4.5&4.6 增长速度的比较&函数的应用（二）（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

4.5&4.6 增长速度的比较&函数的应用（二） 题型一 函数模型的增长差异 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 4．（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 题型二 根据增长率选择合适的函数模型 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（    ） A．m B． C． D． 2.（23-24高三上·上海·期中）了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（    ） A． B． C． D． 3．（15-16高一上·北京东城·期末）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 4.（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 题型三 二次函数模型的应用问题 1．（20-21高一下·湖南张家界·期中）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/100kg）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 60 100 180 种植成本 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是（   ） A．120 B．100 C．110 D．118 2.（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上），为保证城市安全，核电站距两城的距离不少于．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方、供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月．（1）月供电总费用（元）与的函数关系式为 ；（2）月供电总费用最小为 元． 4．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 题型四 指数函数模型的应用问题 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定该药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为 h．（取） 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 题型五 对数函数模型的应用问题 1．（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2.（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 4.（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 5.（24-25高一上·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 题型六 幂函数模型的应用问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 2.（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 3.（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 题型七 分段函数模型的应用问题 1．（21-22高一上·辽宁·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 题型一 函数模型与方案的选择问题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元. (1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式； (2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？ 1．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·广东·期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 3．（多选）（20-21高一上·重庆·阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（    ） A．野生水葫芦的面积每月增长率为1 B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1.5个月 C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度 4．（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 5．（19-20高一上·福建厦门·期中）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：）． 6．（2023高一上·江苏·专题练习）函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且． (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较的大小． 7．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由. 8．（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 9．（24-25高一上·辽宁·期中）地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好的了解底下矿产资源的分布和特征.地球物理勘探技术包括地震勘探、电磁勘探和重力勘探等，可以通过测量地下的物理参数来获取不同地理位置下矿产资源的信息.基于测量得到的物理参数，通过处理和分析，可以建立底下矿产资源的分布模型，进而指导开采活动. 在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某物理指标随着地理位置变化的数据，如下表所示.其中表示采样点距离矿藏中心标记点的距离，表示物理指标的数值. 1 2 3 4 5 6 5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0 (1)根据矿藏分布可能的物理情况，数据分析人员估计物理指标随着变化的模型可能为两种，分别是①，②，请根据表格中的数据，在答题卡中绘制散点图，简要分析此矿藏区域应该用哪一个模型来估计物理指标随着变化的趋势. (2)根据（1）中的结论，选取表格中，的两组数据，建立数学模型描述物理指标随着变化的趋势.根据既往经验，当物理指标低于时，则不具备开采条件，请问正整数的范围应该如何选取，方能保证范围内所有区域都具备开采条件. 10．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 11．（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ (2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 12．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5&4.6 增长速度的比较&函数的应用（二） 题型一 函数模型的增长差异 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【详解】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）三个物体同时从同一点出发同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，，，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，总走在最前面 B．当时，总走在最前面 C．不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是 【答案】C 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出，，的图象，如图所示， 当时，，，，且时，指数型函数增长速度最快， 对于A，D，当时，总走在最前面，A，D正确； 对于B，当时，由图象可知总走在最前面，B正确； 对于C，当时，，，此时走在最后面，故C错误． 故选：C.    4．（多选）（24-25高一上·甘肃甘南·期末）设，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （    ） A．的增长速度最快， 的增长速度最慢 B．的增长速度最快， 的增长速度最慢 C．的增长速度最快， 的增长速度最慢 D．的增长速度最快， 的增长速度最慢 【答案】ACD 【分析】做出三个函数，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】做出三个函数，，的图象， 如图所示：    通过图象可知三个函数，，中， 当时，增长速度最快，的增长速度最慢， 故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 题型二 根据增长率选择合适的函数模型 1．（24-25高一·上海·课堂例题）若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（    ） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】该题为平均增长率问题，设去年元月份产值为1，平均增长率为，列出方程求解即可. 【详解】由题可知，设去年元月份产值为1，月平均增长率为， 则有，解得. 故选：D 2.（23-24高三上·上海·期中）了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果. 【详解】根据题意，对于①，，即函数的定义域为,值域为，A、B、C、D均符合； 对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合. 故选：A. 3．（15-16高一上·北京东城·期末）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指对数函数的增长趋势判断是否可以描述变化规律即可. 【详解】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势， 函数、、均可以描述变化规律， 而可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律. 故选：D 4.（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油（单位：）与速度（单位：的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. 函数和在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误； 函数中0不在函数的定义域中，故D错误； B选项：满足上述三点，故B正确. 故选：B. 5.（23-24高一上·贵州黔南·期末）近年来，＂国潮＂不断涌现，涉及影视剧，文艺演出，音乐，美术，建筑，家具，服装等各个方面.百度与人民网研究院联合发布的报告显示，近十年来＂国潮＂关注度增长了＂国潮＂的兴起，体现了国人审美的变化，也体现了年轻人正视世界的信心和更强的文化自信. 若预计年利润低于时，则该厂就要考虑转型，下表显示的是该厂近几年来年利润（百万元）与年投资成本（百万元）变化的一组数据：（年利润率） 年份 2019 2020 2021 2022 … 年投资成本 4 6 10 18 … 年利润 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①；②③ (1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式； (2)试判断当该厂年利润不低于6百万元时，该厂是否要考虑转型. 【答案】(1)选择③来描述之间的关系，函数解析式为； (2)该企业要考虑转型. 【分析】（1）利用表格中的数据分别计算判断，确定函数关系. （2）利用（1）中结论，求出年利润率判断得解. 【详解】（1）点不同在函数的图象上，①不符合要求； 将代入，得，解得，， 当时，，不符合要求； 将代入，得，解得， ，当时，；当时，，符合题意， 所以选择③来描述之间的关系，函数解析式为. （2）由（1）知，，当时，，解得， 当时的年利润率，所以该厂要考虑转型. 题型三 二次函数模型的应用问题 1．（20-21高一下·湖南张家界·期中）某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本（单位：元/100kg）与上市时间（单位：天）的数据如下表： 时间 60 100 180 种植成本 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系.，，，.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是（   ） A．120 B．100 C．110 D．118 【答案】A 【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系函数不可能是单调函数，故选取二次函数进行描述，将表格所提供的三组数据代入，即得函数解析式，进而求解. 【详解】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调， 所以选取，且开口向上， 将表格中的三组数据分别代入， 得解得 即，对称轴，开口向上， 在对称轴处即120天时函数取最小值. 西红柿种植成本最低时的上市天数是120天. 故选：A. 2.（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【答案】(1) (2)35元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，销售量， 则． （2） ． ∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值， 又∵对称轴为直线，∴当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大． 3.（25-26高一上·全国·课后作业）甲、乙两城相距100km，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电（甲、乙、丙在同一条直线上），为保证城市安全，核电站距两城的距离不少于．已知各城供电费用（元）与供电距离（km）的平方、供电量（亿千瓦时）之积都成正比，比例系数均是，若甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月．（1）月供电总费用（元）与的函数关系式为 ；（2）月供电总费用最小为 元． 【答案】 【分析】（1）由核电站距甲城km，可得距乙城km，依题列出月供电总费用的函数关系式，再由核电站距两城的距离不少于求得的范围，即得函数定义域； （2）由是二次函数，根据二次函数的性质结合定义域可得函数的最小值. 【详解】（1）因为核电站距甲城km，则距乙城km， 甲城供电量为20亿千瓦时/月，乙城供电量为10亿千瓦时/月， 则月供电总费用. 由，解得， 所以，定义域为． （2）由（1）得，， ∴当，即核电站距甲城时，月供电总费用最小值为元． 故答案为：①；②. 4．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）2023年宜宾市新添城市名片“中国动力电池之都”，初步建成较为完整的配套协同动力电池产业布局，并搭建起从原材料到整车制造的新能源汽车产业链.新能源电动车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车､纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示： 0 10 40 60 0 1420 4480 6720 为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③. (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从宜宾行驶到重庆某地，其中，国道上行驶，高速上行驶.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，； (2)在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，. 【分析】（1）根据表格中的数据，对3个函数模型逐一判断即得. （2）分别求出国道和高速上该辆车耗电量的最小值及对应行驶速度即可得解. 【详解】（1）对于③，，当时，它无意义，不符合题意； 对于②，，当时，，又， 所以，不符合原意； 因此选①，. 由表中的数据得，，解得， 所以. （2）高速上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 显然函数在上单调递增， 于是； 国道上行驶，所用时间为， 则所耗电量为， 而，则当时，. 所以当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时， 该车从宜宾行驶到重庆某地的总耗电量最少，最少为. 题型四 指数函数模型的应用问题 1．（24-25高一上·四川绵阳·期末）将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可. 【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样， 所以，即 设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为， 则有 ， 故选：C 2．（23-24高三上·江西赣州·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（    ）（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以，即. 故选：B. 3．（24-25高一上·陕西汉中·阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定该药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为 h．（取） 【答案】 【分析】由题设有，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案. 【详解】由题意，则，所以小时. 故答案为： 4．（24-25高一上·贵州黔西·期末）近年来，黔西南州基础教育质量大幅提升，2024年高考成绩再上新台阶，一方面，得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面，与莘莘学子的“聪慧值”密切相关．定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性），树人中学高一（1）班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分，“年提升值”相同，自开学那天起，小王努力学习，刻苦钻研，“年提升值”都在前一年的基础上进步，而小李疏于学习，“年提升值”都在前一年的基础上退步．问：大约经过 年，小王的“聪慧值”是小李的2倍．（精确到整数，参考数据：） 【答案】16 【分析】先分别表示出两人的“聪慧值”，利用等量关系可求答案. 【详解】设两人的“年提升值”为，经过年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 则经过年小王的“聪慧值”为，小李的“聪慧值”为， 由题意，即； 取对数可得， ， 所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍． 故答案为：16 题型五 对数函数模型的应用问题 1．（22-23高一上·北京·期末）长征五号遥五运载火箭创下了我国运载火箭的最快速度，2020年11月24日它成功将嫦娥五号探测器送入预定轨道．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，直接代入数值计算，即可得答案. 【详解】由可得， 即，则， 故选：C 2.（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定的函数关系，建立方程，结合对数运算求得答案. 【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，， 两式相减得，解得. 故选：D 3．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，即，再分析求解即可. 【详解】由题意知，所以， 即，计算得，即， 解得，所以燃料质量约为. 故选：C． 4.（24-25高一上·浙江绍兴·期末）声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB． (1)求k，b的值； (2)实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？ 【答案】(1) (2)司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解； （2）由（1），将代入即可下结论. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以. （2）因为，将代入， 得， 所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性. 5.（24-25高一上·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数； ②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分； ④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择：①②③ (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）. 【答案】(1)②， (2)该学生每天至少篅要锻炼47分钟 【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出，再验证即可得解. （2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得. 【详解】（1）选择模型①，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型③，由函数过点，得，则， 当时，，不符合题意； 选择模型②，由函数过点，得，解得， 此时函数的解析式为，当时，，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分， 得，即，则， 解得， 所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟. 题型六 幂函数模型的应用问题 1．（25-26高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 2.（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 3.（23-24高一上·山西长治·期末）某大学科研小组自2023年元旦且开始监测某实验水域中绿球藻的生长面积的变化情况，并测得最初绿球藻的生长面积为（单位：），此后每隔一个月（每月月底）测量一次，一月底测得绿球藻的生长面积比最初多了，二月底测得绿球藻的生长面积为，科研小组成员发现该水域中绿球藻生长面积的增长越来越慢，绿球藻生长面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. (1)请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积的7倍？ 【答案】(1)第二个模型满足需求，理由见解析，其解析式为 (2)该水域中绿球生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍 【分析】（1）根据函数增长速度选择函数模型，然后利用题目条件列式求解即可； （2）根据条件结合函数解析式列方程求解即可解答. 【详解】（1）函数模型在上都是增函数， 的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 因为该水域中绿球藻生长面积的增长速度越来越慢， 所以第二个函数模型满足要求， 由题意知，解得， 所以； （2）由题意，解得， 所以该水域中绿球藻生长的面积在9月底达到其最初的生长面积的7倍. 题型七 分段函数模型的应用问题 1．（21-22高一上·辽宁·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足.且销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 (1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式及定义域 (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1)选择模型②， (2)441元. 【分析】（1）根据表格中数据的增减性，结合函数的单调性，可得答案； （2）根据分段函数的性质，结合基本不等式，可得答案. 【详解】（1）由表格数据知，当时间变换时，先增后减，而①③④都是单调函数 所以选择模型②， 由，可得，解得 由，解得 所以日销售量与时间的变化的关系式为. （2）由（1）知： 所以 即 当时， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数， 所以函数的最小值为， 综上，当时，函数取得最小值441元. 题型一 函数模型与方案的选择问题 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【详解】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元. (1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式； (2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？ 【答案】(1) (2)，，模型一与生活中的实际情况更接近 【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程组，求出，，不妨设，推出矛盾，故，得到，求出答案； （2）得到方程组，求出，，，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实际情况更接近. 【详解】（1）由题意得， 第2，3月份水费均大于13元，故用水量和均大于最低限量， 于是有，解得， 从而， 再考虑1月份用水量是否超过最低限量， 不妨设，将代入中，得， 故，与矛盾，舍去， 故，即，解得， 故， 所以每月支付费用（元）关于月用水量的函数解析式. （2）， 由题意知，，即 由得，由得， 所以，解得，所以， 代入，解得，又，所以， 所以，. 模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）. 建议从以下三方面考虑： 原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近， 百姓缴费少； 原因二：指数爆炸，由知，关于x是快速增长， 但模型一在上匀速增长，更符合实际意义； 原因三：当时，， 由于，，， 所以，故，不符合实际意义. 1．（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（    ） 0 4 9 16 36 3 7 9 11 15 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得. 【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型不符合，A不是； 若选择作为与的函数模型，将代入，得，解得， 则，显然当时，；当时，；当时，， 与表格中的实际值相同，因此适合作为与的函数模型，B是； 模型在处无意义，模型不符合，C不是； 散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型不符合，D不是. 故选：B 2．（多选）（23-24高一上·广东·期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系为，则以下叙述正确的有（    ） A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番 B．第5个月时，浮萍面积会超过30 C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值 D．浮萍每月增加的面积都相等 【答案】AB 【分析】将点代入可得函数，可判断；把代入，判断；把，，代入，可判断；第个月比第个月的增加量不等于第个月比第个月的增加量，可判断. 【详解】由图可知点在函数图象上，所以，即，所以， 所以，故正确； 当时，即，所以正确； 设，，时浮萍面积分别为，，， 所以，，， 所以，所以错误； 第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且， 实际上面积增长的速度越来越快，故错误. 故选：. 3．（多选）（20-21高一上·重庆·阶段练习）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（    ） A．野生水葫芦的面积每月增长率为1 B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1.5个月 C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度 【答案】ABC 【分析】根据已知条件可得指数函数为，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误. 【详解】由题意得，所求函数为指数函数且过点，可得函数， A：设第个月的野生水葫芦面积为，则第个月的野生水葫芦面积为， ∴野生水葫芦的面积每月增长率，故正确， B：设野生水葫芦从蔓延到历时超过个月， ∴，解得，故正确， C：野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，， ，， ，故正确， D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为， 野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为，故错误. 故选：ABC. 4．（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则 C．不存在实数，使得幂函数的图象经过第四象限 D．下列函数是三种投资方案预期收益关于时间的函数：①；②；③，从足够长远的角度看，更有前途的投资方案是③ 【答案】BC 【分析】赋特殊值可判断A，由对数函数的单调性可判断B，由幂函数的图象特征可判断C，由指数、对数、幂函数图象的增长趋势可判断D. 【详解】当时，则，故A错误； 由，得，所以，故B正确； 当时，得，故C正确； 由幂函数、指数函数、对数函数的性质可知，当足够大时，指数函数的增长速度最快，所以更有前途的投资方案是①，故D错误． 故选：BC． 5．（19-20高一上·福建厦门·期中）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：）． 【答案】(1)选择模型符合要求， (2)六月份 【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式； （2）由（1）结合已知可得，再结合已知数据即可得出答案. 【详解】（1）函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求， 根据题意可知时，；时，， 所以，解得， 故该函数模型的解析式为； （2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是， 由，得， 所以， 又， 所以，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份． 6．（2023高一上·江苏·专题练习）函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且． (1)请指出图中曲线分别对应的函数； (2)结合函数图象，比较的大小． 【答案】(1)对应的函数为，对应的函数为； (2)． 【分析】（1）根据函数对应的曲线的特征和增长速度判断曲线对应的函数； （2）先直接判断，再得到的区间，再根据图像判断大小，最后再根据单调性判断四个数大小. 【详解】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数； 是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数； （2），所以， 又因为，所以， 所以， 由图可知当时， 所以， 又因为单调递增，所以， 所以. 7．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由. 【答案】(1)模型②， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式； （2）根据指数幂运算公式计算. 【详解】（1）应选择函数模型②. 依题意，得， 解得， 所以关于的函数解析式为. （2）. 理由：依题意，得，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 8．（24-25高一上·广东·阶段练习）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关.经验表明，某种普洱茶用度的水冲泡，等茶水温度降至度饮用，口感最佳，某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间/分钟 水温 (1)给出以下三种函数模型：①②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到） 参考数据：，. 【答案】(1)选②，理由见解析，函数解析式为 (2)分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以. （2）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 9．（24-25高一上·辽宁·期中）地下矿产资源勘探建模是一种重要的技术手段，用于帮助人们更好的了解底下矿产资源的分布和特征.地球物理勘探技术包括地震勘探、电磁勘探和重力勘探等，可以通过测量地下的物理参数来获取不同地理位置下矿产资源的信息.基于测量得到的物理参数，通过处理和分析，可以建立底下矿产资源的分布模型，进而指导开采活动. 在某个矿藏区域，通过前期的勘探活动，测得了某物理指标随着地理位置变化的数据，如下表所示.其中表示采样点距离矿藏中心标记点的距离，表示物理指标的数值. 1 2 3 4 5 6 5.7 4.0 2.8 2.0 1.4 1.0 (1)根据矿藏分布可能的物理情况，数据分析人员估计物理指标随着变化的模型可能为两种，分别是①，②，请根据表格中的数据，在答题卡中绘制散点图，简要分析此矿藏区域应该用哪一个模型来估计物理指标随着变化的趋势. (2)根据（1）中的结论，选取表格中，的两组数据，建立数学模型描述物理指标随着变化的趋势.根据既往经验，当物理指标低于时，则不具备开采条件，请问正整数的范围应该如何选取，方能保证范围内所有区域都具备开采条件. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据表格数据绘制散点图，由数据的变化趋势选择合适的模型即可； （2）根据（1）所选模型结合数据求出解析式，由模型的单调性求正整数的范围. 【详解】（1）根据题设表格数据，散点图如下， 由于随变大的递减趋势变缓，应选模型（2）来估计物理指标随着变化的趋势. （2）依题意知，，解得， 随变化的趋势可表示为，在定义域内单调递减. 又时，时， 正整数的范围为. 10．（22-23高一上·河北保定·期末）我国某5A景区自从修建了国内最长、最宽，海拔最高的“玻璃栈道”后便吸引了各地游客纷纷前来打卡（观光或消费）．某校高一数学建模社团调查发现：该旅游景点开业后第一个国庆假期，第天的游客人均消费与近似的满足函数（元），其中为正整数． (1)经调查，第天来该地的游客人数（万人）与近似的满足下表： 第（天） 1 2 3 4 5 6 7 （万人） 1.4 1.6 1.8 2 1.8 1.6 1.4 现给出以下三种函数模型：①，②，③，且．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述第天的游客人数（万人）与的关系，并求出该函数的解析式； (2)请在问题（1）的基础上，求出该景区国庆期间日营业收入（，为正整数）的最大值（单位：万元）． （注：日营业收入日游客人数人均消费） 【答案】(1)答案见解析 (2)240 【分析】（1）结合各组数据发现对称性质选择模型，待定系数法求解可得； （2）依题意函数，分段求解范围并比较可得最值. 【详解】（1）选择模型②. 理由如下：由题意知，，且为正整数. 由表格数据可知，不恒为常数，在直线上， 其余三对数据点关于直线对称， 模型①，由已知数据可知，对称轴为轴， 当时，单调递增，不满足三对数据点关于直线对称； 模型③，当时，是增函数；当时，是减函数， 不论取何值，数据的对称性都不符合； 模型②，， 故的图象关于直线对称， 因此较模型①③，更适合题意，故选择此模型. ，代入两组数据对应点， 得，，解得. 则（，为正整数）， 验证知，其他组数据对应点也在此函数图象上. （2）由题意得， ， （i）当，且为正整数时，； 在单调递减，； （ii）当，且为正整数时， ， 在单调递增，； 又，所以当时，取最大值. 综上所述，第4天该景区国庆期间日营业收入最多，最大值为万元. 11．（23-24高一上·四川广安·期末）科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ (2)根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【答案】(1)①不符合，②不符合，③符合，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可； （2）由，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时，不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数，在上单调递增， 且当时， ， 因为 而所以当时，恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. （2）由得， 所以, 所以公司的投资收益至少为万元. 12．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【分析】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【详解】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $