第25-26单元选择题高频易错题考点汇总训练（七大类型）-2026-2027学年人教版数学九年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元选择题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 3 考点三实际问题与一元二次方程 4 考点四二次函数的概念 6 考点五二次函数的图象和性质 8 考点六二次函数与一元二次方程 10 考点七实际问题与二次函数 12 考点一一元二次方程的概念 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意； B、含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、未注明，当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含两个未知数，是二元方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（　    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项并调整二次项系数符号，化为一般形式． 【解答】解：原方程为， 移项，得， 两边同乘，得． 3．已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程系数的定义，由常数项为求出参数，进而得到一次项系数． 【解答】解：一元二次方程的二次项系数为，常数项为， ∵该方程二次项系数和常数项都是， ∴， ∴一次项系数为． 4．已知方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程根的定义得到，，，通过降次法计算代数式的值． 【解答】解：∵m是方程的根， ∴，即，， ∴， ∴ ． 考点二解一元二次方程 5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项后将方程左边配方为完全平方式，化为指定形式后对比求． 【解答】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴． 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即， 解得． 7．若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【解答】解：对移项，得， 整理得． ∵一元二次方程有一解为， ∴， 解得． 8．已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（     ） A．5，6 B．，6 C．5， D．， 【答案】A 【解答】解：由根与系数的关系得： 考点三实际问题与一元二次方程 9．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【解答】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 10．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【解答】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 11．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（     ）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 【答案】B 【分析】设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【解答】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 12．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 【答案】A 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于 的一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是． 考点四二次函数的概念 13．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 14．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【解答】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 15．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解答】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 16．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【解答】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 考点五二次函数的图象和性质 17．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， ， ， ， . 18．如果将抛物线向左平移1个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照平移的性质左加右减即可求出答案． 【解答】解：将抛物线向左平移1个单位长度，将解析式中的替换为，得新抛物线的表达式为． 19．若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用二次函数开口向下时最大值在对称轴处的性质，结合对称轴公式求解， 【解答】解：∵二次函数中， ∴函数取最大值时的值为对称轴横坐标， 由对称轴公式直线，代入，， 得， ∵函数取最大值时， ∴． 20．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 【答案】A 【分析】利用抛物线和长方形的轴对称性，将轴左侧的阴影部分对称变换到轴右侧，发现阴影部分面积之和等于轴右侧长方形的面积. 【解答】解：二次函数的图象关于轴对称，长方形的顶点、在轴上，、在图象上， 长方形关于轴对称， 点的横坐标为， 点的横坐标为，当时，， 点的坐标为， ，， 根据对称性，轴左侧阴影部分的面积等于轴右侧抛物线与轴、围成的空白部分的面积， 阴影部分的面积之和等于矩形（即轴右侧长方形部分）的面积， . 考点六二次函数与一元二次方程 21．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】根据题意得二次项系数为正，则可判定A；根据顶点式得抛物线的对称轴，故可判断B；令，可求得抛物线与x轴的交点坐标，从而判定C；根据抛物线的对称轴及增减性可判定D，最后可确定答案． 【解答】解：∵ ，二次项系数， ∴ 图象开口向上，选项A错误； ∵顶点式为， ∴对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得，， ∴与轴交点的横坐标是和，选项C错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 22．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【解答】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 23．已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由表格数据可知，当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根在范围内． 24．如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的对称性可确定另一根的范围，再由题意进一步缩小范围即可． 【解答】解：， 对称轴为， 方程的一个根在1和之间， 另一个根在和之间， 当时，， 这个根在和之间， 这个根更接近． 考点七实际问题与二次函数 25．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，根据矩形对称性表示出点坐标，代入抛物线解析式求解． 【解答】解：∵矩形脚手架在隧道正中 ， ∴图形关于y轴对称 ， ∵， ∴设，（）， ∴ ， ∴点的坐标为． ∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴． 26．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴、竖直向上的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，设抛物线的解析式为；把“水面宽”的一半作为横坐标，把“水面相对原点的竖直位移”作为纵坐标，用正常水位（半宽为6，点的纵坐标为）与警戒水位（半宽为4，点的纵坐标为）两组数据列出关于a、h的方程组，两式相减消去h先求出a，再回代即可求出拱顶离正常水面的高度． 【解答】解：如图，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为轴，竖直向上的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则水面在轴下方，抛物线开口向下． 设抛物线的解析式为，设正常水位时拱顶离水面的高度为． 正常水位时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、；水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，半宽为，水面两端点的坐标为、． 把、分别代入，得，． 两式相减，得，解得． 把代入，得，所以． 故正常水位时拱顶离水面的高度为． 【点睛】抛物线形拱桥、隧道类问题，一般都以顶点（拱顶）为原点建立平面直角坐标系，设，只含一个待定系数，计算最简；两个已知条件列出两个方程后，通常用两式相减先消去，再回代．易错点：一是横坐标要用水面宽的一半，不能用水面宽本身；二是水面在原点下方，点的纵坐标要用表示，水位上涨多少，纵坐标就相应增加多少． 27．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 28．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【解答】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第25-26单元选择题高频易错题考点汇总训练（七大类型） 目录 考点一一元二次方程的概念 1 考点二解一元二次方程 1 考点三实际问题与一元二次方程 2 考点四二次函数的概念 3 考点五二次函数的图象和性质 3 考点六二次函数与一元二次方程 4 考点七实际问题与二次函数 5 考点一一元二次方程的概念 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（　    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程的二次项系数和常数项都是1，则这个一元二次方程的一次项系数为（     ） A． B． C． D． 4．已知方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 考点二解一元二次方程 5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 8．已知 x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，则与 的值分别为（     ） A．5，6 B．，6 C．5， D．， 考点三实际问题与一元二次方程 9．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（     ）秒． A．1 B．2 C．6 D．2或6 12．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 考点四二次函数的概念 13．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 14．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 15．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 16．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 考点五二次函数的图象和性质 17．已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．如果将抛物线向左平移1个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 19．若二次函数取最大值时，则m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 20．如图，二次函数过点，长方形的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和（     ） A．16 B．8 C．14 D．9 考点六二次函数与一元二次方程 21．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点的横坐标是和 D．当时，随的增大而增大 22．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．已知二次函数（）中x和y部分对应值如表，则关于x的一元二次方程的一个根所在范围的是（     ） x y A． B． C． D． 24．如图，观察函数的图象，可以发现方程在1，2之间有根．取1，2的平均数1.5，当时，，进一步可知这个根在1和1.5之间，则与方程另一根更接近的是（     ） A． B． C． D． 考点七实际问题与二次函数 25．如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线（单位：米）的一部分，施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架，已知点、在轴上方的抛物线上，点、均在轴上，且，则脚手架高为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 26．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽，水位上涨到达警戒水位，此时水面宽，则正常水位时拱顶离水面的高度为（     ） A． B． C． D． 27．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 学科网（北京）股份有限公司 $