专题13直线与圆知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13直线与圆知题通关讲义 知识点01：直线与圆的三种位置关系 1. 判断依据 设⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d（垂线段长度），分三类： 配套概念 切线：和圆只有一个公共点的直线；公共点叫切点。 割线：和圆有两个公共点的直线。 等价符号：左右条件可以互相推导。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 知识点03：证明直线是圆的切线的方法 知识点04：核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点05：三角形的内切圆与内心 1.内切圆定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.核心性质：内心到三角形三条边的距离相等（距离 = 内切圆半径r）。 4.对比外心、内心表格 1. 误将圆心到直线上某点的距离当作圆心到直线的距离d 提醒：判定所用的距离d，是圆心向直线所作垂线段的长度，并非圆心与直线上任一点连接得到的线段长；只能用垂线段d和半径r的大小关系判断位置关系。 2. 颠倒d与r的大小和直线‑圆位置的对应关系 提醒：d＞r ⇒ 相离（无公共点）；d＝r ⇒ 相切（仅有1个公共点）；d＜r ⇒ 相交（2个公共点），不可记反。 3. 仅凭“存在一个公共点”直接判定直线为圆的切线 提醒：“有一个公共点”必须是唯一公共点；用判定定理时，必须同时满足：①直线经过半径的外端；②直线垂直于该半径，二者缺一不可，不能依靠视觉交点直接判定切线。 4. 应用切线判定定理时，缺失“经过半径外端”或“垂直于半径”条件 提醒：若直线垂直于半径，但垂足不是半径端点，则不是切线；若直线经过半径外端，但不与半径垂直，也不是切线；两个条件必须同时成立。 5. 使用切线性质时，忽略半径必须“过切点”这一限定 提醒：切线垂直于过切点的半径，并非切线与圆心连向切线上任意一点的线段都垂直。 6. 忽略切线的隐含条件：圆心到切线的距离等于半径 提醒：切线到圆心的垂距一定满足 d＝r，切点即为垂足；计算题中该条件常作为已知隐含条件，容易遗漏。 7. 混淆切线与切线长的定义，把整条切线上的线段都视作切线长 提醒：切线是直线，不可度量长度；切线长特指从圆外一点到切点之间的线段的长度。 8. 未满足“从圆外同一点引两条切线”的前提，就套用切线长定理 提醒：只有由圆外同一个定点向圆引出两条切线，才有切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线的夹角；不同点引出的切线，不具备此等量关系。 9. 混淆三角形内心与外心的定义及性质 提醒：内心是三条内角平分线的交点，到三角形三边距离相等，为内切圆圆心，恒在三角形内部；外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，为外接圆圆心，钝角三角形的外心位于三角形外部。 10. 套用三角形内切圆半径公式时，误将半周长p当作周长 提醒：公式 r=中，S是三角形面积，p为半周长（周长的½），不是完整周长；直角三角形内切圆半径简化公式为 r=，不可写成 。 11. 看到“直线与圆有公共点”，只考虑相交，漏掉相切情况 提醒：“直线与圆存在公共点”等价于 dr，包含相交（2个公共点）、相切（1个公共点）；求参数时极易直接写成 d<r，丢失 d=r 的解。 12. 无图形时不进行分类讨论，漏掉参数多解 提醒：若题目没有给出图形，已知公共点个数或半径反求距离、参数，不能默认唯一位置，需要检验是否存在多解。 题型 考察方向 难度 题型一 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★ 题型三 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★ 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★ 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★ 题型六 有关切线的概念辨析 ★ 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型八 证明某直线是圆的切线 ★★ 题型九 切线的性质定理 ★★ 题型十 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十一 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十二 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十四 过圆外一点作圆的切线 ★★ 题型十五 切线的应用 ★★★ 题型十六 圆内知识综合 ★★★★ 题型十七 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型十八 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型十九 圆与函数的综合 ★★★★★ 题型二十 其他问题 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断直线和圆的位置关系 1．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 2．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．要判断直线与的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析． 通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断位置关系． 【详解】解：∵直线与y轴的交点是， ∴， ∴定点B在上， ∴圆心到直线的距离一定不大于， ∴直线（k为常数）与的位置关系为相切或相交． 故选：D． 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 5．如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 6．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 8．如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数的图象与性质，由题意可得点的纵坐标为，分两种情况求解即可． 【详解】解：∵与轴相切，的半径为3， ∴点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得：或， 此时的坐标为或， 当时，， 解得：， 此时的坐标为， 综上所述，圆心的坐标为或或， 故答案为：或或． 9．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，计算得到答案． 【详解】解：连接OP，PC，OC， ∵OP≥OC-PC=2， ∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2， ∵OA=OB，∠APB=90°， ∴AB=2OP， 当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三点共线时，OP最短是解题的关键． 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 11．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 12．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 【答案】 【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解． 【详解】解：第一次相切如图①， ∵，， ∴， 即第一次相切圆心运动的距离为． 第二次相切如图②， ，， 第三次相切如图③， ∵，， ∴， 第三次相切圆心运动的距离为， ∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 14．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 题型六 有关切线的概念辨析 16．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 17．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 18．如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 19．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 【答案】D 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理求得BC的长，再利用三角形的面积公式求得CD的长即可. 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∵，，， ∴， ∵S△ABC， ∴， 则以C为圆心CD为半径作与AB相切. 故选D.    【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，三角形的面积公式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 20．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 21．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型八 证明某直线是圆的切线 22．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    23．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 24．在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系． 【详解】如图： ，平分， ， 为的半径， 是的切线， 与的位置关系是相切． 故选：B． 题型九 切线的性质定理 25．如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵为的切线， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 26．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 【答案】或 【分析】根据圆与轴相切的性质可知圆心纵坐标的绝对值等于半径，结合抛物线解析式及取值范围求解即可． 【详解】解：∵的半径为3，且与轴相切 ∴圆心的纵坐标为3或 当时，代入得， 解得， 即， ∴点的坐标为或， 当时，代入得， 整理得， ∴此方程无实数解， 综上所述：点的坐标为或． 27．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为得到，然后利用圆周角定理得到，进而可得答案． 【详解】解：连接，． ∵、是的切线，切点分别为A，B， ∴（切线的性质）． ∴，     ∴， ∵， ∴，故选项C符合题意． 题型十 切线的性质和判定的综合应用 28．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 【答案】D 【分析】根据题意及切线的性质可分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①设PA与相切于点D，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； ②设PA与相切于点E，如图： ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：当圆心O移动的距离为或5cm时，与直线相切； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键． 29．如图，中，，边与以为直径的相切于点B，将绕点A顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为__________． 【答案】， 【分析】分与相切、与相切两种情况求解即可． 【详解】解：当与相切时，如图1， 旋转角的值为， 当与相切时，如图2， 此时，旋转角的值为， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键． 30．为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的判定和性质．利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质即可判断选项A、B、D正确；假设成立，证明是等边三角形，推出是的切线，与题设相矛盾，可判断选项C不正确． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴设， 若， ∴， 则，选项A正确，不符合题意； 若，又∵， ∴， ∴，选项B正确，不符合题意； 若切于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意； 连接，假设成立， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，即， ∴切于点， 而题设并没有是的切线这一条件， ∴假设不成立，选项C不正确，符合题意． 故选：C． 题型十一 应用切线长定理求解 31．如图，，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解答本题的关键．经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 利用切线长定理，可以得到：，据此即可求解． 【详解】解：∵，分别是的切线， ∴ 同理，． ∴三角形的周长 ． 故选：D． 32．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 【答案】 【分析】由切线长定理可得，，，，则的周长为． 【详解】解：∵、切于点、， ∴， 又∵切于点 ∴，， ∴， ∴的周长为． 33．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 题型十二 应用切线长定理求证 34．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 35．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=6，那么弦AB的长是_______． 【答案】6 【分析】根据切线长定理得到PA=PB，利用∠P=60°得到△PAB是等边三角形即可得到答案. 【详解】∵PA，PB分别切⊙O于点A、B， ∴PA=PB， ∵∠P=60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB=PA=6， 故答案为：6. 【点睛】此题考查切线长定理，等边三角形的判定及性质，由切线长定理得到PA=PB是解题的关键. 36．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 38．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 39．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 题型十四 过圆外一点作圆的切线 40．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 41．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 42．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 题型十五 切线的应用 43．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（    ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可． 【详解】如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为： BE+EC+CD+DA； ②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为： BE++DA； ∵EC+CD＞， ∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA， 即①＞②． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，数形结合是解题的关键．本题作为选择题，无需复杂计算，充分利用几何直观是快速解题的根本． 44．如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 【答案】 【分析】本题考查了点到圆的距离，圆外一点到圆上的点的最短距离和最长距离都在此圆外的点与圆心的连线所在的直线上，记圆外的点为，圆上的点为，圆心为，记，圆的半径为，则当，，共线时，若在线段之间，则取最小值，若在线段之间，则取最大值． 【详解】解：当与、相切时，如图，连接，，延长交于， ∵是等边三角形，半径为1 ∴， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点到上的点的距离的最大值为． 故答案为：． 45．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．延长交于点，根据线段的和差关系求出，根据等边三角形的性质，得到，再根据直线和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ； ； 是等边三角形，为等边三角形的高， ， 又∵的 半径为1， ∴在旋转过程中，与边只有一个公共点的情况有 2次，与边有2次，与边有1次，即交点为点，共5次．如图： 故选 C． 题型十六 圆内知识综合 46．如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【答案】4 【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题． 【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴AB＝BC＝8， ∴AC＝=8， ∵AE＝EB，BD＝DC， ∴DE＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型． 47．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    【答案】12 【分析】过B作直径BD，连CD，则可得到包含直径的直角三角形，解直角三角形即可得到直径长度． 【详解】解：如图，过B作直径BD，连CD，∴∠BCD=90°    ∵∠BAC=30°，∴∠D=∠BAC=30°，而BC=6，∴BD=2BC=12． ∴⊙O的直径为12； 故答案为12． 【点睛】本题考查圆的综合问题，灵活运用圆周角和直角三角形的有关性质求解是解题关键 ． 48．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 【详解】∵， ∴∠APO=70°， ∵， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点C在过点B的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 题型十七 圆与三角形的综合 49．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】连接，借助直径所对的圆周角为，得出为等腰三角形的结论，再根据等腰三角形等角及圆的性质作答． 【详解】解：如图所示，连接， 直径所对的圆周角为， 又为的中点 为等腰三角形 ，②正确； ，③正确； ，①正确； ，④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了圆、圆周角的性质，等腰三角形的性质及判定，解题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的性质． 50．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，一次函数图象与坐标轴的交点问题，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线最近的点为与的交点，从而求出面积的最小值． 【详解】解：过作于，连接， 将，代入中，得， 将代入中，得， 解得：， ∴点B的坐标为点A的坐标为， ∴，，， 根据勾股定理可得， 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， ∴圆上点到直线的最小距离是， 即点为与的交点时， ∴面积的最小值是， 故答案是：． 51．如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 题型十八 圆与四边形的综合 52．如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    【答案】 【分析】可求，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得 四边形是内接四边形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，掌握性质是解题的关键． 53．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 54．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型十九 圆与函数的综合 55．如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 【答案】 【分析】连接CM，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M（2，0），利用勾股定理求出OC，即可得到CD的长度． 【详解】解：连接CM， ∵抛物线的解析式为，点D是抛物线与y轴的交点 ∴点D的坐标为（0，-5）， ∴OD=5． 设y=0，则0=x2-4x-5，解得：x=-1或5， ∴A（-1，0），B（5，0）． ∴AO=1，BO=5， ∴AB=8，M（2，0）， ∴MC=MB=3，OM=2， 在Rt△COM中，OC=， ∴CD=OD+OC=， 即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键． 56．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 57．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 题型二十 其他问题 58．如图，PA、PB分别与相切于点A，B，点M在PB上，且OMAP，MN⊥AP，垂足为点N．若的半径R=3， PA=9，则OM的长是_____． 【答案】5 【分析】首先证明四边形OANM是矩形，然后证明，得出，最后在中利用勾股定理即可解题． 【详解】如图，连接OA，OB， ∵PA、PB分别与相切于点A，B， ∴． ∵MN⊥AP， ． ∵OMAP， ∴四边形OANM是矩形， ． ， ． ∵OMAP， ， ， ． 设，则， ， ， 解得， 即． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握全等三角形的判定及性质，切线的性质及勾股定理是解题的关键． 59．如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可知，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点在一条直线上时，有最小值． 【详解】解：如图所示：连接． ∵四边形为正方形， ∴． ∵点D与点M关于对称， ∴． ∴点M在以A为圆心，以长为半径的圆上． 如图所示，当点在一条直线上时，有最小值． ∴的最小值1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，依据旋转的性质确定出点M运动的轨迹是解题的关键． 60．如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最值问题． 连接，证明，得到，点在以为圆心，3为半径的上，当在对角线上时，最小，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最小值． 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，3为半径的上， 如图，当在对角线上时，最小， 在中，， ∴， 即长度的最小值为， 故答案为：． 解答题 1．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 2．如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 【答案】证明：连接，如图： ∵是的切线， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【分析】连接，根据切线的性质可得，再通过证明，可得，即可证明． 【详解】略 3．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 4．已知：如图，，B为上的一个定点．若点P在射线上，以P为圆心，为半径的圆与射线的另一个交点为C．请确定的位置，使恰与相切． (1)画出；（不要求尺规作图，不要求写画法） (2)连接、并填空： ①________． ②比较大小：________．（用“>”、“<”或“=”连接） 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）过点作于点，取的中点，以点为圆心，为半径画圆即可； （2）由，，即可得的度数； 过点作圆的另外一条切线，切点为，根据切线长定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵， ∴， ∴． 如图，过点作圆的另外一条切线，切点为， ∵，， ∴． 5．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【详解】略 6．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 7．尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【详解】（1）解：作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． （2）解：作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 8．如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E． (1)证明：； (2)设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线，是的半径， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用切线的性质得到 ，根据半径构成的等腰三角形和对顶角得到对应的角相等，再通过等量代换，证出答案； （2）根据圆的半径和算出线段的代数式，利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵的半径为4， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴ ． 9．如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； (3) 【分析】（1）根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解； （2）连接，根据，可得，再由以及，可得，从而得到，即可求证； （3）先证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理可得 ，设，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即． 【点睛】本题主要查了圆的综合题，涉及了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 【答案】(1)①，；②或； (2)或，的最大值为 【分析】本题主要考察图形的旋转性质与点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 1．旋转的本质：线段绕点逆时针旋转得到．因为，故的长度恒为1， 2．“旋转线段”的判定：线段是点的旋转线段，等价于旋转后的线段与定圆（圆心，半径）有公共点． 问题转化：第（1）问：已知旋转后的位置，反推原线段的参数． 第（2）问：线段平行于轴且中点轨迹已知，转化为在直线上滑动．通过计算与圆相交的临界位置，确定参数的范围． 距离计算：利用勾股定理计算和，并根据的不同取值范围讨论（较小值）的最大值． 【详解】（1）解：如图， 线段：端点和旋转后得、， ∵线段，故点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，∴点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，， ∴线段上的点到圆心的距离最小值为2，线段在圆外，线段不是点的旋转线段． ②∵，，， ∴， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， ∴线段所在直线方程为， 如图： 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 结合图形可知： 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． （2）解：∵，线段平行于轴，中点为， 设点在点的左侧，则，， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， 如图： ∴在直线上， 当在圆上时，，即，解得：，， 当在圆上时，，即，解得：，， 由图可知，当增大时，沿竖直方向向上平移， 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． ∵，， ①当时，，，即点在直线下方，点在直线上方，如图： 当垂直平分时，，取最大值为（或）， ∴，解得：， ， ②当时，，，即点、都在直线上方，如图： 此时， 当时，取最大值，最大为，即， ∵ ∴的最大值． 【点睛】这道题的核心在于理解“旋转线段”与“旋转距离”的定义，并将其转化为几何位置关系问题． 几何变换的代数化：旋转的坐标变换公式是解题关键（例如：点绕原点逆时针旋转变为，需结合平移处理）． 数形结合（临界法）：求解或的取值范围时，核心是找到临界状态（即线段的端点恰好落在圆上）． 分类讨论思想：在求的最大值时，需要根据相对于点的位置（即的大小）分情况讨论：跨越直线，或完全在直线同侧．最终通过比较得出． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线与圆知题通关讲义 知识点01：直线与圆的三种位置关系 1. 判断依据 设⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d（垂线段长度），分三类： 配套概念 切线：和圆只有一个公共点的直线；公共点叫切点。 割线：和圆有两个公共点的直线。 等价符号：左右条件可以互相推导。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 知识点03：证明直线是圆的切线的方法 知识点04：核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点05：三角形的内切圆与内心 1.内切圆定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点。 3.核心性质：内心到三角形三条边的距离相等（距离 = 内切圆半径r）。 4.对比外心、内心表格 1. 误将圆心到直线上某点的距离当作圆心到直线的距离d 提醒：判定所用的距离d，是圆心向直线所作垂线段的长度，并非圆心与直线上任一点连接得到的线段长；只能用垂线段d和半径r的大小关系判断位置关系。 2. 颠倒d与r的大小和直线‑圆位置的对应关系 提醒：d＞r ⇒ 相离（无公共点）；d＝r ⇒ 相切（仅有1个公共点）；d＜r ⇒ 相交（2个公共点），不可记反。 3. 仅凭“存在一个公共点”直接判定直线为圆的切线 提醒：“有一个公共点”必须是唯一公共点；用判定定理时，必须同时满足：①直线经过半径的外端；②直线垂直于该半径，二者缺一不可，不能依靠视觉交点直接判定切线。 4. 应用切线判定定理时，缺失“经过半径外端”或“垂直于半径”条件 提醒：若直线垂直于半径，但垂足不是半径端点，则不是切线；若直线经过半径外端，但不与半径垂直，也不是切线；两个条件必须同时成立。 5. 使用切线性质时，忽略半径必须“过切点”这一限定 提醒：切线垂直于过切点的半径，并非切线与圆心连向切线上任意一点的线段都垂直。 6. 忽略切线的隐含条件：圆心到切线的距离等于半径 提醒：切线到圆心的垂距一定满足 d＝r，切点即为垂足；计算题中该条件常作为已知隐含条件，容易遗漏。 7. 混淆切线与切线长的定义，把整条切线上的线段都视作切线长 提醒：切线是直线，不可度量长度；切线长特指从圆外一点到切点之间的线段的长度。 8. 未满足“从圆外同一点引两条切线”的前提，就套用切线长定理 提醒：只有由圆外同一个定点向圆引出两条切线，才有切线长相等，且该点与圆心的连线平分两切线的夹角；不同点引出的切线，不具备此等量关系。 9. 混淆三角形内心与外心的定义及性质 提醒：内心是三条内角平分线的交点，到三角形三边距离相等，为内切圆圆心，恒在三角形内部；外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，为外接圆圆心，钝角三角形的外心位于三角形外部。 10. 套用三角形内切圆半径公式时，误将半周长p当作周长 提醒：公式 r=中，S是三角形面积，p为半周长（周长的½），不是完整周长；直角三角形内切圆半径简化公式为 r=，不可写成 。 11. 看到“直线与圆有公共点”，只考虑相交，漏掉相切情况 提醒：“直线与圆存在公共点”等价于 dr，包含相交（2个公共点）、相切（1个公共点）；求参数时极易直接写成 d<r，丢失 d=r 的解。 12. 无图形时不进行分类讨论，漏掉参数多解 提醒：若题目没有给出图形，已知公共点个数或半径反求距离、参数，不能默认唯一位置，需要检验是否存在多解。 题型 考察方向 难度 题型一 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★ 题型三 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★ 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★ 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★ 题型六 有关切线的概念辨析 ★ 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型八 证明某直线是圆的切线 ★★ 题型九 切线的性质定理 ★★ 题型十 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十一 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十二 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十四 过圆外一点作圆的切线 ★★ 题型十五 切线的应用 ★★★ 题型十六 圆内知识综合 ★★★★ 题型十七 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型十八 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型十九 圆与函数的综合 ★★★★★ 题型二十 其他问题 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断直线和圆的位置关系 1．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为________． 6．如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 8．如图，已知的半径为3，圆心始终在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的坐标为_____． 9．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 11．如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标______． 12．如图，在中，，，，点以的速度在边上沿的方向运动．以为圆心作半径为的圆，运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒． 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 13．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 15．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 题型六 有关切线的概念辨析 16．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 17．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 18．如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 19．在中，，，，以C为圆心作与AB相切，则的半径长为（    ） A．8 B．4 C．9.6 D．4.8 20．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 21．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 题型八 证明某直线是圆的切线 22．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 23．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 24．在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 题型九 切线的性质定理 25．如图，为的半径，为的切线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 26．如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 27．如图，点P，C在弦的两侧，，是的切线，C在上，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 题型十 切线的性质和判定的综合应用 28．如图，，圆心在直线上的半径为，，若沿方向移动，当圆心O移动的距离为（    ）时，与直线相切． A．1 B．4 C．5 D．1或5 29．如图，中，，边与以为直径的相切于点B，将绕点A顺时针旋转，记旋转角度为，旋转过程中，的边与相切时，的值为__________． 30．为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若切于点，则 题型十一 应用切线长定理求解 31．如图，，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 32．如图，、切于点、，，则________；切于点，交、于、两点，则的周长是________． 33．如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 题型十二 应用切线长定理求证 34．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 35．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，PA=6，那么弦AB的长是_______． 36．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 38．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 39．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 题型十四 过圆外一点作圆的切线 40．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 41．已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 42．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 题型十五 切线的应用 43．如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（    ） A．①较长 B．②较长 C．①②一样长 D．以上皆有可能 44．如图，在等边中，，半径为1的在等边内平移可以与该三角形的相切），则点到上的点的距离最大值为 ____． 45．如图，为等边三角形的高，点O 在的延长线上，且，的半径为1，若将绕点 C 按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，与等边三角形的边只有一个公共点的情况一共出现（　　） A．3 次 B．4 次 C．5 次 D．6 次 题型十六 圆内知识综合 46．如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    47．如图,内接于⊙O,,则⊙O的直径等于__________．    48．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 题型十七 圆与三角形的综合 49．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：①；②；③；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 51．如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型十八 圆与四边形的综合 52．如图，A，B，C，D四点都在上，则图中一定和相等的角是_____．    53．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 54．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型十九 圆与函数的综合 55．如图．我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦的长为___________． 56．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 57．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________．    题型二十 其他问题 58．如图，PA、PB分别与相切于点A，B，点M在PB上，且OMAP，MN⊥AP，垂足为点N．若的半径R=3， PA=9，则OM的长是_____． 59．如图，在边长为1的正方形中，将射线绕点A按顺时针方向旋转度（），得到射线，点M是点D关于射线的对称点，则线段长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 60．如图，正方形的边长为8，以C为圆心，3为半径作，点P为⊙C上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接， 在点P运动的过程中，长度的最小值是_______． 解答题 1．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    2．如图，是的弦，是的切线，．求证：是的切线． 3．如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 4．已知：如图，，B为上的一个定点．若点P在射线上，以P为圆心，为半径的圆与射线的另一个交点为C．请确定的位置，使恰与相切． (1)画出；（不要求尺规作图，不要求写画法） (2)连接、并填空： ①________． ②比较大小：________．（用“>”、“<”或“=”连接） 5．如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 6．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 7．尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 8．如图，点P是半圆O的直径延长线上一点，与半圆O切于点C，连接，交于点D，与交于点E． (1)证明：； (2)设与交于点F，若半圆O的半径为4，，求的长． 9．如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，． (1)若，求（用含的式子表示）； (2)求证：是的切线； (3)过点C作交于点H，作交于点F，若，求的长． 10．在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $