专题03 一元二次方程的期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上学期

专题03 一元二次方程的期中复习 考点01 因式分解法解一元二次方程 考点02 配方法解一元二次方程 考点03 公式法解一元二次方程 考点04 去分母法解分式方程 考点05 换元法解方程 考点06 一元二次方程根的判别式 考点07 不解方程求一元二次方程两根的对称式 考点08 已知一元二次方程的一根求另一根 考点09 利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系解题 考点10 二次三项式在实数范围内的因式分解 考点11 一元二次方程的应用 考点01 因式分解法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：． 2．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 3．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 4．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 5．（25-26八年级上·上海·期末）某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） 考点02 配方法解一元二次方程 1．（26-27八年级·上海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 3．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 4．（25-26八年级上·上海宝山·期末）用配方法解方程：． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 6．（19-20九年级上·广西贵港·期中）若将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（   ） A．4，25 B．，25 C．，5 D．，73 7．（25-26·上海·一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 8．（25-26八年级下·上海·阶段检测）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 考点03 公式法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 考点04 去分母法解分式方程 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 4．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 5．（25-26八年级上·上海崇明·期末）解分式方程：． 6．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 6．（25-26八年级上·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 7．（25-26八年级上·上海·期中）若分式方程有增根，求k的值． 8．（25-26七年级上·上海·课前预习）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 考点05 换元法解方程 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 2．（25-26八年级上·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知实数x满足，则代数式的值为________． 5．（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 考点06 一元二次方程根的判别式 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 考点07 不解方程求一元二次方程两根的对称式 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 2．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为_____． 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 7．（25-26八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 考点08 已知一元二次方程的一根求另一根 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为_______． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是__________． 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的3倍，则_________． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，是方程的两根，则的值为________． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值和该方程的另一个根． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)其中一个根是另一个根的平方，求的值． 8．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 考点09 利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系解题 1．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·上海·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之和为1，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根的和为，求的值，并求出该方程的根． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程有两个实数根和． (1)求实数k的取值范围． (2)若，试求k的值． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ (2)设，是这个方程的两个实数根，且，求m的值． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 考点10 二次三项式在实数范围内的因式分解 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列整式能在实数范围内因式分解的是(        ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在实数范围内因式分解：________． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）在实数范围内分解因式：______． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内分解因式． 考点11 一元二次方程的应用 1．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 4．（25-26八年级上·上海·专题练习）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 6．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的期中复习 考点01 因式分解法解一元二次方程 考点02 配方法解一元二次方程 考点03 公式法解一元二次方程 考点04 去分母法解分式方程 考点05 换元法解方程 考点06 一元二次方程根的判别式 考点07 不解方程求一元二次方程两根的对称式 考点08 已知一元二次方程的一根求另一根 考点09 利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系解题 考点10 二次三项式在实数范围内的因式分解 考点11 一元二次方程的应用 考点01 因式分解法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得： 或 解得或 所以，原方程的根是， 2．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是关键．把原式变形为，得到或，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴，即 则或， ∴ 3．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．先对方程进行整理，然后根据因式分解法进行求解即可． 【详解】解：， ， ，    ． 解得，．    4．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)可能为0 (2) 小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）略 5．（25-26八年级上·上海·期末）某同学在解方程时，给出了以下解答过程： 解答过程 步骤序号 解：将方程的左边因式分解，得， …① 当且时满足以上等式，可得； …② 当且时满足以上等式，可得． …③ 综上，原方程的解为，． …④ （1）该同学的解答过程是否正确？（请根据你的判断勾选以下选项之一；勾选后，根据相应的选项完成对应的问题（2）和问题（3）） □A．该解答过程不正确 □B．该解答过程正确 （2A）如果你认为该解答不正确，那么它是从第______步开始出错的，请说明其错误的原因： （2B）如果你认为该解答正确，那么请再出一个一元二次方程，并用上述方法求解，说明此解法的合理性； （3A）对于原题所给的方程，请写出你认为正确的解答过程． （3B）对于原题所给的方程，请另外给出一种你认为正确的解法，写出解答过程． 【答案】A； （2A）从第②步开始出错 错误的原因：因式分解法解一元二次方程的原理是若，则或，该解法错误地将等式右边为6的情况类比为0的情况进行求解，其推理过程不成立； （3A）正确的解答过程： ， 移项得， 因式分解得， 所以或， 解得或． 【分析】本题考查用因式分解法解方程的错解改正问题，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；根据题意可判断解答过程不正确， （2A）因式分解法解一元二次方程的原理是“若，则或”，据此答题即可； （3A）按因式分解法解方程即可． 【详解】解：A．该解答过程不正确， （2A） 略 （3A） 略 考点02 配方法解一元二次方程 1．（26-27八年级·上海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 3．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 4．（25-26八年级上·上海宝山·期末）用配方法解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 利用完全平方公式变形配方，开方即可求出解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）解方程，乐乐的解答过程如下： 解：①移项，得， ②将二次项系数化为1，得： ③配方，得 ④两边开平方，得或 ⑤所以， (1)乐乐的解答过程从第___________步开始出错的，其错误原因是_________________． (2)请写出正确的解答过程（全部）． 【答案】(1)③，配方出错； (2) ， 移项，得， 将二次项系数化为1，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 所以， 即． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）根据配方法的步骤，进行作答即可． 【详解】（1）解：第③步，配方出错，方程两边应该加上一次项系数一半的平方； （2）略 6．（19-20九年级上·广西贵港·期中）若将一元二次方程化成的形式，则的值分别是（   ） A．4，25 B．，25 C．，5 D．，73 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法，掌握配方法是加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 使用配方法将方程化为完全平方形式即可求解． 【详解】∵ ， 移项得：， 配方：两边加16（一次项系数8的一半的平方），得， 即， ∴ , ． 故选：A． 7．（25-26·上海·一模）已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较即可． 【详解】根据题意，得 ＝， ∵ ∴ ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键． 8．（25-26八年级下·上海·阶段检测）阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)的最小值为2 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． 【详解】（1） ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2） ∵， ∴ ∴的最小值为2 ∴的最小值为2． 考点03 公式法解一元二次方程 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 5．（25-26八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 考点04 去分母法解分式方程 1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，解分式方程，分母有理化． 通过计算每个方程的实数解情况，选项A的一元二次方程判别式为负，无实数解；选项B有无数实数解；选项C经求解和检验有实数解；选项D有实数解． 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 4．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程的解为． 5．（25-26八年级上·上海崇明·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元二次方程求解的方法是关键．根据题意，先去分母，转换为一元二次方程，再根据解一元二次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：两边同时乘以得 ， 整理得， ， 解得或 ， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， 所以原方程的根是． 6．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验，舍去增根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 解得，， 经检验：当时，则，故舍去； 当时，则， ∴方程的解为． 6．（25-26八年级上·上海·期末）若关于x的方程无解，求实数的值． 【答案】或或 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：， 当时， 原分式方程无解， ， 或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键． 7．（25-26八年级上·上海·期中）若分式方程有增根，求k的值． 【答案】 【分析】分式两边同乘以最简公分母可得：，再将增根代入式子即可求出k的值． 【详解】解：∵分式方程的最简公分母为，分式两边同乘以最简公分母可得： ∵分式方程有增根， 将其代入上式可得：，解之得：． 【点睛】本题考查分式方程根的情况，利用分式方程有增根求参数值，解题的关键是将增根代入去分母之后的式子进行求解． 8．（25-26七年级上·上海·课前预习）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 考点05 换元法解方程 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若x、y为实数，且，则___________． 【答案】 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 5．（25-26八年级上·上海·期中）分式方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，换元法解方程；通过换元法，将原方程中的分式用表示，然后去分母转化为关于的整式方程． 【详解】解：设，则原方程中， 而， 因此原方程化为．两边同乘， 得， 整理得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 考点06 一元二次方程根的判别式 1．（25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 2．（25-26八年级上·上海普陀·期末）已知关于的方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次方程有实数根的条件，判别式非负，求解不等式． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， ∴， ∴. 故k的取值范围是． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式确定参数，列出不等式组求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 4．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 5．（25-26八年级上·上海·期末）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 【答案】； 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数以及求解一元二次方程．熟记相关结论即可．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求出a的值，再代入方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴， 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1) 解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以 a、b、c为边的三角形是等边三角形． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【答案】(1) 证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； (2)或0 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 解得：或， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即， a为整数，， 或0． 考点07 不解方程求一元二次方程两根的对称式 1．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 【答案】 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： 2．（25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，两实数根互为相反数则根之和为零，由此得出k的可能值，再通过判别式检验确保有实数根． 【详解】解：设方程的两根为和， 由根与系数的关系，得， ∵关于的一元二次方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，此时方程无解； 当时，，此时方程有两实数根； ∴ 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 7．（25-26八年级上·上海·期中）阅读理法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，，那么，，以上定理称为韦达定理 例如：已知方程的两根分别为，， 则：， (1)已知方程的两根分别为，，求的值； (2)关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用根和系数的关系求出、的值，再利用完全平方公式和积的乘方的逆运算对代数式进行变形，最后把所得的值代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系和相反数的定义求出的值，再代入方程进行检验即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴． （2）解：设方程的两根分别为，， ∵方程的两个实数根互为相反数， ∴， ∴， 当时，方程为，方程无解，故不合，舍去； 当时，方程为，方程有解，符合题意； ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，相反数的定义，完全平方公式的变形运算，代数式求值，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 考点08 已知一元二次方程的一根求另一根 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则方程的另一个根为_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，进而根据“有一个根为1”即可求解． 【详解】解：设方程的两根为和，其中， 根据根与系数的关系，两根之积， ∴， ∴，即方程的另一个根为． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是__________． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 3．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的3倍，则_________． 【答案】或 【分析】设其中一根为，则另一根为，由根与系数的关系得两根之积为12，求出两根，再由两根之和等于求． 【详解】解：设其中一根为，则另一根为． ∵方程的两根之积为12， ∴， ∴， ∴． ①当时，另一根为6， ∴， ∴； 检验：当时，，方程有两个不相等的实数根，符合题意； ②当时，另一根为， ∴， ∴． 检验：当时，，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 综上所述，的值为或． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得，由方程的解的定义得到，，则可求出，，则可得原式，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴ ． 5．（25-26八年级上·上海·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值和该方程的另一个根． 【答案】的值是，该方程的另一个根是 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和解二元一次方程组，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得出，，求出组成的方程组的解即可．解题的关键是掌握：如果和是方程（、、为常数，）的两个根，则，． 【详解】解：设方程的另一个根为， 依题意，得：，， 解得：，， ∴的值是，该方程的另一个根是． 6．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1) 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)其中一个根是另一个根的平方，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原方程有两个实数根，则判别式大于等于0，据此求解即可； （2）设关于的一元二次方程的两个实数根为，根据根与系数的关系得到，解方程求出t的值，进而可求出m的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：设关于的一元二次方程的两个实数根为， 由根与系数的关系可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴符合题意． 8．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1) 证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 考点09 利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系解题 1．（25-26八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 2．（25-26八年级上·上海·课后作业）已知关于x的一元二次方程的两个实数根之和为1，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合两根之和为1的条件求解，验证判别式确保方程有两个实数根． 【详解】解：，两根之和为1， ，解得， ∵恒成立， ∴符合题意． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根的和为，求的值，并求出该方程的根． 【答案】(1)证明：∵． ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)；，． 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）用根与系数的关系列式求得的值，再根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵该方程的两个实数根的和为， ∴， 解得：， 原方程变为：， 解得：，． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)证明：一元二次方程中、、， ， 无论取何值，方程总有实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，再根据平方的非负性可证结论成立； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）解：，是方程的两个根， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程有两个实数根和． (1)求实数k的取值范围． (2)若，试求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原方程有两个实数根，则判别式大于等于0，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，根据得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的方程有两个实数根和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 又∵， ∴． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ (2)设，是这个方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入求解即可． 【详解】（1）解： 令，即 解得 当时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系可得， 已知 而，代入得： ∴ 解得 验证：当时，，方程有实根，符合题意． 故． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻根方程” (2)或0 (3)4 【分析】（1）先解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系和题中定义表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t的最大值． 【详解】（1）解：由得， 解得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； （2）解：由得， 解得，， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴， 解得，，均满足， ∴m的值为或0； （3）解：∵方程是“邻根方程”， ∴设方程的两个根为，， 则，，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴当时，t取最大值，最大值为， ∴t的最大值为4． 考点10 二次三项式在实数范围内的因式分解 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）下列整式能在实数范围内因式分解的是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解，一元二次方程根的判别式的意义．通过计算每个二次多项式的判别式，判断是否能在实数范围内因式分解． 【详解】解：对于二次多项式，判别式． 若，则能在实数范围内因式分解． 对于A∶，，，，，不能因式分解． 对于B∶，，，，，能因式分解． 对于C∶，，，，，不能因式分解． 对于D∶，，，1，，不能因式分解． ∴能在实数范围内因式分解的是B． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·阶段检测）在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，配方法的应用，首先提出，然后利用配方法和平方差公式写成因式分解的形式． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【详解】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内分解因式． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．先利用十字相乘法分解，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 考点11 一元二次方程的应用 1．（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 3．（25-26八年级上·上海·期中）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）． (1)如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是多少？并求出最大面积是多少． 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为，根据长方形面积计算公式可得，再求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； （2）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，茶园的面积为， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：如果让围出的茶园面积最大，长和宽分别是，最大面积是． 4．（25-26八年级上·上海·专题练习）列方程解下列问题： 某公司积极响应节能降碳号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，用1500万元购进A型汽车的数量比用1200万元购进B型汽车的数量少10辆． (1)求每辆A型和B型汽车的进价分别为多少万元？ (2)公司将出售两种汽车，将A型汽车的售价定为35万元/辆，B型汽车的售价定为25万元/辆，第一个月售出A型汽车8辆，售出B型汽车6辆，为了尽快将汽车销售完，公司决定在第一个月的售价上搞促销活动，每辆A型汽车降低m万元，第二个月比第一个月多卖出2m辆，每辆B型汽车售价直接打九折，第二个月卖出B型汽车13辆，结果第二个月比第一个月的利润多3万元，求m的值． 【答案】(1)A型汽车进价为每辆30万元，B型汽车进价为每辆20万元 (2)m的值为0.5 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． （1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； （2）根据题意，先分别列式求出第一个月和第二个月的利润，再根据第二个月比第一个月的利润多3万元，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 则， 答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元； （2）解：第一个月的利润为： （万元）， 第二个月的利润为： ， ∵第二个月比第一个月的利润多3万元， ∴， 解得， 即m的值为0.5． 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 6．（25-26八年级上·上海金山·期中）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： (1)用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． (2)根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】(1) ①根据题意作图如下： ② (2)1，3，3，1， 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； （2）解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $