4.5函数的应用（二）（分层作业，20大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 4.5 函数的应用（二） A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求函数的零点 题型02 零点存在性定理的应用 题型03 判断函数零点的个数 题型04 判断函数零点所在区间 题型05 判断二分法的适用条件 题型06 二分法的具体过程 B组 能力进阶 题型01 根据零点求函数解析式中的参数 题型02 由函数零点所在区间求参数 题型03 根据零点判断函数值的符号 题型04 利用给定函数模型解决实际问题 题型05 指数函数模型的应用 题型06 对数函数模型的应用 题型07 根据增长率选择函数模型 题型08 建立函数模型解决实际问题 题型09 分段函数模型的应用 C组 思维拔高 题型01 已知函数零点个数求参数 题型02 函数零点的分布 题型03 讨论与函数零点相关的代数式的取值范围 题型04 比较零点的大小关系 题型05 函数零点相关代数式求值 求函数的零点题型01 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数的零点为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 3．（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是__________． 4．设函数，且. （1）求的值； （2）求函数的零点； （3）设，求在上的值域. 5．（24-25高一上·北京·期末）设函数，关于x的不等式的解集为． (1)当时，求解集S； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． (3)求函数的零点． 零点存在性定理的应用题型02 1．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 4．（24-25高一上·北京·期末）已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是__________________. 5．（24-25高一上·河南南阳·联考）设函数 （，且）. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求a的取值范围. 判断函数零点的个数题型03 1．（25-26高一上·云南·质检）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期末）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，则方程 有_____个不同的实数根． 4．已知函数是定义在上的偶函数，时，，则函数的零点个数为______. 5．已知函数 (1)判断函数单调性并用定义证明； (2)求证：存在唯一正零点且； (3)已知，判断函数的零点个数，说明理由. 判断函数零点所在区间题型04 1．（25-26高一上·广西柳州·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 5．已知函数． (1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值； (2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 判断二分法的适用条件题型05 1．（25-26高一上·河南·联考）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用二分法求函数零点的近似解，可以取的初始区间是（      ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 二分法的具体过程题型06 1．（25-26高一上·北京·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高一上·福建·质检）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 4．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程的一个近似解为______．（精确到0.01） 5．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 根据零点求函数解析式中的参数题型01 1．已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （    ） A． B． C．4 D．3 2．（25-26高一上·四川·质检）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 5．函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______. 由函数零点所在区间求参数题型02 1．（25-26高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知. (1)求的零点； (2)关于的方程 有解， 求的取值范围. 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 5．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 根据零点判断函数值的符号题型03 1．（25-26高二上·贵州凯里·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 2．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 利用给定函数模型解决实际问题题型04 1．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 2．（24-25高一上·江西·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 3．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为___________元. 4．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． (1)①试解释与的实际意义； ②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）； (2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 5．某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求: ①奖金(单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求. 在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金? 指数函数模型的应用题型05 1．第五届世界生物圈保护区大会于2025年9月在杭州举办，大会围绕生物圈保护区相关议题展开研讨，对推动全球生态保护和可持续发展具有重要意义．某生物圈保护区内的某种濒危鸟类的数量逐年增长，其数量N(单位：只)与年份t(t=0表示2020年)的关系满足其中为2020年的初始数量．已知2025年该鸟类的数量约为600，则2020年该鸟类的初始数量约为（    ） 参考数据： A．343 B．360 C．387 D．400 2．（24-25高三下·福建莆田·质检）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 4．（24-25高一上·四川南充·期末）通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 5．（24-25高一上·河南濮阳·期末）为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 (1)运用上述函数模型，求当时的值； (2)若当时，恒成立，求的最小值． 对数函数模型的应用题型06 1．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 2．（25-26高一上·北京·期末）在通信网络中，信号从基站传输到手机的过程中，会因传输线（如光纤、电缆）的损耗导致功率衰减.其衰减程度大致符合，其中表示信号衰减量（单位：），常数表示传输线的输入功率（单位：），表示传输线的输出功率，某通信公司测试了两根传输线的衰减程度，已知两根传输线的输入功率相同，且传输线甲的衰减量比传输线乙大，则传输线甲的输出功率与传输线乙的输出功率的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西桂林·质检）某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 4．（25-26高一·浙江衢州·质检）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 5．（25-26高一上·重庆·期末）重庆市巴蜀中学第34届学生艺术节上，同学们又看到了机器人的精彩表演，随着我国人工智能技术不断突破，机器人的功能也越来越强大.据了解，可以用公式计算机器人的最大运算频率(单位:)，其中(单位:)是相对运算频率，(单位:)是机器人控制模块的质量，(单位:)是机器人控制模块和其它模块的质量总和，称为“和谐比”，型机器人的相对运算频率是 (1)当和谐比为100时，利用给出的参考数据求P型机器人的最大运算频率； (2)经过材料更新和技术改进后，P型机器人相对运算频率提高到了原来的倍，和谐比变为原来的，若要使P型机器人的最大运算频率至少增加200Hz，求在材料更新和技术改进前和谐比的最小整数值．参考数据:． 根据增长率选择函数模型题型07 1．数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 2．（24-25高一上·上海·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 3．（25-26高一上·四川泸州·期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 (1)假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； (2)2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 建立函数模型解决实际问题题型08 1．有一组实验数据如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 3．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________． 4．设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨. (1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润； (2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润. 5．（25-26高一上·内蒙古·质检）某学习用品店新推出两款学生笔记本，分别为清华大学横线格笔记本和北京大学空白格笔记本，已知清华大学横线格笔记本单价为x元，北京大学空白格笔记本单价为y元，某学生想购买这两款新笔记本，现有两种购买方案： 方案一：清华大学横线格笔记本购买数量为a本，北京大学空白格笔记本购买数量为b本，花费记为； 方案二：清华大学横线格笔记本购买数量为b本，北京大学空白格笔记本购买数量为a本，花费记为. （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少?请说明理由： (2)若同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S的最小值（注：差值花费较大值花费较小值） 分段函数模型的应用题型09 1．（25-26高一上·江西·联考）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 2．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为________. 3．（24-25高一上·重庆·期中）近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： (1)训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ (2)若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 4．近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 5．近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值. 已知函数零点个数求参数题型01 1．（24-25高一上·广西南宁·联考）设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 3．（24-25高三上·上海·期中）设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为______． 4．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 5．（24-25高一上·湖北武汉·联考）关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，，，试判断方程根的个数． 函数零点的分布题型02 1．若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·月考）关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为______. 3．若函数在上有2个零点，则的取值范围是______． 4．已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 5．已知函数，函数，称方程的根为函数的不动点， （1）若在区间[0,3]上有两个不动点，求实数的取值范围； （2）记区间，函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，已知，求的取值范围． 讨论与函数零点相关的代数式的取值范围题型03 1．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·联考）已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数，其中． （1）若，则的零点为___________； （2）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 4．已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则__________，的取值范围为__________. 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求值：； (2)判断函数的单调性，并证明：有且仅有两个零点； (3)设，为的两个不同零点，证明：. 比较零点的大小关系题型04 1．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 5．已知，则a，b，c从小到大的关系是___________. 函数零点相关代数式求值题型05 1．若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 2．已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－1 D．－2 3．设是函数（为常数）的两个零点，则的值为_________. 4．设满足，满足，则____________. 5．已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5 函数的应用（二） A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求函数的零点 题型02 零点存在性定理的应用 题型03 判断函数零点的个数 题型04 判断函数零点所在区间 题型05 判断二分法的适用条件 题型06 二分法的具体过程 B组 能力进阶 题型01 根据零点求函数解析式中的参数 题型02 由函数零点所在区间求参数 题型03 根据零点判断函数值的符号 题型04 利用给定函数模型解决实际问题 题型05 指数函数模型的应用 题型06 对数函数模型的应用 题型07 根据增长率选择函数模型 题型08 建立函数模型解决实际问题 题型09 分段函数模型的应用 C组 思维拔高 题型01 已知函数零点个数求参数 题型02 函数零点的分布 题型03 讨论与函数零点相关的代数式的取值范围 题型04 比较零点的大小关系 题型05 函数零点相关代数式求值 求函数的零点题型01 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数的零点为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】利用函数零点的概念求解即可. 【详解】由得或，故函数的零点是、. 故选：B 2．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·月考）函数的零点是__________． 【答案】或 【分析】根据题意，令，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，即，解得或， 所以函数的零点是或. 故答案为：或 4．设函数，且. （1）求的值； （2）求函数的零点； （3）设，求在上的值域. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由解出即可 （2）令得，即，然后解出即可 （3），令，转化为二次函数 【详解】（1）由已知得，即， 解得； （2）由（1）知，令得， 即，解得， 又，解得； （3）由（1）知，令， 则，， 因为在上单调递增 所以， 【点睛】1.函数的零点即是对应方程的根， 2.对于复合函数的问题，一般是通过换元转化为基本函数处理. 5．（24-25高一上·北京·期末）设函数，关于x的不等式的解集为． (1)当时，求解集S； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． (3)求函数的零点． 【答案】(1) (2)存在， (3)当时，没有零点； 当时，的零点为； 当时，的零点为； 当且时，的零点为和． 【分析】（1）将代入函数解析式，由得关于的一元二次不等式，求解即可； （2）将一元二次不等式解集的端点值转化为一元二次方程的解，利用韦达定理求解即可； （3）令，得方程，先根据是否等于零分类讨论，再结合一元二次方程的判别式，求根公式求解即可. 【详解】（1）当时，函数． 由，得，即，解得． 所以解集． （2）假设存在实数，使得， 则，并且，是方程的两个根， 所以，解得． 因此，存在，使得． （3）令，得关于的方程． ①当时，有，解得． ②当时，关于的一元二次方程的判别式为． （ⅰ）当，即时，方程无实数解； （ⅱ）当，即时，解得； （ⅲ）当，即且时，解得． 综上所述，当时，没有零点； 当时，的零点为； 当时，的零点为； 当且时，的零点为和． 零点存在性定理的应用题型02 1．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以函数至少有4个零点， 故选：D． 2．若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线， 由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点， 充分性成立； 而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立， 如函数，在开区间内有零点，但， 必要性不成立. 则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件. 故选：A 3．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案. 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题. 对于而言，令，，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题. 故选：B 4．（24-25高一上·北京·期末）已知命题：若二次函数满足，则在区间内无零点.能说明为假命题的一个函数是__________________. 【答案】（答案不唯一，，满足时，或时，即可） 【分析】令，根据条件，先假设在区间内有零点，利用二次函数根的分布，建立的不等关系，通过取值，即可求解. 【详解】令，由得到， 当时，假设在区间内有零点，则有①， 不妨取，显然满足①式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 当时，假设在区间内有零点，则有②， 不妨取，显然满足②式，此时， 令，得到， 所以，满足，但在区间内有零点，故满足题意， 故答案为：（答案不唯一，，满足时，或时，即可）. 5．（24-25高一上·河南南阳·联考）设函数 （，且）. (1)若，求证：在内存在零点； (2)若不等式的解集是，且时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 由题意，即， 所以，所以， 因为，， 当时，，由函数零点存在定理知在内存在零点； 当时，则，是零点，此时在内存在零点. 综上，在内存在零点. (2) 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为恒成立求解. 【详解】（1）略 （2）依题意得，且，是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系得，，， 即，， 所以， 依题意，得在时恒成立. 因为，，所以只需在时恒成立， 即，， 令，， 令，则，，且在时单调递增， 所以当时，， 所以，即，所以. 所以a的取值范围是. 判断函数零点的个数题型03 1．（25-26高一上·云南·质检）函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接解方程即可得答案. 【详解】令，可得。解得，所以函数只有一个零点， 故选：B． 2．（24-25高一上·北京·期末）方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性结合零点存在定理可判断解的个数. 【详解】原方程等价于即， 设， 因为均为上的减函数，所以为上的减函数， 而，， 所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解. 故选：B 3．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，则方程 有_____个不同的实数根． 【答案】6 【分析】设求，再解方程即可. 【详解】设， 若，则； 若或. 由； 由或或； 由或. 所以方程共有6个不同实根. 故答案为：6 4．已知函数是定义在上的偶函数，时，，则函数的零点个数为______. 【答案】16 【分析】由可得或，由函数是偶函数，结合函数的图象求出时的零点个数即得. 【详解】由，即，得或， 则函数的零点，即函数的图象与直线和的交点横坐标， 而是上的偶函数，于是只需求出当时的图象与直线和的交点个数， 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 显然当时，，作出函数在上的图象及直线和，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有3个交点，与直线有5个交点， 因此当时，的图象与直线和的交点共有8个， 则偶函数在的图象与直线和的交点共有16个， 所以函数的零点个数为16. 故答案为：16 5．已知函数 (1)判断函数单调性并用定义证明； (2)求证：存在唯一正零点且； (3)已知，判断函数的零点个数，说明理由. 【答案】(1) 在上单调递增，证明如下： 设， ∵函数在上单调递增，∴，又， 在上单调递增； (2) ， 即，又由（1）知在上单调递增， 所以由零点存在定理，存在唯一使得，且， 此时， 函数在上单调递减， . 即存在唯一正零点且； (3) （1）由已知※），， 可得， 和都是函数的零点， 由（2）知， 代入（※）式得； ∴函数， 是函数的零点， ∴由（2）知， 令，则函数的零点个数， 即为方程的正根个数， 由可得方程有两不相等根， 但，可知两根都为负根， 即方程无正根， ∴函数的零点个数为0个. 【分析】（1）利用函数单调性的定义求解； （2）由，结合（1）在（）上单调递增，根据零点存在定理，得到存在唯一使得，且，然后得到求解； （3）由已知※），，得到和都是函数的零点，令，函数的零点个数，转化为方程的正根个数求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 判断函数零点所在区间题型04 1．（25-26高一上·广西柳州·月考）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的零点，再得到所在区间即可. 【详解】令，解得， 而，则零点所在的区间是，故C正确. 故选：C 2．（25-26高三上·天津·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理计算判断即可. 【详解】函数是由指数函数和幂函数相减而成. 单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减. ， 因为为减函数，所以，即， ， 因为在上为增函数，所以，即， 所以，所以该区间存在零点，C正确； 结合在上单调递减. 在、、无零点，故ABD错误. 故选：C. 3．已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】构造函数，方程有两个不同的解，，转化为函数有两个零点，利用函数零点存在性定理求解． 【详解】解：令，则函数的图象在上连续， ， ， ， ， ，， 函数在区间，上各有一个零点， 即，， 故选：． 4．（25-26高一·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 5．已知函数． (1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值； (2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果. 【详解】（1）由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． （2）由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，，设，，则有，，令，， ，由基本不等式知，，当且仅当时， 有最大值1，∴ 综上，实数a的取值范围为． 判断二分法的适用条件题型05 1．（25-26高一上·河南·联考）已知函数的图象如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图象与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 2．用二分法求函数零点的近似解，可以取的初始区间是（      ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出在上单调递减，由零点存在性定理得到答案. 【详解】由题意可知，的定义域为，且在上单调递减， 又，， ， 由零点存在性定理得，唯一的零点所在区间为. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·期末）若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义，将问题转化为一元二次方程解的问题，可得答案. 【详解】因为函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点， 所以该零点两侧函数值的符号相同， 则有两个相同的解， 则，解得. 故选：D. 4．下列方程中不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二分法的定义一一判定即可. 【详解】根据二分法的要求，在上，有才能用二分法， 对于A，显然在定义域上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在定义域上连续， 有，可以使用二分法，故B错误； 对于C，在定义域上连续， 且有， 可以使用二分法，故C错误； 对于D，， 且只有一个零点，故不可以使用二分法，故D正确. 故选：D 二分法的具体过程题型06 1．（25-26高一上·北京·期中）设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】分析可知在定义域内单调递增，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 又因为，，， 所以， 所以方程的根所在区间为. 故选：C. 2．用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由于长度等于的区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过次操作后，区间长度变为，若要求精确度为0.01时则，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数. 【详解】因为开区间的长度等于，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半， 所以经过次操作后，区间长度变为， 令，解得，且，故所需二分区间的次数最少为6. 故选：B. 3．（25-26高一上·福建·质检）用“二分法”求方程在区间内的实根，第一次应取点___________进行判断. 【答案】1 【分析】由二分法的概念即可求解. 【详解】由二分法的操作步骤可知：第一次应取区间的中点， 即， 故答案为：1 4．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程的一个近似解为______．（精确到0.01） 【答案】1.56 【分析】根据零点存在定理，可知零点在内，再根据二分法即可判断该方程的近似解且满足误差不超过0.005. 【详解】因为，， 根据零点存在性定理，可知零点在内， 由二分法可得零点的近似值可取为， 所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005． 故答案为：1.56 5．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1) 在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）略 （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 根据零点求函数解析式中的参数题型01 1．已知2是函数（为常数）的零点，且，则的值为 （    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，得，从而可得函数解析式为，从而由可求出的值 【详解】因为2是函数（为常数）的零点， 所以，得，所以， 因为，所以，得， 故选：C 2．（25-26高一上·四川·质检）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集. 【详解】因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 3．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，讨论两个函数的零点，根据可得的关系，代入目标式，结合基本不等式可得. 【详解】设，. 因为，所以在上单调递增. 当时，；当时，. 因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根， 即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点. 由题意可得，，则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键在于将不等式恒成立转化为两个函数零点重合，从而得到的关系，然后借助基本不等式求解即可. 4．（25-26高一下·江苏盐城·期末）已知为函数的一个零点，则_________． 【答案】 【分析】利用零点的定义即可. 【详解】由已知可得，所以. 5．函数，对任意的时，都有，则______，函数的最小值是______. 【答案】 －1 －36 【分析】易得，是的两个零点，由可得，也是的两个零点，代入即可求出；令通过换元将函数转化为二次函数的最值问题即可. 【详解】依题意， 因为， 则，是的两个零点， 又，则，也是的两个零点， 故，则，故； 又，故， 令，则或，故， 对称轴是，故当时，即时，函数取得最小值－36.， 故答案为：-1；-36. 由函数零点所在区间求参数题型02 1．（25-26高一·江苏南京·期末）若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，进而可得结果. 【详解】令，可得， 因为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3．已知. (1)求的零点； (2)关于的方程 有解， 求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设得且定义域为，进而求其零点即可. （2）在上有解且，应用参变分离及基本不等式求的范围，注意等号成立条件. 【详解】（1）由题设，且定义域为， 所以，令，即，解得. 所以的零点为. （2）由（1）及题设知：在上有解，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的取值范围为. 4．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知条件代入，解一元二次不等式 （2）利用换元法和二次函数的性质求参数范围 【详解】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令， 为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 5．若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 不存在，理由如下： 对于，则，整理得， ∵，则该方程无解， ∴函数不存在“飘移点”. (2) 对于，则，整理得， ∵在内连续不断，且， ∴在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. (3) 【分析】（1）根据题意整理得，通过判断该方程是否有解； （2）根据题意可得，构建函数，结合零点存在性定理分析证明； （3）根据题意整理得，利用换元结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）对于，则，即， ∵，则， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， 则，， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 根据零点判断函数值的符号题型03 1．（25-26高二上·贵州凯里·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据是函数的零点，得到在上，有，则答案可得. 【详解】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 2．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知实数是函数的一个零点，实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，在上的单调递减，结合零点存在性定理得到，从而得到或，故，其他不正确. 【详解】， 其为上的单调递减函数， 其中，， 故只有一个零点， 又，， 又，所以， 或， 若，则， 若，则， 故，D正确，C错误；或，AB错误. 故选：D 3．若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设易得，结合函数单调性有，再由的单调性及零点确定不等式解集. 【详解】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 4．已知、为常数，，是的零点，且. (1)若，，求、的值； (2)若，比较与的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理将，代入计算可得； （2）利用作差法以及两根之间的关系，再由不等式性质计算可判断结论. 【详解】（1）依题意可得的两根分别为； 若，，可得， 解得； （2）易知， 所以，则； 所以， 由可得， 又可得，所以，即； 因此. 所以. 利用给定函数模型解决实际问题题型04 1．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 【答案】B 【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】解：根据题意可得， 则当时， ， 所以， 即当放电电流，放电时间为28.5h. 故选：B. 2．（24-25高一上·江西·期中）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 3．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为，那么该商品的日利润最大时，当日售价为___________元. 【答案】150 【分析】对函数关系式配方，利用二次函数的性质判断即可 【详解】因为， 所以当时，y取最大值. 故答案为：150 4．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数． (1)①试解释与的实际意义； ②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）； (2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由． 【答案】(1)表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减. (2)当时，，此时两种清洗方法效果相同； 当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少； 当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少. 【分析】（1）①根据函数的实际意义说明即可； ②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性. （2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可. 【详解】（1）①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变； 表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的. ②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减. （2）设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为， 则； 用单位的水清洗1次，则残留的污渍为， 然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为， 因为， 所以当时，，此时两种清洗方法效果相同； 当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少； 当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少. 5．某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益。该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求: ①奖金(单位:万元)随投资收益 (单位:万元)的增加而增加； ②奖金不低于10万元且不超过200万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为:“f(x)恒成立”请你用数学语言表述另外两条奖励方案； (2)已知函数，其中符合公司奖励方案函数模型要求. 在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金? 【答案】(1)“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数； “奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值. (2)195万元 【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答. （2）根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答. 【详解】（1）略 （2）因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上是增函数，有， ，，解得， 由，不等式恒成立，得， 显然，，当且仅当，即时取等号， 于是，解得，从而， 因此当，时，，当且仅当且时取等号，且， 所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金. 指数函数模型的应用题型05 1．第五届世界生物圈保护区大会于2025年9月在杭州举办，大会围绕生物圈保护区相关议题展开研讨，对推动全球生态保护和可持续发展具有重要意义．某生物圈保护区内的某种濒危鸟类的数量逐年增长，其数量N(单位：只)与年份t(t=0表示2020年)的关系满足其中为2020年的初始数量．已知2025年该鸟类的数量约为600，则2020年该鸟类的初始数量约为（    ） 参考数据： A．343 B．360 C．387 D．400 【答案】C 【分析】确定2025年对应的年份参数，代入数量关系式，计算指数项的值后求解初始数量. 【详解】2025年对应，代入得. 故，，则. 故选：C 2．（24-25高三下·福建莆田·质检）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】根据分钟时，上方还剩下一半细沙，可列出方程，求出的值，然后令为原来的，即可求出结果. 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时，则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为分钟． 故选：C 3．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【分析】由，，可得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 4．（24-25高一上·四川南充·期末）通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 5．（24-25高一上·河南濮阳·期末）为探究与的关系，研究人员提出了用的函数模型刻画数据．其中与的几组对应数据如下表： 1 2 3 12 48 156 (1)运用上述函数模型，求当时的值； (2)若当时，恒成立，求的最小值． 【答案】(1)480 (2) 【分析】（1）根据题意将表格中的数据代入函数模型，建立方程组，解得函数中的参数，可得答案； （2）利用分离参数整理不等式，再利用换元法构造函数，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）将表格数据代入，得，解得 故该函数模型的表达式为， 把代入，得． （2）由题意得当时，恒成立，即， 故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式化为，整理得， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故只需当时，成立即可，把代入得， 解得，故的最小值为． 对数函数模型的应用题型06 1．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（     ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 【答案】B 【详解】设训练个单位数据的时间为，训练个单位数据的时间为， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 2．（25-26高一上·北京·期末）在通信网络中，信号从基站传输到手机的过程中，会因传输线（如光纤、电缆）的损耗导致功率衰减.其衰减程度大致符合，其中表示信号衰减量（单位：），常数表示传输线的输入功率（单位：），表示传输线的输出功率，某通信公司测试了两根传输线的衰减程度，已知两根传输线的输入功率相同，且传输线甲的衰减量比传输线乙大，则传输线甲的输出功率与传输线乙的输出功率的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，结合对数的运算性质化简，即可得. 【详解】由题意，则. 故选：D 3．（25-26高一上·广西桂林·质检）某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 【答案】D 【分析】根据函数模型，代入两组数据，化简可得、，即可得函数解析式，再代入即可. 【详解】代入两组数据有， 两式相除：， 化简，解得或（舍）， 再代入求得， 因此， 代入，得. 故选：D. 4．（25-26高一·浙江衢州·质检）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 【答案】 【分析】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒），根据所给条件及对数的运算性质求出，即可得解. 【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 故答案为： 5．（25-26高一上·重庆·期末）重庆市巴蜀中学第34届学生艺术节上，同学们又看到了机器人的精彩表演，随着我国人工智能技术不断突破，机器人的功能也越来越强大.据了解，可以用公式计算机器人的最大运算频率(单位:)，其中(单位:)是相对运算频率，(单位:)是机器人控制模块的质量，(单位:)是机器人控制模块和其它模块的质量总和，称为“和谐比”，型机器人的相对运算频率是 (1)当和谐比为100时，利用给出的参考数据求P型机器人的最大运算频率； (2)经过材料更新和技术改进后，P型机器人相对运算频率提高到了原来的倍，和谐比变为原来的，若要使P型机器人的最大运算频率至少增加200Hz，求在材料更新和技术改进前和谐比的最小整数值．参考数据:． 【答案】(1) (2)44 【分析】（1）根据，求得P型机器人的最大运算频率； （2）由题意列出关于材料更新和技术改进前后关于和谐比的方程，若要使P型机器人的最大运算频率至少增加200Hz，则，求解可得. 【详解】（1）． （2）设材料更新和技术改进前，， 材料更新和技术改进后，． 因为要使最大运算频率至少增加，所以， 即：， 所以， 即，所以. 因为，， 所以在材料更新和技术改进前和谐比的最小整数值为44. 根据增长率选择函数模型题型07 1．数据显示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 月收入（万元） 1.4 2.56 5.31 11 21.3 根据上述数据，在建立该公司2023年月收入（万元）与月份的函数模型时，给出两个函数模型与供选择. (1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：，） 【答案】(1)用函数这一模型较好，理由如下： 对已知数据进行描点： 由图可知点，，，，基本上是落在函数的图像的附近， 因此用函数这一模型较好 (2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 【分析】（1）由题意，描点并和函数图象比较，可得答案； （2）解法一：根据题意建立不等式，利用对数运算即可；解法二：指数函数的单调性试根. 【详解】（1）用函数这一模型较好，理由略； （2）解法一：当时，即，∴，即， ∴， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元. 解法二：当时，即，∵，， 故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元 2．（24-25高一上·上海·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1) 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， (2)万元 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 3．（25-26高一上·四川泸州·期末）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2023年底至2025年底新能源汽车保有量如下表： 年份（年） 2023 2024 2025 新能源汽车保有量（辆） 1000 1500 2250 (1)假设从2023年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为y辆，根据表中提供的数据，从函数（且）和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式； (2)2023年底该地区传统能源汽车保有量为20000辆，且传统能源汽车保有量每年均下降4%．若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，所以可用函数（且）来描述，代入点，求得，即可求得解析式； （2）由题可知，从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为，结合（1）中所得解析式，列出相应的不等式，求解即可. 【详解】（1）由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快， 所以可用函数（且）来描述. 代入点，得，解得，. 所以. 2023年的数据，满足， 所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为. （2）设从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 由题意知，从2023年底起经过年后，新能源汽车保有量为； 从2023年底起经过年后，传统能源汽车保有量为. 所以，即. 两边取常用对数，得. 因为，， 所以. 所以从2023年底起经过7年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 即到2030年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量. 建立函数模型解决实际问题题型08 1．有一组实验数据如下表所示： x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04 则最能体现这组数据关系的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点分别代入各函数，即可求出． 【详解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是． 故选：D． 2．果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【详解】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 3．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________． 【答案】 【分析】将费用之和表示为关于的函数的形式，根据基本不等式取等条件可确定结果. 【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，则； （当且仅当，即时取等号）， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值为. 故答案为：. 4．设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本.白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求.已知生产线每年需要投入的固定成本为万元，且年产量达到吨时，需要另外投入的成本为（万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨. (1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润； (2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润. 【答案】(1)年产量200吨时，年利润为3840万元 (2)年产量40吨时，药品平均利润最大，年利润为1280万元 【分析】（1）设年利润为（万元），则，再由二次函数的性质计算可得； （2）由药品平均利润为，利用基本不等式求出平均利润取最大值时的值，再代入（1）中解析式计算可得. 【详解】（1）设年利润为（万元）， 则 ，     所以当时，取最大值， 即年产量吨时，年利润为万元 （2）药品平均利润为     ， 当且仅当，即时取等号， 此时， 即年产量吨时，药品平均利润最大，年利润为万元 5．（25-26高一上·内蒙古·质检）某学习用品店新推出两款学生笔记本，分别为清华大学横线格笔记本和北京大学空白格笔记本，已知清华大学横线格笔记本单价为x元，北京大学空白格笔记本单价为y元，某学生想购买这两款新笔记本，现有两种购买方案： 方案一：清华大学横线格笔记本购买数量为a本，北京大学空白格笔记本购买数量为b本，花费记为； 方案二：清华大学横线格笔记本购买数量为b本，北京大学空白格笔记本购买数量为a本，花费记为. （其中） (1)试问哪种购买方案花费更少?请说明理由： (2)若同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S的最小值（注：差值花费较大值花费较小值） 【答案】(1)方案二花费更少，理由如下： , 因为，所以， 即，所以方案二花费更少； (2). 【分析】(1)利用作差法分析即可得到判断； (2)利用基本不等式和二次函数思想即可求最小值. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以 因为，所以， ， 以上取等号条件是，， 此时, 所以. 分段函数模型的应用题型09 1．（25-26高一上·江西·联考）“双11”购物节期间，小李在某网上购物平台搜索销售商品A的店铺，筛选出优惠幅度比较大的甲、乙、丙、丁四家店铺．已知这4家店铺原来销售的商品A都是每件60元，购物节期间某时间段内对于商品A，甲每件均按原价的6折（即原价的）销售；乙按原价买二送一；丙首件按原价、第二件8折（即原价的）、第三件免单；丁按照原价销售，顾客支付款不超过100元的部分按照30%返现，超过100元的部分按照返现．若该时间段内小李准备购买（或3)件A商品（包含赠送的及免单的），设在甲、乙、丙、丁店铺购买所需费用分别为，，，，记，，，中的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意先求出各个函数的解析式，进而判断各选项即可. 【详解】由题意，， ， ， . 对于A，，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确. 故选：D 2．为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民一年的天然气费为元，则此户居民这一年使用的天然气用量为________. 【答案】 【分析】首先确定该户居民使用的天然气用量所在区间，将其设为，根据阶梯定价标准和总费用可构造方程求得的值. 【详解】年天然气用量为时，天然气费为； 年天然气用量为时，天然气费为； 该户居民这一年使用的天然气用量超过但不超过，可设为， 则，解得：， 此户居民这一年使用的天然气用量为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·重庆·期中）近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下： (1)训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？ (2)若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由. 【答案】(1)训练开始后分钟效果最好，且能维持分钟 (2) 进行该项体能训练能达标.理由如下： 当时，，解得；    当时，，满足要求； 当时，，解得； 故分钟分钟，所以进行该项体能训练能达标. 【分析】（1）分段求出函数的最值，再比较大小即可； （2）分段列出不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意可知，当时，单调递增， 所以当时，的最大值为；     当时，； 当时，.     所以训练开始后分钟效果最好，且能维持分钟. （2）略 4．近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x（0＜x≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为万元，满足：． (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：万台）的函数关系式； （2）根据（1）所得分段函数，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案． 【详解】（1）当0＜x≤20时，＝x﹣（180+450x）＝610x﹣2x2﹣180﹣450x＝﹣2x2+160x﹣180， 当20＜x≤50时， 所以，. （2）当0＜x≤20时，＝﹣2x2+160x﹣180＝﹣2（x﹣40）2+3020， 则函数在（0,20]上单调递增，故当x＝20时，取得最大值，且最大值为2220； 当20＜x≤50时， ， 当且仅当，即x＝30（负值舍去）时等号成立，此时取得最大值，且最大值为2270， 因为2270＞2220， 所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 5．近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值. 【答案】(1)6小时 (2)2 【分析】（1）根据题意得到，再分类讨论与两种情况下，的解集情况，从而得解； （2）根据题意得到从第一次喷洒起，经过x（）小时后，浓度为，从而利用基本不等式求得，进而解不等式即可得解. 【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上求得， 所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达6小时. （2）设从第一次喷洒起，经过x（）小时后，浓度为 ， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 又，则，满足，等号成立， 所以当接下来的4小时中能够持续有效消毒时，可得， 解得，又，，所以a的最小值为2. 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 已知函数零点个数求参数题型01 1．（24-25高一上·广西南宁·联考）设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得或，作出函数的图象，将原方程三个不同的实数根转化为方程有两个解，方程有且只有一个解，数形结合求解即可. 【详解】由得或，作出函数的图象，    易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知， 要使方程有三个不同的解， 需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·福建龙岩·月考）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 【答案】 【分析】令，即方程有一个根，利用判别式即可求解. 【详解】由题意得：令，即，所以方程有一个根， 所以，解得， 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】结合图像即可求解. 【详解】由画出函数图像， 结合图像可知，方程恰有一解， 的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知函数. (1)若，求关于的方程的解； (2)若关于的方程有三个不同的正实数根且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）是方程，即的两个根，故， 是方程的较大根，即的较大根， 则且在区间上单调递减， 所以. 【分析】（1）根据题意得由，分类讨论与两种情况去掉绝对值即可得解； （2）（i）分段讨论的解析式，结合对勾函数的性质分析得的单调性，进而得到关于的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得与关于的表达式，进而得解. 【详解】（1）当时，， 则由，得， 当时，则，即，解得或（舍去）； 当时，则，即，无实数解， 综上，. （2）（i）因为， 当时，， 当时，， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减， 易知在上单调递增， 当时，则在上单调递增，在上单调递增， 又当时，，所以在上单调递增， 故方程不可能存在3个不同正实根， 所以，则在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 故，解得， 即的取值范围为； （ii）略 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 5．（24-25高一上·湖北武汉·联考）关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足，，，试判断方程根的个数． 【答案】(1) (2) (3)个实根 【分析】（1）令，则，若原方程无实根，则无实根或实根均小于零，分情况讨论即可； （2）作函数的图象，结合图象确定方程解的个数与的取值的关系，讨论并确定方程解的情况，列不等式求的取值范围； （3）根据已知条件结合基本不等式可得，故，由此确定方程解的情况，结合（2）判断方程根的个数． 【详解】（1）令，则， 原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令，函数的图象的对称轴方程为， ①若（*）式无实根，则， 故， 解得， ②两根均为负，则，解得， 综合①②，可知的取值范围是； （2）作函数的图象， 可知或时，方程有个不同的解， 时，方程有个不同的解，， 时，方程有个不同的解， 要使原方程有四个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根大于1， 若为方程的根，则，此时方程的另一根为，矛盾， ②（*）式有两不等根且两根均大于1，则，解得； ④（*）式有一个实根在之间，另一根小于零，则，解得； 综上所述，的取值范围为； （3）因， 所以， 因为为正实数，所以 可得，即， 所以，即， 当且仅当即，时等号成立， 故，此时有， 故（*）式有两不等实根且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有6个实根. 函数零点的分布题型02 1．若函数在区间和上各有一个零点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用零点存在定理列不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在区间和上各有一个零点，且函数的图像开口向下，所以，解得，所以实数k的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·月考）关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为______. 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据条件，得到，解得，即可求解. 【详解】因为的一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以，解得，所以满足条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 3．若函数在上有2个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．已知函数. (1)若时，函数在区间内有且只有1个零点，求实数a的取值范围； (2)若时，关于x的方程在区间内有且只有1个实数根，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由零点存在性定理得到，结合求出答案； （2）考虑和两种情况，结合根的判别式进行分类讨论，求出答案. 【详解】（1）时，开口向上，为连续函数， 且， 要想在区间内有且只有1个零点，只需， 即，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2）当时，为一次函数，令， 解得，满足在区间内有且只有1个实数根， 当时， 当时，开口向下，为连续函数，且， 当，解得或， 当时，，令， 解得，舍去， 当时，，令， 解得，满足要求， 当，即时， 因为开口向下，为连续函数，且， 故，解得， 综上，实数a的取值范围是. 5．已知函数，函数，称方程的根为函数的不动点， （1）若在区间[0,3]上有两个不动点，求实数的取值范围； （2）记区间，函数在上的值域为集合，函数在上的值域为集合，已知，求的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1)由在上有2个不同根，利用二次方程根的分布可得的取值范围； (2)由已知可得，对进行讨论，结合函数的单调性求出集合,再利用两个集合的关系建立关于的不等式，可得的范围. 【详解】(1)由题意得：在上有2个不同根. 移项得， 解得: (2)易知 ①当即时,在上单调递减， 此时 ，结合，可得. ②当时,在上递减,在上递增. ∵ ，结合，可得 综上，a的取值范围为 讨论与函数零点相关的代数式的取值范围题型03 1．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解 【详解】对A，的零点为； 对B，的零点为； 对C，的零点为； 对D，的零点为； ，，， 故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点， 由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合； 故选：B 2．（24-25高一上·浙江·联考）已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出函数的图象，根据图象得到，，即可得到答案. 【详解】的图象如下图所示： ， 设，由图知：，即，得. 所以. 函数单调递减，与轴交于点， 由图知：. 故选：B 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数，其中． （1）若，则的零点为___________； （2）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】若，直接解方程即可；若函数有两个零点，解方程结合基本不等式求最值. 【详解】当时，， 令，则，故，所以的零点为. （2）令，则，故， 由于，所以，因此， 由于， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 故的取值范围为． 故答案为：； 4．已知函数，若关于的方程有4个不同的解，，其中，则__________，的取值范围为__________. 【答案】 2 【分析】分析函数性质，作出图象，结合函数零点的意义及二次函数性质求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为， 当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程有4个不同的解，即直线与函数的图象有4个公共点， 观察图象知，，由，得， 即，所以； 显然，即，因此， 而，则，即， 所以的取值范围为. 故答案为：2； 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 5．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求值：； (2)判断函数的单调性，并证明：有且仅有两个零点； (3)设，为的两个不同零点，证明：. 【答案】(1)0 (2) 定义域为， ， 因函数均在上单调递增， 则在上单调递增； 注意到，， 结合在上单调递增，可得，使. 则，； 注意到，， 结合在上单调递增，可得，使. 则，. 综上可得有且仅有个零点； (3) 因. 则本题相当于证明. 因，为的2个不同零点， 则，由（1）分析，， 则，设，由（2）分析，， 则，由（2）分析，在上有唯一零点，则. 则. 因函数在上单调递增，， 则，从而，则命题得证. 【分析】（1）注意到当且时，，据此可得答案； （2），然后由函数均在上的单调性可判断单调性，然后由零点存在性定理结合单调性可判断零点个数. （3）设，由（1）（2）分析结合题设可得本题相当于证明，然后由函数单调性可完成证明. 【详解】（1）当且时， 注意到， 则； （2）略 （3）略 比较零点的大小关系题型04 1．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、的值，即可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可得，解得， ，解得， ，解得，故. 故选：B. 2．（24-25高一上·江西南昌·期末）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令，从而可得，再结合单调性即可判断；对于D，根据的单调性可得，从而可判断. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，A正确； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又， 且在上是连续函数， 又当时，， 所以在上存在唯一零点，即，B正确； 对于C，，令， 则，， 又，所以，即， 又在上单调递增，所以，C错误； 对于D，因为在上单调递增，且， 所以，D正确. 故选：C. 3．已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【详解】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键. 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 5．已知，则a，b，c从小到大的关系是___________. 【答案】 【分析】由题可得，，，且，分别作出函数，，和的图象，数形结合可得结果. 【详解】由， 可得，，，且， 分别作出函数，，和的图象，如图，    由图可知：. 故答案为： 函数零点相关代数式求值题型05 1．若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】由，是二次函数的两个零点， ，所以，是的两个实数根， 所以， 故， 故选：C 2．已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解. 【详解】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解， 令，，即函数的图象与有四个不同的交点， 两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：    所以， 不妨设， 则， 所以. 故选：D 3．设是函数（为常数）的两个零点，则的值为_________. 【答案】 【分析】将问题转化为与的两个交点的横坐标之和，采用数形结合的方式可知关于对称，由此可得结果. 【详解】由题意知：是与的两个交点的横坐标， 作出与图象如下图所示， 由图象可知：关于直线对称，. 故答案为：. 4．设满足，满足，则____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数并探讨其单调性，借助函数零点确定与得解. 【详解】令函数，而函数在上都是增函数，因此函数是增函数， 由满足，得，即，于是， 由满足，得，因此，而函数在上递增， 于是，即，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：构造函数是基本的解题思路，观察题目所给式子的结构特点，合理构造函数，借助单调性是解题的关键. 5．已知，函数. (1)若，求的值； (2)若分别为的零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得； （2）由零点定义代入函数表达式，再由对数函数单调性可知，即可得. 【详解】（1）由可得，即， 所以， 又，所以，因此； 因为，即， 解得； （2）因为分别为的零点，所以， 即，也即， 又因为，所以在上单调递增， 由可得， 与联立可得。 所以. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $