判断. 【详解】对于A：当时，，所以， 当时，，，， 即在上单调递减，故A错误； 对于B：当时，在上单调递增，但没有最小值，故B错误； 对于 C：当，，由，则， 由图象可知：，则，故C错误； 对于D：因为， 当时，，有界；因此， 故存在实数，当时，恒有，故D正确. 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 12. 已知向量，若与垂直，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由向量，得. 若与垂直，则， 解得. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义求解. 【详解】因为角与角的终边关于原点对称，且角终边与单位圆交于点， 所以角终边与单位圆交于点， 所以. 14. 已知，是两个单位向量，.设，若，则和的夹角为______；若，则的最小值为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】， . 若，则， 因为，所以， 即和的夹角为. 若，则 ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 15. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】分析每一段函数的零点情况，再结合函数的性质进行求解. 【详解】① 当时，， 当时，，解得， 所以在上有1个零点， 当时，，， 令，即，因为恒成立， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 得到， 所以在上恒成立，所以总零点个数为， ② 当时，令，解得， 要使在上有零点，则， 当时，令，即， 设，求导得， 令，因为恒成立， 所以，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则在处取得极小值，也是最小值， 则，当时，， 当时，， 要使在上有一个零点，则， 结合，的范围是. 三、解答题（共85分） 16. 已知函数． （1）若，求的单调递减区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在上的最大值． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：是的一个极值点． 【答案】（1）. （2）若选条件①或条件③，存在且唯一确定，取得最大值1； 若选条件②，存在但不唯一，不合题意. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，代入，根据正弦函数的性质列出不等式，求解即可； （2）先由在单调递增求出的取值范围，再分别检验三个条件，筛选出能唯一确定的条件，求出后，结合正弦函数性质求最值. 【小问1详解】 ， 当时，. 由，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由，， 当时，， 因为在上单调递增，所以，解得. 若选条件①，，即， 化简得，所以或，， 解得或，， 在内有唯一的解，此时. 当时，， 所以当，即时，取得最大值1. 若选条件②，可得，即， 所以，解得，， 在内有两解，即存在但不唯一，不合题意； 若选条件③，由是的一个极值点，得或， 所以或， 所以，解得，， 在内有唯一的解，此时. 当时，， 所以当，即时，取得最大值1. 17. 在中，，. （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 【答案】（1） （2）选条件①：边上的高为；选条件②：不存在；选条件③：边上的高为. 【解析】 【分析】(1)先由同角三角函数关系求出，再利用正弦定理变形，代入已知式子直接求出. (2)分别对三个条件逐一判断三角形是否存在；若存在，利用正弦定理、余弦定理求出对应边长，结合三角形面积公式解出边上的高. 【小问1详解】 在中，，所以， 由正弦定理，得， 即，解得. 【小问2详解】 选条件①：， 由正弦定理，得. . 由 得. 设边上高为， 解得. 选条件②： ，. . . ，则，不能构成三角形，故此条件下不存在. 选条件③： ，因为， 所以， 解得. 由，得， 设边上高为，， 即，解得. 18. 2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （2）从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； （3）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率，直接求出成绩低于分的频率； （2）把问题看成次独立抽取中恰有次取到低于分、次取到高于分，用乘法公式计算； （3）把看作二项分布，比较相邻两项概率的大小判断增减性，由此求得最大值点. 【小问1详解】 由表得成绩低于分的频率为，高于分的频率为， 其余成绩的频率为. 以频率估计概率，从所有参赛学生中抽取人，其成绩低于分的概率为. 【小问2详解】 抽取人，要求其中人成绩低于分、人成绩高于分， 故所求概率为. 【小问3详解】 由题意，则，于是. 由得，即时单调递增、时单调递减， 特别地，时，即； 时，即. 故当时取得最大值. 19. 如图，是边长为的正方形，平面，，且． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再由线面角的向量法，即可求解； （2）由题意可设，根据条件，利用点面距的向量法，建立等量关系，即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【小问1详解】 由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，则， 设直线与平面的夹角为，则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为，且， 设是线段上一点，由，可设， 则， 又点到平面的距离， 解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 20. 已知函数 ． （1）求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； （2）函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数． 【答案】（1）由，得， ， ， 所以曲线在点处的切线的斜率为0，切线方程为， 所以曲线在点处的切线总与直线平行． （2） （3）当或时，在区间上没有零点； 当时，在区间上有且仅有1个零点． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，再求出和的值，根据导数的几何意义得到切线方程，进而证明切线与直线平行. （2）对函数求导，根据函数在区间上存在极值点，分析导数在该区间上的正负变化，确定的取值范围. （3）结合（2）问，分类讨论可得函数在区间上的零点个数. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知，因为， 所以，令， 当时，，在区间上单调递增，且， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 在区间上单调递增，无极值点． 当时，在区间上递减，令，得． 若，即时，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，在区间上单调递减，无极值点． 若，即时， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减， 所以在处取得极大值，满足函数在区间上存在极值点． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）知，在区间上单调递减， 又，所以对恒成立， 所以在区间上没有零点； 由（2）知当时， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 当时，函数的趋势由起决定作用的项决定， 因为，所以， 因此在区间上有且仅有1个零点； 由（2）知时，在区间上单调递增， 又，所以对恒成立， 所以在区间上没有零点； 综上所述：当或时，在区间上没有零点； 当时，在区间上有且仅有1个零点． 21. 已知函数. （1） 时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数. （i）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ii）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切. 求的值，使得曲线与曲线相切. 【答案】（1） （2）（i）交点个数为；（ii）． 【解析】 【分析】（1）切线平行于轴即斜率为0，求导后令导数等于0，求出切点横坐标，代入原函数得切点，写出水平切线方程；（2）①曲线交点个数转化为函数零点个数，因式分解得到固定零点，再构造新函数求最值，证明恒正无额外零点，最终只有1个交点；②两曲线相切需满足函数值相等+导数值相等列方程组，消去指数项解出切点横坐标，再回代求出参数. 【小问1详解】 当时，函数为，定义域为， ， 与轴平行的切线斜率为，令， 由于恒成立，因此，解得， 所以，故切点为，斜率为， 因此切线方程为； 【小问2详解】 （i）曲线交点个数等价于方程的实根个数，构造函数，问题转化为求的零点个数， 由，显然是的一个零点， 当时，，由指数函数单调递增，得，因此， 令，，，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取最小值，由于，故，即对全体实数恒成立， 因此恒成立，则恒无正零点， 综上，仅有一个零点，即两条曲线有个交点； （ii）两条曲线在处相切，需同时满足： ，即；，即， ， 因此得到方程组， 若，代入方程 得左边，矛盾，故， 由得，代入，得，即 分情况讨论： 若，代入 得，与矛盾，舍去； 若，则，所以，展开整理得：，解得（舍去）， 将代入，两边取自然对数得，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首师大附中2026-2027学年度10月月考 高三数学试卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若和方向相同，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列函数中，奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且在单调递增 B. 偶函数，且在单调递增 C. 奇函数且在单调递减 D. 偶函数，且在单调递减 8. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号衰减值（单位：分贝，dB），（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少为6dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 已知函数．若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数．则（ ） A. 当时，在区间上单调递增； B. 对任意实数，都有最小值； C. 当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数，都有； D. 对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 二、填空题（每题5分，共25分） 11. 函数的定义域为_____. 12. 已知向量，若与垂直，则__________. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称．若角终边与单位圆交于点，则_______________． 14. 已知，是两个单位向量，.设，若，则和的夹角为______；若，则的最小值为______. 15. 设函数 ①若，则的零点个数为__________； ②若有且仅有两个零点，则实数的范围是__________. 三、解答题（共85分） 16. 已知函数． （1）若，求的单调递减区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在上的最大值． 条件①：； 条件②：是的一个零点； 条件③：是的一个极值点． 17. 在中，，. （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①： 条件②： 条件③：的面积为． 18. 2026年美加墨世界杯圆满收官，赛事热度带动全国校园足球氛围持续升温．为响应“体教融合”号召，某中学举办校园足球文化节配套的知识竞赛，赛后从全校所有参赛答卷中随机抽取40份作为样本，成绩分布统计如下： 成绩分组 人数 假设所有参赛学生的成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： （1）从所有参赛学生中抽取1人，估计该学生的成绩低于70分的概率； （2）从所有参赛学生中抽取4人，求其中恰好2人成绩低于70分，2人成绩高于90分的概率； （3）从所有参赛学生中随机抽取20人，记为这20人中成绩低于70分的人数，求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 19. 如图，是边长为的正方形，平面，，且． （1）求直线与平面所成角的正弦值． （2）线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数 ． （1）求证：曲线在点 处的切线总与直线平行； （2）函数在区间上存在极值点，求的取值范围； （3）讨论在区间上的零点个数． 21. 已知函数. （1） 时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数. （i）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ii）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切. 求的值，使得曲线与曲线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $