精品解析：甘肃省兰州第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

兰州一中2026-2027-1学期10月月考试题 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 6. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校高一六班学生51人，寒假均需参加体育训练，其中足球队27人，排球队28人，游泳队24人，足球排球都参加的有15人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知关于的不等式的解集为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若集合A，B满足，则 B. 若集合合只有一个元素，则或 C. 若，则有最大值，且最大值为 D. 若实数a，b，c满足，，则 11. 设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的两个零点分别为、，则______． 13. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 设函数． （1）若存在，使成立，求m的取值范围； （2）若对，恒成立，求x的取值范围． 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2026-2027-1学期10月月考试题 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知集合代表所有正整数，故. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案. 【详解】命题“，”为全称命题，它的否定是特称命题形式， 即为，， 故选：C 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】不等式或， 因此集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 6. 如果集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系. 【详解】由， 令，则，所以， 由于，故 故选：A. 7. 某校高一六班学生51人，寒假均需参加体育训练，其中足球队27人，排球队28人，游泳队24人，足球排球都参加的有15人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合A={参加足球队的学生}，集合B={参加排球队的学生}，集合C={参加游泳队的学生}， 则，，， ，，， 设三项都参加的有人，即，， 由， 得，解得. 8. 已知关于的不等式的解集为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的解集为得到，是方程点的两个根，然后根据韦达定理和得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意得，是方程点的两个根，所以，， ，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若集合A，B满足，则 B. 若集合合只有一个元素，则或 C. 若，则有最大值，且最大值为 D. 若实数a，b，c满足，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用集合运算，集合性质，基本不等式，不等式性质判断A、B、C、D的结论. 【详解】，A错误； 当时，集合为空集，元素个数为0，B错误； 令，，当，即时取等号，故，当时取等号，C正确； 因为，，所有，所以，即，故，D正确. 故选：CD 11. 设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断ACD；利用消元并配方求出最小值判断B. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的两个零点分别为、，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知函数的两个零点分别为、， 即、是方程的两个根， 根据韦达定理： 13. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 14. 已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 【答案】4（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 【详解】可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可. 【小问1详解】 当时，可得集合， 所以. ，． 【小问2详解】 由，可得， ①当时，可得，解得； ②当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】(1)由分式不等式解得，由充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点即可； (2)特称命题为真即，先解决集合，然后比较端点，保证B与有交集. 【小问1详解】 由，得且，解得，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以A是B的真子集． 由，需满足且（等号不同时取），即且，所以． 故． 【小问2详解】 命题“，”为真，即．先保证B非空：，得． 又B与有交集，需且，即且，综合得． 故． 【点睛】本题考查集合的表示、包含与交集关系及含参不等式，重点考查将充分不必要条件、特称命题真假转化为集合之间等价关系的能力，以及判断区间端点开闭的严谨性。 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 设函数． （1）若存在，使成立，求m的取值范围； （2）若对，恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合，对分类讨论结合最小值计算求解，即可求出范围； （2）恒成立，即，结合一次函数单调性列式，再解一元二次不等式即可. 【小问1详解】 对于，对称轴为直线 若，则在单调递增，，得 若，则在单调递减，，得，又，得 若，则恒成立，符合条件． 综上， 【小问2详解】 ，，， ∵对一切实数，恒成立，且， 是单调递增的∴只需，解得． 的取值范围是． 19. 设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），b=6 （2） 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值；（2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可；（3）利用换元法结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即， 当时，原不等式化为或； 当时，原不等式化为 当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得： 当时，，由不等式得： 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，或. 【小问3详解】 由得， ∵对恒成立， ∴， 化简得，且， 代入得：， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $