专题05 二次函数30大题型91题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题05 二次函数 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的性质 题型5 待定系数法求二次函数解析式 题型6 二次函数的平移问题 题型7 根据二次函数的性质求参数 题型8 利用二次函数的对称性比较大小 题型9 二次函数与方程问题 题型10 二次函数与不等式问题 题型11 二次函数的实际问题 题型12 二次函数的简单几何应用 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系 题型14 二次函数的图象与性质综合（重点） 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（重点） 题型16 二次函数的平移综合（重点） 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题 题型18 二次函数与方程综合（重点） 题型19 二次函数与不等式综合（重点） 题型20 销售问题（重点） 题型21 图形问题 题型22 拱桥、投球、喷水问题（重点） 拔高·压轴破难 题型23 二次函数的图象与性质综合（难点） 题型24 二次函数的平移压轴（难点） 题型25 二次函数的面积压轴（难点） 题型26 二次函数的角度压轴（难点） 题型27 二次函数的存在性问题（难点） 题型28 二次函数与相似综合（难点） 题型29 二次函数的最值问题（难点） 题型30 二次函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题（共3小题） 【易错】勿忘二次项系数≠0；容易忽略参数取值，直接令次数等于 2 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于的函数是二次函数，则___________． 3．已知函数． (1)当a为何值时，此函数是二次函数； (2)当a为何值时，此函数是正比例函数． 题型2 二次函数的图象判断（共3小题） 【易错】开口由二次项系数决定；区分一次、二次图像，不要混淆对称轴 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型3 画二次函数的图象（共3小题） 【易错】图像是抛物线，不能画折线；注意左右对称选取自变量 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 8．（24-25九年级上·江苏·期中）已知二次函数． … 0 1 2 … … … (1)填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)利用图象写出当时，的取值范围是________________． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知二次函数． (1)画出函数的图象． ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象    (2)根据所画的图象直接写出当时，x的取值范围． 题型4 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性以对称轴分界；开口方向不同，增减变化方向相反 10．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 11．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为过点，且平行于轴的直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 题型5 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 【易错】选合适解析式简化计算；计算方程组时符号容易出错 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式：________． 14．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则__________．（填“>”，“<”或“=”号） 题型6 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】左加右减只针对 x；不要直接对整个式子加减，极易搞错 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数的图像向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图像对应的二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点在此抛物线上，试比较的大小； (3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程． 题型7 根据二次函数的性质求参数（共3小题） 【易错】注意二次项系数正负；自变量有范围时，最值不一定在顶点 19．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 20．（2026·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像过点，，若，则的值可能为（     ） A． B．2 C．3 D．4 21．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 题型8 利用二次函数的对称性比较大小（共3小题） 【易错】比较前先转化点；距离对称轴远近，不能直接判断函数值 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是__________． 24．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是_______． 题型9 二次函数与方程问题（共3小题） 【易错】判别式 Δ 决定交点个数；方程的根是抛物线与 x 轴交点横坐标 25．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为__________． 27．（2026·河北廊坊·模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 题型10 二次函数与不等式问题（共3小题） 【易错】看清不等号；区间端点是否可取，要看是否包含交点 28．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 29．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 30．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知：二次函数 (1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标； (2)画出函数图象； (3)根据图象： ①写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围； ②写出当时，函数值y的取值范围． 题型11 二次函数的实际问题（共3小题） 【易错】实际问题自变量有限制；最值不一定在顶点，要看取值区间 31．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 32．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： (1)最高点离地面的高度； (2)该运动员的成绩是多少米？ 33．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 题型12 二次函数的简单几何应用（共3小题） 【易错】坐标转长度勿忘绝对值；几何边长必须大于 0 34．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 35．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系（共3小题） 【易错】对称轴公式记准；判断 a+b+c 等值，代入 x=1 看函数值 37．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 38．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中点在原点左侧，点在2的右侧，对称轴为直线． 以下结论：①；②；③对于任意实数，都有．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．（25-26九年级下·江苏·期末）已知关于的一元二次方程有两实根，，且，有下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型14 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】多个结论逐个验证；不要凭图像直观猜想，需要代数推导 40．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 41．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（   ） A． B． C． D．以上均有可能 42．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（共3小题） 【易错】临界端点能否取到要单独判断；容易漏掉参数限制条件 43．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 44．（2026·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的值可以是_______．（写出一个即可） 45．（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 题型16 二次函数的平移综合（共3小题） 【易错】平移只改变顶点位置，开口大小不变；区分图像平移与点平移 46．（2025·甘肃武威·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 47．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 48．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 【易错】与 y 轴交点只有一个；Δ＜0 时，抛物线和 x 轴无交点 49．（2026·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 50．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 51．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知抛物线经过，解答下列问题： (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，的取值范围是___________． 题型18 二次函数与方程综合（共3小题） 【易错】韦达定理使用前提 Δ≥0；根要满足题目自变量范围 52．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 53．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为_______． 54．（24-25九年级上·河南郑州·期末）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 题型19 二次函数与不等式综合（共3小题） 【易错】多个函数比较时看清谁在上；解集不要漏掉或多写区间 55．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图象（描个点即可）； (3)当时，利用图象直接写出的取值范围： ． 56．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 57．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 题型20 销售问题（共3小题） 【易错】销量随价格变化；自变量有现实上限，顶点不一定可取 58．（2026·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 59．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． (1)求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； (2)问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 60．（2026·江苏宿迁·二模）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 题型21 图形问题（共3小题） 【易错】边长大于 0；图形存在隐含约束，不可直接套用顶点最值 61．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 62．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 63．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 题型22 拱桥、投球、喷水问题（共3小题） 【易错】合理建系简化计算；注意坐标正负，单位统一 64．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 65．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 66．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 题型23 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 67．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 68．（2026·江苏南京·三模）已知二次函数（为常数，且）的图象为． (1)图象必经过两个定点的坐标分别是__________，__________； (2)若图象经过点，其与轴的交点的纵坐标为． （I）当时，的取值范围是__________； （Ⅱ）下列关于随变化趋势的描述：①当时，随的增大而减小；②当时，随的增大而增大；③当时，随的增大先增大后减小；④当时，随的增大先增大后减小．其中所有正确结论的序号是__________． 69．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 题型24 二次函数的平移压轴（共3小题） 70．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，对于函数图象W给出如下定义，将函数图象W上的任这一点变化为点，则称点Q为点P的2倍位移点．如：的2倍位移点为，即函数图象W上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象K．称函数图象K为图象W的2倍位移图象，函数K为函数W的2倍位移函数． (1)若点的2倍位移点在反比例函数上，则k的值为________； (2)点A在直线上，点A的2倍位移点B在直线上，求点A的坐标； (3)已知二次函数，函数是的2倍位移函数． ①求二次函数的2倍位移函数； ②取二次函数在的部分，在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，请问是否存在，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 71．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线，点，和点，分别在抛物线和抛物线上．若点的横坐标均为4，点的横坐标均为，则线段与两条抛物线围成的阴影部分的面积是___________． 72．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 题型25 二次函数的面积压轴（共3小题） 73．（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．        (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； (3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 74．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 75．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 题型26 二次函数的角度压轴（共3小题） 76．（2026·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若轴下方的抛物线上有点，点关于轴的对称点为点，直线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 77．（2026·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左边），与轴交于点，该抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有． (1)求抛物线的表达式； (2)若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：； (3)若点是抛物线上一动点，过该点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标； (4)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 78．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 题型27 二次函数的存在性问题（共3小题） 79．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； (3)当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 80．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 81．（2026·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型28 二次函数与相似综合（共3小题） 82．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 83．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标； (3)如图②，连接，过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标． 84．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 题型29 二次函数的最值问题（共3小题） 85．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 86．（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 87．（2026·江苏连云港·一模）已知抛物线（m是常数，且）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于D、E两点，其中E点的横坐标为． ①当时，根据图象求出x的取值范围． ②连接，G为线段上一动点（不与A、B重合）将沿翻折至，使A与重合，点落在x轴的下方，其中交线段于点H，求的最小值． (3)将抛物线沿x轴向上翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求m的取值范围． 题型30 二次函数的新定义问题（共4小题） 88．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．例如都是“二倍点”． (1)请任写一个“二倍点”：___________；（与上例不同） (2)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是___________；（填序号） ①；②；③． (3)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”，求抛物线的函数表达式； (4)若抛物线（是常数）的图象上有且只有一个“二倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 89．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． (1)求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． (2)某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． (3)如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 90．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）定义：点P在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，我们称二次函数是一次函数关于点P的“生成函数”． 例如：点在一次函数的图象上，点关于y轴对称的点在反比例函数 的图象上，所以一次函数关于点的“生成函数”是 (1)求一次函数关于点的“生成函数”的表达式； (2)当时，（1）中所求的“生成函数”的最小值为，求m的值； (3)设（1）中所求的“生成函数”的图象与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线与函数图象交于另一点D，连接，坐标原点为O，求证：． 91．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______． 【研究深入】 （2）经过点和的抛物线与y轴正半轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【深入拓展】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，点E是上一个动点，过点E作的垂线交抛物线的对称轴于点F，且． ①若点E是的中点，求点P的坐标； ②记线段的长度为y，求y与m的函数关系式； ③在②的条件下，若直线与②中的函数图象有两个交点，直线与②中的函数图象有一个交点，求t的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的性质 题型5 待定系数法求二次函数解析式 题型6 二次函数的平移问题 题型7 根据二次函数的性质求参数 题型8 利用二次函数的对称性比较大小 题型9 二次函数与方程问题 题型10 二次函数与不等式问题 题型11 二次函数的实际问题 题型12 二次函数的简单几何应用 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系 题型14 二次函数的图象与性质综合（重点） 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（重点） 题型16 二次函数的平移综合（重点） 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题 题型18 二次函数与方程综合（重点） 题型19 二次函数与不等式综合（重点） 题型20 销售问题（重点） 题型21 图形问题 题型22 拱桥、投球、喷水问题（重点） 拔高·压轴破难 题型23 二次函数的图象与性质综合（难点） 题型24 二次函数的平移压轴（难点） 题型25 二次函数的面积压轴（难点） 题型26 二次函数的角度压轴（难点） 题型27 二次函数的存在性问题（难点） 题型28 二次函数与相似综合（难点） 题型29 二次函数的最值问题（难点） 题型30 二次函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题（共3小题） 【易错】勿忘二次项系数≠0；容易忽略参数取值，直接令次数等于 2 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若关于的函数是二次函数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，且， 解得，且， 故， 故答案为：． 3．已知函数． (1)当a为何值时，此函数是二次函数； (2)当a为何值时，此函数是正比例函数． 【答案】(1)时，此函数是二次函数； (2)或或2，此函数是正比例函数． 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：且，解得：， ∴当时，此函数是二次函数； （2）解：由题意得：且，或，且， 解得：或或2， 当时或或2，此函数是正比例函数． 【点睛】本题考查二次函数的定义，正比例函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义：形如这样的式子叫做二次函数；正比例函数定义：形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 题型2 二次函数的图象判断（共3小题） 【易错】开口由二次项系数决定；区分一次、二次图像，不要混淆对称轴 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键． 根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可． 【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意； B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意； C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型3 画二次函数的图象（共3小题） 【易错】图像是抛物线，不能画折线；注意左右对称选取自变量 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) 画出抛物线，如图所示． (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 8．（24-25九年级上·江苏·期中）已知二次函数． … 0 1 2 … … … (1)填写上表，并在平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2)利用图象写出当时，的取值范围是________________． 【答案】(1)0；3；4；3；0 描点、连线得到图象如下： (2)或． 【分析】本题考查了求函数值、画二次函数图象，根据交点确定不等式的解集，掌握二次函数图象与性质是关键． （1）把表中自变量的值分别代入函数式中即可求得对应的函数值，从而完成表格；然后描点、连线即得到函数图象； （2）从形的角度理解：，函数图象位于x轴下方，观察函数图象即可； 【详解】（1）解：完成表格如下： … 0 1 2 … … 0 3 4 3 0 … 描点、连线得到图象如下： （2）解：当时，体现在函数图象上，是函数图象位于x轴下方， 观察函数图象知：或． ∴当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 9．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）已知二次函数． (1)画出函数的图象． ①把下表补充完整： x … 0 1 … y … … ②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象    (2)根据所画的图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) 表格补充如下： … 0 1 … … 0 0 … 画出图象如下图：    (2) 【分析】（1）将分别代入二次函数即可求解， （2）由函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①将分别代入二次函数， 解得． （2）解：由图象可知： 当时，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 题型4 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性以对称轴分界；开口方向不同，增减变化方向相反 10．（25-26九年级下·江苏苏州·期中）由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 11．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为过点，且平行于轴的直线 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，函数的最大值为， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 题型5 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 【易错】选合适解析式简化计算；计算方程组时符号容易出错 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知一个二次函数满足以下两个条件：①这个二次函数有最大值；②它的图像经过原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数有最大值则二次项系数小于0，图象经过原点则常数项为0，据此构造符合条件的二次函数表达式即可． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， ∵二次函数有最大值， ∴二次项系数， ∵函数图象经过原点， ∴将代入，得，即， 取，，则该二次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数图象过、、三点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）根据抛物线开口方向确定最小值，再结合自变量的范围求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 根据题意得 解得 ∴二次函数解析式为； （2）解：将解析式化为顶点式：，顶点为， 当 时，； 当 时，； 当 时，； ∴． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则__________．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】> 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答． 【详解】解：由表可知，当时，，代入，得； 当时，，代入，得，解得； 故二次函数为， ∵点都在该函数的图象上， 则， ∵， ∴， 故答案为：>． 题型6 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】左加右减只针对 x；不要直接对整个式子加减，极易搞错 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数的图像向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图像对应的二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移问题，利用“左加右减，上加下减”的规律即可推导平移后的二次函数表达式． 【详解】解：把二次函数的图像向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图像对应的二次函数的表达式为， 故选：B． 17．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“左加右减，上加下减”的平移规则求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的函数解析式是， 故选：A． 18．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点在此抛物线上，试比较的大小； (3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∵点在此抛物线上，， ∴； （3）解：∵抛物线平移后得到抛物线， ∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到． 题型7 根据二次函数的性质求参数（共3小题） 【易错】注意二次项系数正负；自变量有范围时，最值不一定在顶点 19．（2026·江苏扬州·二模）已知二次函数的图像经过点，两点，则m的值可能是（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用开口向上的二次函数性质：点到对称轴的距离越远，函数值越大，比较两点的函数值得到距离关系，解不等式得到m的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵，， ∴，即， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴，整理得， 两边平方得， 展开得， 化简得， 解得， 选项中只有满足，因此的值可能是． 20．（2026·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像过点，，若，则的值可能为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将两点坐标代入二次函数得到，结合得到关于的不等式，根据确定的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵二次函数的图像过点，， ∴， ∵ ∴ 整理得 ∴ 方程的两根为和 ∵ ∴，即 ∴的解集为 结合，可知只有满足条件，均不满足条件． 21．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 题型8 利用二次函数的对称性比较大小（共3小题） 【易错】比较前先转化点；距离对称轴远近，不能直接判断函数值 22．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）已知是二次函数的图象上的三个点，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的性质即可求解；直接计算各点纵坐标值并比较大小即可． 【详解】解：∵ 二次函数为 ， ∴ 对于，， 对于 ，， 对于，， ∴ ，，， ∴ ， 故答案为：C． 23．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像和性质． 先根据函数解析式得出开口方向及对称轴，进而得出图像的增减性，求出关于对称轴的对称点，再比较各点的横坐标即可． 【详解】解：的对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随x的增大而增大，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小， 关于对称轴的对称点为，， ， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线，又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 题型9 二次函数与方程问题（共3小题） 【易错】判别式 Δ 决定交点个数；方程的根是抛物线与 x 轴交点横坐标 25．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程的一个根的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根． 【详解】解：∵ 当 时，； 当 时，； ∴ 在  到  之间，函数值由负变正， 故方程 的一个根在 范围内． 故选 ：C． 26．（25-26九年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】的根的个数即函数与的图象的交点个数， 由题意作函数的图象如图： 结合图象可知， 当过点或与相切时，两函数图象有三个交点， 将代入得 联立和得：， 则， 解得： 或 故答案为：或． 27．（2026·河北廊坊·模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 题型10 二次函数与不等式问题（共3小题） 【易错】看清不等号；区间端点是否可取，要看是否包含交点 28．（2026·江苏苏州·三模）如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 29．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 30．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知：二次函数 (1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标； (2)画出函数图象； (3)根据图象： ①写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围； ②写出当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）把二次函数表达式化成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）用五点法画出图象即可； （3）①直接根据函数图象即可求解；②根据自变量的范围以及对称轴的位置，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线与x轴交于和，与y轴交于点，当时，， 函数的图象如图： （3）①根据图象可知：当y为正数时，； ②∵当时，；时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围． 题型11 二次函数的实际问题（共3小题） 【易错】实际问题自变量有限制；最值不一定在顶点，要看取值区间 31．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）有一座抛物线型拱桥，当水面与桥孔的顶部相距时，桥孔内水面宽为． (1)如图，以拱顶为坐标原点建立坐标系，求出该抛物线解析式； (2)一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为，高为．要使该船顺利通过桥孔，水面与拱顶至少相距多少？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）设抛物线解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入，得出，进而加上船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，依题意，点在抛物线上 ∴， 解得：， ∴； （2）解：当时， ∴水面与拱顶的高度为米． 32．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： (1)最高点离地面的高度； (2)该运动员的成绩是多少米？ 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数各点表示的实际意义，可将实际问题转化为点坐标的求解． （1）将解析式化为顶点式，即可得到答案； （2）令，解方程即可 【详解】（1）解：， 顶点坐标为， 可知最高点离地面高度为3米； （2）令 解得（舍去）， 则， 由此可知该运动员成绩为10米． 33．（25-26九年级上·江西·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ∵， ∴当时，月销售利润最大； 故：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为元/个； 题型12 二次函数的简单几何应用（共3小题） 【易错】坐标转长度勿忘绝对值；几何边长必须大于 0 34．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)的面积最大，且为 (3)不存在， 理由如下： 在矩形中，，． ∴，矩形的面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 由（）得， ∴， 则， ∴， 此时无法找到一个t使得成立， 即不存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答． （2）先由矩形的性质得，结合时间和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）先由矩形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 依题意，当时，则， ∴， ∴的面积； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意， ， ∴， ∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ∴， 即， ∴； ∵， ∴函数的开口向下，在时，有最大值， 即把代入，得， ∴当t为秒时，的面积最大？最大面积是； （3）略 35．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 36．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系（共3小题） 【易错】对称轴公式记准；判断 a+b+c 等值，代入 x=1 看函数值 37．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 38．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于两点，其中点在原点左侧，点在2的右侧，对称轴为直线． 以下结论：①；②；③对于任意实数，都有．其中结论正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明等知识点，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，确定的符号及它们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质． 观察函数图象得：图象开口向上，与轴交点在负半轴，可判断的正负，可得结论①正确；再由点在2的右侧，可得②错误；根据当时，函数值最小，最小值为，即可判断③正确． 【详解】解：观察函数图象得：图象开口向上，与轴交点在负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 观察图象得：当时，，故②错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小，最小值为， ∴对于任意实数，都有， 即对于任意实数，都有，故③正确， 故①③正确，共2个， 故选：C． 39．（25-26九年级下·江苏·期末）已知关于的一元二次方程有两实根，，且，有下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③；④若，则．其中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，即可判定①正确；进而得出，可判定③错误；根据两个根可得抛物线的对称轴为直线，得出顶点坐标为，可判定②错误；根据二次函数的对称性得出抛物线的开口向上，时与时，函数值相等，根据得出，即可得出时，，可判定④错误；综上所述，即可得答案． 【详解】∵方程有两实根，， ∴，， ∴，， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵一元二次方程有两实根，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴抛物线的开口向上，时与时，函数值相等， ∵当时，，时，， ∴时，，故④错误； 综上所述：正确的有①，共个， 故选：A． 题型14 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】多个结论逐个验证；不要凭图像直观猜想，需要代数推导 40．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 41．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（   ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的单调性与对称轴的性质．先判断函数开口方向，再根据对称轴左侧的单调性比较两点函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴函数图象开口向上， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 42．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与x轴、y轴分别交于、，二次函数（m，n是常数）的图像的顶点P在线段上，则n的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数，熟知二次函数的性质是解题的关键． 得到顶点的坐标，再表示出直线的解析式，将点的坐标代入，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：， 顶点为， 设直线的解析式为， 把、代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 二次函数的顶点P在线段上， ，且， ， 在时，取最小值为， 故选：B． 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（共3小题） 【易错】临界端点能否取到要单独判断；容易漏掉参数限制条件 43．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 44．（2026·江苏泰州·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（的值即可） 【分析】先确定二次函数的对称轴和开口方向，根据函数增减性得到的取值范围，在范围内取一个值即可． 【详解】解：二次函数整理为顶点式得， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， 由题意当时，随的增大而增大，可得对称轴需满足， 解得； 因此的值可以是（答案不唯一）． 45．（2026·江苏宿迁·二模）设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到关于的表达式，结合的条件，解不等式即可得到的取值范围，再结合即可得解． 【详解】二次函数经过点、， ， 得，， ， ， ，解得， ， 的取值范围是且． 题型16 二次函数的平移综合（共3小题） 【易错】平移只改变顶点位置，开口大小不变；区分图像平移与点平移 46．（2025·甘肃武威·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 47．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可； ②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得， ∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时， 则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或． 48．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线，可得抛物线向上平移m个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，则，解得②当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，构建方程求出m的值可得结论． 【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则有， ∴， ∴关于x的一元二次方程的解为，； ∴抛物线， 抛物线向上平移m个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则， 解得， ②当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得， ∴时满足题意． 综上所述， 或． 故选：A． 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 【易错】与 y 轴交点只有一个；Δ＜0 时，抛物线和 x 轴无交点 49．（2026·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 50．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图象与轴有交点，求的值； (2)若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围； (3)求证：该二次函数的图象不经过原点． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明：当时，， 二次函数的图象不经过原点． 【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可； （2）由题意得到函数的最小值小于，函数的最小值为，即，即可得到答案； （3）当时，，二次函数的图象恒在轴上方，故不经过原点． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴有交点， ， ， 又， ， 解得； （2）解：二次函数中，， 二次函数的图象开口向上， 二次函数的图象与直线有两个交点， 函数的最小值小于， 函数的最小值为， 即， 解得； （3）解：略． 51．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知抛物线经过，解答下列问题： (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式转化为顶点式即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式，求出的值即可求解； （）利用二次函数的性质解答即可； 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴抛物线， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； （3）解：由（）可知，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当，函数值最小，最小值为， 当时，函数值最大，最大值， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 题型18 二次函数与方程综合（共3小题） 【易错】韦达定理使用前提 Δ≥0；根要满足题目自变量范围 52．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（   ）                                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，； 当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解的取值范围为， 故选：C． 53．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下： … 0 2 … … 15 0 0 … 则关于x的方程的解为_______． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称轴求法，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系等， 将关于x的方程的解等价于当时，的值是解题的关键； 根据表格数据，得出二次函数经过的点，进一步求得抛物线的对称轴，再利用关于x的方程的解 等价转化为当时，的值，找出时，的值即可． 【详解】由题知，二次函数经过点，，， 点与的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为， 点关于抛物线对称轴的对称点为， 当时，的值为或5， 即关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 54．（24-25九年级上·河南郑州·期末）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) 根据表格数据描点连线绘制图象如下： (3)①或  ②或  ③ (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； ③借助图象得到不等式的解集； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出， 即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； ③观察图象知，不等式的解集是 故答案为： （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）联立两个函数表达式得：， 则 则 故方程为：则 故答案为：． 题型19 二次函数与不等式综合（共3小题） 【易错】多个函数比较时看清谁在上；解集不要漏掉或多写区间 55．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数． (1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)画出此函数的图象（描个点即可）； (3)当时，利用图象直接写出的取值范围： ． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 图象如下： (3) 【分析】（）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标及对称点的坐标，再描点连线即可画出函数图象； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，画二次函数的图象，二次函数与不等式，正确画出二次函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴此函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∵顶点坐标为， ∴函数图象如答图； （3）解：由函数图象可知，当时，的取值范围为， 故答案为：． 56．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 57．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 题型20 销售问题（共3小题） 【易错】销量随价格变化；自变量有现实上限，顶点不一定可取 58．（2026·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元）． (1)猪肉粽每盒的进价为__________元； (2)若每盒利润率不超过，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350元？ (3)若满足，求商家每天的最大利润． 【答案】(1)40 (2)55元 (3)1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）根据利润率得到x的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即可； （3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， ，解得， 检验：当时，分式方程分母， ，所以是方程的解， 答猪肉粽每盒的进价为40元． （2）解：每盒利润率不超过，即， 解得， 由题意，得 ， 解得：（舍去），， 答：猪肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元． （3）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润， 则：， 配方得：， ∴当时， 随着的增大而增大， ∴当时， （元）， 答：商家每天的最大利润是1750元． 59．（2026·江苏盐城·模拟预测）2026年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． (1)求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； (2)问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)6000元 (2)第15天该网络销售平台的利润最大，最大利润是12500元 【分析】（1）根据图象得第30天的成本，求出此时的产量，然后求出该天的利润； （2）首先表示出，设第天该网络销售平台的利润为元，分类讨论，结合一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， ∴第30天的利润为：（元）； （2）解：设线段的表达式为， 把，代入得，， 解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，； ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 60．（2026·江苏宿迁·二模）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】(1) ； (2)80或76 (3)当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【详解】（1）解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； （2）解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； （3）解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． 题型21 图形问题（共3小题） 【易错】边长大于 0；图形存在隐含约束，不可直接套用顶点最值 61．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 62．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为242平方米 【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案； （2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案． 【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，， ∴矩形的面积， 由题意可得， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）解：∵， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为242平方米． 【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键． 63．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）学校计划在体育馆旁搭建两个相连的矩形自行车车棚，如图所示，一边借助体育馆的外墙，可利用墙长为25米，其余部分用总长36米的铝合金材料围成，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）． (1)设自行车车棚的面积为S平方米，车棚的宽度为x米，求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)S是否总随x的增大而增大，请说明理由． 【答案】(1)， (2)S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解不等式组等知识点，理解题意、找到等量关系、列出函数关系式是解题的关键． （1）设车棚宽度为，那么宽需要需用的材料为米，然后根据自行车车棚铝合金材料总长减去三条宽长度即可表示出，最后利用长乘以宽表示出面积，结合墙的长度可列出不等式表示出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设车棚宽度为， ∵铝合金材料总长36米，且在两个车棚中间及左右两侧各设置一个1米宽的通道（通道不用铝合金材料）， ∴， ∴． 由， 解得：． ∴S与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是． （2）解：S不总随x的增大而增大，理由如下： 由（1）得：， ∵的对称轴为直线，且， ∴S不总是随x的增大而增大，当时，S随x的增大而增大；当时，S随x的增大而减小． 题型22 拱桥、投球、喷水问题（共3小题） 【易错】合理建系简化计算；注意坐标正负，单位统一 64．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 65．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 66．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 拔高·压轴破难 题型23 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 67．（2026·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 68．（2026·江苏南京·三模）已知二次函数（为常数，且）的图象为． (1)图象必经过两个定点的坐标分别是__________，__________； (2)若图象经过点，其与轴的交点的纵坐标为． （I）当时，的取值范围是__________； （Ⅱ）下列关于随变化趋势的描述：①当时，随的增大而减小；②当时，随的增大而增大；③当时，随的增大先增大后减小；④当时，随的增大先增大后减小．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】(1)， (2)（I）；（Ⅱ） 【分析】（1）令的系数为，求得的值，进而求得定点坐标； （2）（I）求得临界值，代入求得二次函数解析式，进而令，求得的值，即可求解； （Ⅱ）分段讨论的范围，画出函数图象，根据抛物线的开口大小与的关系，得出的变化趋势，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴令，即，解得，， ∴，， ∴图象必经过两个定点的坐标分别是，； （2）解：（I）∵图象经过点，在反比例函数上，图象在第一、三象限 ∴当时，， ∵图象过定点、； ∴抛物线开口向上， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （Ⅱ）二次函数， ∴对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点为， ∴， 由（1）可得当时，，抛物线的对称轴为轴， 对称轴， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴当时，抛物线开口变大，变小， 即随着的增大而减小， 又， ∴随的增大而减小，故正确； 如图，图像过定点、，以及， ∴抛物线开口向下，且随着的增大开口变小，对称轴， ∴， ∴当时，随着的增大而减小， 又， ∴当时，随的增大而减小，故错误； ∵图像过定点、， 当时，不在上，故错误； 如图，抛物线与双曲线在交于点，两点，点在点的左侧， ∵当时，， ∴在，之间， ∵，开口越小， 越小，开口越大，越大， 随着的增大，在范围内，在双曲线上从左往右运动， 当抛物线开口变大，点从点往右运动，即随着的增大，增大，此时增大， 当抛物线开口变小时，点从往右运动，即随着的增大，减小，此时减小， ∴随的增大先增大后减小，故正确． 69．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) ， (2) ① ；② 的最小值为 【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，再根据平移规律得到平移后的函数解析式，由此 即可求解； （2）①根据题意，分别把点P，Q代入计算即可； ②根据题意得到，代入解析式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴， ∴； （2）解：①点在抛物线上， ∴， 点在抛物线上，且， ∴， ∴， 整理得，； ②∵， ∴， ∴， 整理得：， 该二次函数二次项系数，开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且对称轴为， ∵时，随增大而增大， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 题型24 二次函数的平移压轴（共3小题） 70．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，对于函数图象W给出如下定义，将函数图象W上的任这一点变化为点，则称点Q为点P的2倍位移点．如：的2倍位移点为，即函数图象W上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象K．称函数图象K为图象W的2倍位移图象，函数K为函数W的2倍位移函数． (1)若点的2倍位移点在反比例函数上，则k的值为________； (2)点A在直线上，点A的2倍位移点B在直线上，求点A的坐标； (3)已知二次函数，函数是的2倍位移函数． ①求二次函数的2倍位移函数； ②取二次函数在的部分，在的部分，组成一个新的函数，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，请问是否存在，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)① ； ② 存在，，理由如下： 根据题意，得 ． ∵，， 如图所示，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线与函数的图象的交点有4个时，从左到右依次记为点M，N，L，R，由图象可知， ， 当时，， 解得， 由图象可知， ∴， 当时， ∵关于直线对称， ∴, 当时，， ∴ 【分析】（1）根据定义求出点的2倍位移点并代入反比例函数解析式即可求出答案； （2）设点的坐标为．求出点的2倍位移点的坐标为．代入直线即可求出答案； （3）①根据平移规律即可求出答案；②求出函数解析式并画出函数图象进行解答即可． 【详解】（1）解：点的2倍位移点是，即， 将点代入，可得． 故答案为：6． （2）∵点在直线上， ∴设点的坐标为． ∴点的2倍位移点的坐标为． ∵点在直线上， ∴．解得． ∴点的坐标为． （3）①∵， 函数是二次函数的2倍位移函数，根据定义可知，函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到函数的图象， ∴． ②略 71．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线，点，和点，分别在抛物线和抛物线上．若点的横坐标均为4，点的横坐标均为，则线段与两条抛物线围成的阴影部分的面积是___________． 【答案】28 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平行四边形的判定和性质．连接，，可得 轴，，推出四边形为平行四边形，，由平移可得下方阴影部分的面积等于四边形内部空白部分的面积，则阴影部分的面积． 【详解】解：如图，分别连接，． 点的横坐标均为4，点的横坐标均为， 轴， 将抛物线向下平移4个单位长度得到新的抛物线， ， 四边形为平行四边形， ， 由平移得下方阴影部分的面积等于四边形内部空白部分的面积， 阴影部分的面积， 故答案为：28． 72．（2026·江苏扬州·三模）在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 题型25 二次函数的面积压轴（共3小题） 73．（2026·江苏南通·三模）已知抛物线与轴交于，（点在点的左侧），与轴交于点，且．        (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)如图，若为轴正半轴上一点，作直线，分别与抛物线交于，两点，试判断是否为定值，若其值为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由； (3)如图，，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标． 【答案】(1)该函数表达式为，点A坐标为 (2)是定值，为 (3) 证明：设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线， 直线， ∵直线与直线的交点始终在直线上， ∴设直线与直线的交点坐标为， ∴， ， ， ∴直线， ∵当时，， ∴直线必经过定点． 定点坐标为． 【分析】（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标； （2）设（），求出直线，与抛物线联立，求出，同理可求，再由求解即可； （3）求出直线，，的解析式，设直线与直线的交点坐标为，可得，即可解答． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， ， 点， ， ， 即该函数表达式为， 令，则， 解得，， 点A坐标为； （2）解：如图， 设（） 设直线， 则， 解得， ∴直线， 与抛物线联立得 整理得 ∴ ∴ ∴ 同理可求直线， 与抛物线联立得 整理得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴是定值，为． （3）略 74．（2026·江苏镇江·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线（）与y轴交于点，顶点为，将该抛物线沿射线方向平移得抛物线，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若抛物线与x轴交于B、C两点，且，则点Q的坐标为_________； (3)点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F在抛物线上，若四边形是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； (4)如图2，抛物线与抛物线交于点M，连接、，若，则点Q的横坐标为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由题意可得且，得到，再将点代入，求出即可； （2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得抛物线，得到抛物线的解析式为，设，求出，根据，利用，即可解答； （3）求出直线的解析式为，根据四边形是面积为6的平行四边形，可得，如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为，求出，易证是等腰直角三角形，得到，求出，进而得到，直线的解析式为，联立，求出，根据点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，同理（2）得到抛物线的解析式为，即可求解； （4）由（3）知直线的解析式为，设，联立，求出，易得是直角三角形，由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得且， 则， ∴， 将点代入，则， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵点，点，且，将抛物线沿射线方向平移得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∵抛物线：， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于B、C两点， 令，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标； （3）解：设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， ∵四边形是面积为6的平行四边形， ∴， 如图，设直线交轴于点，过点作直线的垂线，交直线于点，设直线与轴交点为， ∴， ∴， 令，解得，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点E是抛物线对称轴右侧图像上一点， ∴， ∵点，点，且， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∵， ∴点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，即， 同理（2）设抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 将代入，则， ∴， 解得或， ∴抛物线的解析式为或， ∴点Q的坐标为或； （4）解：由（3）知直线的解析式为， 设， ∴抛物线的解析式为， 联立，则， 整理得，即， 解得或（与点重合，舍去）， 当时，， ∴， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得（点，点重合，舍去），或或（舍去）， ∴点Q的横坐标为． 75．（2026·江苏镇江·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②的最小值为8． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，得到，得到，，由题意得，据此求解即可； （3）①联立得，利用根与系数的关系即可求得； ②求得，利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 题型26 二次函数的角度压轴（共3小题） 76．（2026·江苏无锡·二模）已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点为抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若轴下方的抛物线上有点，点关于轴的对称点为点，直线交抛物线于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入二次函数求出的值，即可得到表达式； （2） 先求出，过点作交于点，过点作轴于点，得出，得出直线的解析式为 ，联立直线与抛物线方程，舍去点后得到点坐标； （3）根据关于轴的对称点为，求出直线的解析式为，联立抛物线得到点坐标与的关系，代入求解得到，进而得到点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数 ，点 在函数图象上， 把代入函数得：， 解得， 因此二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 因式分解得， 解得， 因为点在点左侧，所以； 过点作交于点，过点作轴于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴ 解得：， 所以直线的解析式为 ， 联立， 解得：或 因此点P的坐标为 ； （3）解：由题意得，点 在抛物线上，所以 ， 关于轴的对称点为 ， 已知， 设直线的解析式为 ∴ 解得： 所以直线的解析式为 ， 联立， 整理得 ， 移项因式分解得 ， 解得（对应点，舍去），或 因此点横坐标， ， 由题意， 代入得： ， 整理得 ， 解得， 代入得 ， 因此点的坐标为 77．（2026·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左边），与轴交于点，该抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有． (1)求抛物线的表达式； (2)若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：； (3)若点是抛物线上一动点，过该点作轴的垂线交直线于点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，请求出此时点的坐标； (4)抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由题知点是抛物线的顶点，根据抛物线的顶点坐标公式可得，求得，进而可得抛物线的表达式为． （2）将，代入中，将n和p用含m的式子表示出来，再将用含m的式子表示出来，根据二次函数的性质即可得． （3）先求出B、C两点的坐标，再求出直线的表达式为，设，则．由翻折的性质及平行线的性质可得，列出关于t的方程，求出t的值即可得M点的坐标． （4）分两种情况：①当Q点在C点左侧时，设与y轴的交点为G点，先证，则可得，再求出直线的表达式为，再求出直线与抛物线的交点坐标即为的坐标；②当Q点在C点由侧时，过C点作轴，交抛物线于H点，则可得，再证，则可得，由，可得，又由，则可得点与H点重合，进而可得的坐标． 【详解】（1）解：∵该抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有． ∴点是抛物线的顶点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点，是抛物线上不同的两点， ∴， 即， 且，， ∴ ， ∵， ∴， 即． （3）解：由得，， ∴，． 由得， ∴． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 设，则， 由折叠知，， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得或， ∴或． （4）解：如图，当Q点在C点左侧时，设与y轴的交点为G点， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 联立， 解得，（舍去）， ∴． ②如图，当Q点在C点右侧时， 过C点作轴，交抛物线于H点， 则H点的纵坐标为3， 由， 得（舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴点与点H重合， ∴， 综上Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数与几何的综合运用，题目较难，正确地作出图形，注意分类讨论是解题的关键． 78．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 题型27 二次函数的存在性问题（共3小题） 79．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（、为常数）的图象经过点，．点是该抛物线上一点（点不在轴上），过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，以为边，以点为对称中心作．设点的横坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当点在抛物线对称轴右侧，且被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求的长； (3)当线段与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）直接利用交点式写出函数关系式即可； （2）设点的横坐标为，用含的代数式表示出点、的坐标，结合平行四边形的中心对称性质，写出点、的坐标；再根据等腰直角三角形的直角边相等，分两种情况列出关于的方程，求解后得到的值，进而计算的长； （3）根据平行四边形的性质，得到线段是平行于轴的线段，纵坐标固定；结合线段与抛物线有两个公共点的条件，找出两个临界情况（点在抛物线上、线段与抛物线的临界位置），列出方程求出临界的值，结合图形位置关系确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数）的图象经过点，， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为，当时，， ∴抛物线与x轴与y轴交于点， 点在抛物线对称轴右侧，点的横坐标为，且点A不在x轴上， ，且， ， 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，则， ， 四边形是以点为对称中心的平行四边形， 点与点、点与点分别关于原点对称， ，， 被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形， 分两种情况： ① 当在轴上方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时，过点D作延长线于点M，则平行于直线，， ∵点在直线的直线上，且关于原点成中心对称的点为点D， ∴点D在直线的直线上， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴，， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， 此时； ② 当在轴下方，对称轴右侧的图形为等腰直角三角形时， 同理，，，，，， ∴， 整理得， ， 解得（舍去），， 此时； 综上，的长为或； （3）解：由（2）知，， ∴线段平行于轴，纵坐标为， 线段与抛物线恰好有两个公共点，需满足以下临界情况： ① 当与抛物线顶点相切时，此时为上临界值， 此时的纵坐标， 整理得，， 解得，（舍去）； ② 当点刚好在抛物线上时，此时为下临界值， 将代入抛物线解析式：， 整理得，， 解得，（舍去）； 结合图形位置关系，线段与抛物线恰好有两个公共点时，的取值范围为：. 80．（2026·江苏苏州·二模）如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有两个交点时，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线上运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时（一个交点），此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（舍去）， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时（一个交点），此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， 则二次函数与矩形有两个交点时，二次函数图象在与矩形第一次相交和与矩形最后一次相交之间，且不包含第一次相交和最后一次相交， ∴． 81．（2026·江苏镇江·一模）如图，抛物线经过点．为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点在线段上且位于抛物线对称轴左侧，当为何值时，的面积为4？ (3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）表示，再表示三角形的面积求解即可； （3）设，利用勾股定理，中点坐标公式，分类求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线对称轴， 设， ∴当时，， ∴， 当时，得，整理，得， 解得（舍去）． ∴点的坐标为； （3）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 设， 当为对角线时，如图，点C的横坐标为，此时纵坐标为， 故为，根据菱形的对称性质，得到点为 当为边时，也为边时，根据题意，得， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ， 解得， 故或， 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 当为边时，为对角线时， 过作轴的垂线，垂足为，在中由勾股定理得， ，解得（舍去），， 故 设，，根据中点坐标公式，得 ， 解得， 故； 综上可知点D的坐标为或或或 ． 题型28 二次函数与相似综合（共3小题） 82．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解； （2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解； （3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围 【详解】（1）解：令，则 ， 在左侧 ， （2）解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 （3）解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 83．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，连接，点为上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，连接，交线段于点，若，求此时点的坐标； (3)如图②，连接，过点作轴，交线段于点，若与相似，求出点的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先确定点、的坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式； （2）先求直线的解析式，过点作轴于点，过作轴于点，令点坐标为，证明，得出点，由点在二次函数上可得方程，求解即可； （3）分两种情况：或，根据对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，；当时，， 故点、， 将、代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：对于函数， 当时，得， 解得或， 故点， 令直线表达式为， 将点，代入上式得， 解得， 故直线表达式为， 过点作轴于点，过作轴于点，如下图所示： 令点坐标为， 即， 由图可得， ∴， ∴，， 故点，代入， 得， 解得或， 当时，得，，此时点坐标为； 当时，得，，此时点坐标为； 综上，点坐标为或． （3）解：设点的坐标为， ∴， ∴， , ， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ①当时， ， 即， 解得或， 经检验，不是方程的根，舍去； ②当时， ， 即， 解得或， 经检验，不是方程的根，舍去； 综上，的横坐标为或． 84．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)最大值为； (3)或或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设直线与轴交于点，如图，设，直线解析式为，则，解得，则直线解析式为，又，再通过二次函数的性质即可求解； （）由（）得抛物线解析式为，当时，，则，所以，故有，当与相似时，分两种情况，当时，即，当时，即，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，如图， 设，直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； （3）解：由（）得抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当与相似时，分两种情况， 当时，即，如图， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， 设， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 当时，即，如图， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 综上可得：点的横坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型29 二次函数的最值问题（共3小题） 85．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出，，用待定系数法求二次函数的解析式，并令，解方程即得； （2）设，则，，则，，由，得，求解方程即可； （3）在上取点D，使，连接，求出，由，，得，，，得，得，判断，得，    ，得，的最小值为，即得的最小值为． 【详解】（1）解：对， 令，则， 解得， 令，则， ∴，， 将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式：， 令，则， 解得或， ∴， （2）解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时， 整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：在上取点D，使，连接， 由（1）知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，∴， ∴， ∴    ， ∴， 当C，Q，D三点共线时，，取得最小值， 即取得最小值， ∴此时，取得最小值， 最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质和一次函数的图像和性质，解绝对值方程，分类讨论，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段性质，是解题的关键． 86．（2025·江苏苏州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 【答案】(1) (2)点 的坐标为（1，0）或（4，0） (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键． （1）令，则，即； （2）设，，作轴于点，如图1所示，根据“一线三垂直”模型证明，从而可得比例式，再根据矩形的长宽之比为，可得到当和两种情况，再根据每种情况分别列比例式得到点坐标，把点坐标代入解析式中求解方程即可； （3）如图2所示，作垂直于轴交直线于点，先证明，从而，即，可得，取中点，连接，，，则由斜边中线定理可得，由勾股定理可得，故，当且仅当、、三点共线时取等号，所以最大值为． 【详解】（1）解：令，则，即， 故答案为：． （2）解：设，，作轴于点，如图所示， 由， 可得， ， ， ， ， ， ，， 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）； 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）， 综上，点坐标为或． （3）解：如图所示，作垂直于轴交直线于点， ，， ， ， ， ，即， ，即， 取中点，连接，，，如图， 则，， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以最大值为， 故答案为：． 87．（2026·江苏连云港·一模）已知抛物线（m是常数，且）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B两点的坐标． (2)如图，直线与抛物线的图象交于D、E两点，其中E点的横坐标为． ①当时，根据图象求出x的取值范围． ②连接，G为线段上一动点（不与A、B重合）将沿翻折至，使A与重合，点落在x轴的下方，其中交线段于点H，求的最小值． (3)将抛物线沿x轴向上翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；② (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程，结合在左侧的条件，确定交点坐标； （2）①根据点坐标求出的值，确定抛物线解析式，再结合图像位置关系，写出时的取值范围； ②过点D作于K，求出的长，由翻折性质可知，对应角相等，得平分，过点G作于M，于N，利用角平分线的性质及面积转化法求得 ，即最小时，最小； （3）利用数形结合的思想，画出翻折前后的抛物线，再结合封闭区域内整点个数的条件，分析整点的分布情况，列不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：令，得， m是常数，且， 即， 解得：，， ，； （2）①∵E点的横坐标为，直线经过点E， ， 把点代入，得：， 解得：， ， 联立方程组， 解得：，， ， 由图象可得：当时，x的取值范围为． ②如图，过点G作于M，于N，过点D作于K， ，，， ，， ， 由翻折得， ，， ， ， ，即， 当时，最小，此时，的值最小， 的最小值．     （3）如图，抛物线经过，，对称轴为直线． 围成的区域关于轴对称，轴上有5个“整点”，则轴的上下部分各有四个“整点”只需考虑轴上方的四个整点，只能是，，，， 当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”， 此时， 解得， 根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点， 此时是临界位置，即，解得， ． 【点睛】本题是二次函数的综合压轴题，考查了抛物线与轴的交点、翻折变换与面积转化法的综合应用、抛物线翻折与整点问题等，解题时需熟练掌握二次函数的性质、翻折变换的性质、面积转化法，同时结合整点问题的限制条件，综合分析求解． 题型30 二次函数的新定义问题（共4小题） 88．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．例如都是“二倍点”． (1)请任写一个“二倍点”：___________；（与上例不同） (2)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是___________；（填序号） ①；②；③． (3)已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”，求抛物线的函数表达式； (4)若抛物线（是常数）的图象上有且只有一个“二倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)② (3) (4)存在，或 【分析】（1）根据“二倍点”的定义写出一个与上例不同的例子即可； （2）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （3）根据定义可得“二倍点”为，代入得到①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （4）联立，依题意得，再把其代入中，得到，然后分4种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据“二倍点”的定义：一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，可任写一个“二倍点”为． 故答案为； （2）解：①联立，很明显该方程组无解， 函数上没有“二倍点”，不符合题意； ②联立，解得， 函数上只有一个“二倍点”，它是，符合题意； ③联立，整理得， ， 方程有两个不相等的实数根， 函数上有两个“二倍点”，不符合题意； 故选②； （3）解：由“二倍点”的定义可得，，解得， “二倍点”为． 把点代入得到①， 联立，整理得， 根据题意得出②， 联立①②可得， 抛物线的函数表达式为； （4）解：联立，整理得， 由题意得，整理得． ， 把代入上式得， 是关于的二次函数，且对称轴为． ①当时，在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但，所以不符合题意，舍去， 当时，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时； ②当，即时，在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但，所以不符合题意，舍去， 当时，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时； ③当且，即时， 离对称轴的距离比的距离近， 在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但， 当时，不存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于； ④当且，即时， 离对称轴的距离比的距离远， 在处有最小值，如图所示． ，整理得，解得， 但， 当时，不存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于； 综上所述，存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，此时或． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，一次函数、二次函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“二倍点”的定义，任意的一个“二倍点”一定在正比例函数的图象上． 89．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的差称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． (1)求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”． (2)某二次函数的“特征值”为，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式． (3)如图所示，二次函数的图象顶点M在“坐标差”为2的一次函数的图象上，并与该一次函数的图象另一个交点为N，四边形是矩形，点E的坐标为，点O为坐标原点，点D在x轴上． ①求出的面积． ②当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)点的“坐标差”是，抛物线的“特征值”是5 (2) (3)①；② 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解． （1），故“坐标差”为，故“特征值”为 5 ； （2）由题意得：点，故点的“坐标差”相等，故点，把点的坐标代入得：，解得：，故：，故抛物线的“特征值”为，故，即可求解； （3）①“坐标差”为 2 的一次函数为：，根据抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：，则，联立和，根据根与系数关系求出，再根据即可求解． ②对于图1，直线与矩形边的交点为：，则对称轴为：，解得：，对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ），即可求解． 【详解】（1）解：∵，故“坐标差”为， ∵，， ∴当时，最大，最大值是5， 故抛物线的“特征值”为 5 ； （2）解：二次函数中，令，则， 则点， ∴点的“坐标差”是， ∵点的“坐标差”相等， ∴点， 把点的坐标代入得：， 解得：， 故：， ∵抛物线的“特征值”为， ， 故， 解得：， ， 故抛物线的表达式为：； （3）解：①“坐标差”为 2 的一次函数为：，即， ∵抛物线的图象的顶点在上， ∴设抛物线的表达式为：， ∴， 联立和，整理得， ∴， ∴， 在中，令，，∴， ∴． ②∵抛物线的图象的顶点在上，设抛物线的表达式为：， 当抛物线与矩形有 3 个交点时，如图1、2， 对于图 1，直线与矩形边的交点为：， 则对称轴为：，解得：， 对于图 2 ，把点代入并解得：或 10 （舍去 10 ）， 故，解得：， 故二次函与矩形的边有四个交点时，求的取值范围：． 90．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）定义：点P在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，我们称二次函数是一次函数关于点P的“生成函数”． 例如：点在一次函数的图象上，点关于y轴对称的点在反比例函数 的图象上，所以一次函数关于点的“生成函数”是 (1)求一次函数关于点的“生成函数”的表达式； (2)当时，（1）中所求的“生成函数”的最小值为，求m的值； (3)设（1）中所求的“生成函数”的图象与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线与函数图象交于另一点D，连接，坐标原点为O，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3) 证明：令 ，解得 ， ； 令，则 ； ． 如图，过点作交延长线于点 轴， ， 四边形是矩形． 又 ， 四边形是正方形， ， ，抛物线的对称轴为直线， 轴， ， ， ． ， 又 ， ． ． ， ， ． 【分析】本题考查一次函数，反比例函数和二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法结合新定义求出的值，进而得到二次函数的表达式即可； （2）根据二次函数的图象和性质，分3种情况讨论求解即可； （3）先求出的坐标，过点作交延长线于点易得四边形是正方形，证明，得到，根据正方形的性质结合角的和差关系即可得证． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， ∵点关于y轴对称的点在反比例函数的图象上， ∴， ∴一次函数关于点的“生成函数”的表达式为； （2）由（1）知：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，的最小值为， ∴当，即时，当时，函数有最小值为，解得； 当时，则当时，函数有最小值为， 解得或（舍去）； 当时，则当时，函数有最小值为， 解得或，均不合题意，舍去； 故或； （3）略 91．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______． 【研究深入】 （2）经过点和的抛物线与y轴正半轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【深入拓展】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，点E是上一个动点，过点E作的垂线交抛物线的对称轴于点F，且． ①若点E是的中点，求点P的坐标； ②记线段的长度为y，求y与m的函数关系式； ③在②的条件下，若直线与②中的函数图象有两个交点，直线与②中的函数图象有一个交点，求t的取值范围． 【答案】（1）和； （2） （3）①点P坐标为或；②；③ 【分析】（1）由题意得，抛物线的极限分割线为，当求出x的值，即可得极限分割线与这条抛物线的交点坐标； （2）把代入，得，由此得抛物线的极限分割线为，同（1）可求得极限分割线与这条抛物线的交点坐标，进而可得D点坐标． （3）①设与对称轴交于点G，则，由 E点是的中点，，可得，再由，可得 解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． ②由①得，，由，且，可得，由即可得y与m的函数关系式． ③作出②中y 与x的函数图象，利用数形结合即可得解． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的极限分割线为， 当，时， 解得，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵点在抛物线上， ∴， 得， 由题意得，抛物线的极限分割线为， 由， 得，， ∵， ∴． （3）①由（2）知，且，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P的坐标为， ∵C点在y轴的正半轴上， ∴， ∴， 设与对称轴交于点G，如图； 则， ∵E点是的中点， ∴， ∵，交对称轴于F， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 解得，或． 当时，，点P坐标为， 当时，，点P坐标为， ∴点P坐标为或． ②由①得，， ∵，    且 ∴ ∴ 当时， 当时， ∴y与m的函数关系式为． ③如图，②中y 与x的函数图象如图所示： 当时，， ∵直线与②中的函数图象有两个交点， ∴， ∵直线与②中的函数图象有一个交点， ∴或， ∴或， 综上，t的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系以及数形结合思想是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $