4.5.2用二分法求方程的近似解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第17节 用二分法求方程的近似解 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 用二分法求方程近似解的基本步骤；② 精确度与等分次数的关系；③ 用二分法求函数零点的近似值；④ 变号零点与不变号零点的区别；⑤ 借助计算器或计算机求近似解。 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中，能用二分法求零点的是（ ） A. f(x) = B. f(x) = |x| C. f(x) = − 1 D. f(x) = 2. 关于二分法，下列说法正确的是（ ） A. 二分法可求所有方程的近似解 B. 二分法只能求函数的变号零点 C. 用二分法求零点时，最后区间的中点就是精确解 D. 用二分法求方程近似解时，精确度越低，需要的计算次数越多 3. 方程 f(x) = 0 在区间 (1, 2) 内有一个近似解，若用二分法求取精确到 0.1 的近似解，则至少需要将区间等分（ ） A. 2 次 B. 3 次 C. 4 次 D. 5 次 4. 设 f(x) = − 4，用二分法求方程 = 4 在 (1, 2) 内的近似解时，第一次取区间中点 = 1.5，计算得 f(1.5) > 0，则下一步零点所在区间为（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. 无法确定 5. 用二分法求方程 − 2x − 5 = 0 在区间 (2, 3) 内的实根，取区间中点 = 2.5，那么下一个有根区间是（ ） A. (2, 2.5) B. (2.5, 3) C. (2, 3) D. 无法确定 6. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. f(x) = 2x + 3 B. f(x) = + 2x − 3 C. f(x) = + 2x + 1 D. f(x) = − 7 7. 方程 − 2x − 1 = 0 在区间 (1, 2) 内有一个根，用二分法取中点 x = 1.5，若 f(1.5) < 0，则下一个有根区间为（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. 无法确定 8. 用二分法求方程 + x − 4 = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，下一次有根区间可能是（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. (2, 3) 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列各组函数中，在其零点所在区间上能使用二分法的是（ ） A. f(x) = 3x − 1 B. f(x) = − 4 C. f(x) = |x−1| D. f(x) = − 1 10. 用二分法求函数 f(x) 零点的近似值时，下列说法正确的是（ ） A. 二分法所求的零点一定是变号零点 B. 二分法求零点时，区间中点的函数值为 0，则该中点就是零点 C. 用二分法求方程近似解时，精确度越高，需要的计算次数越少 D. 对在区间 [a, b] 上图象不间断且 f(a)·f(b) < 0 的函数，二分法一定能求出满足精确度要求的近似解 11. 用二分法求方程 + x − 4 = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，下列计算正确的是（ ） A. f(1) = −2 < 0 B. f(2) = 6 > 0 C. 第一次取中点 x = 1.5 D. f(1.5) = 0.875 > 0 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 用二分法求方程 − x − 1 = 0 在区间 (1, 1.5) 内的实根，取中点 = 1.25，计算得 f(1.25) < 0，则下一个有根区间是________。 13. 用二分法求方程 f(x) = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，要求精确度为 0.01，则至少需要等分________次。 14. 若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上不间断，且 f(a)·f(b) < 0，则用二分法求零点时，至少经过 3 次等分后，区间长度变为原来的________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 = 4 − x 的近似解（精确到 0.1）。 16. 某方程有一个无理根在区间 D = (1, 3) 内，若用二分法求该根的近似值，要求精确度不超过 0.01。 （1）求至少需要将区间等分多少次； （2）写出第一次和第二次等分后所得的有根区间。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第17节 用二分法求方程的近似解（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 用二分法求方程近似解的基本步骤；② 精确度与等分次数的关系；③ 用二分法求函数零点的近似值；④ 变号零点与不变号零点的区别；⑤ 借助计算器或计算机求近似解。 一、单项选择题 1. 下列函数中，能用二分法求零点的是（ ） A. f(x) = B. f(x) = |x| C. f(x) = − 1 D. f(x) = 【答案】 C 【解析】 二分法要求函数在区间 [a,b] 上不间断，且 f(a)·f(b) < 0（零点两侧函数值异号）。A、B、D 的零点两侧函数值同号，不能用二分法；C 满足条件。 2. 关于二分法，下列说法正确的是（ ） A. 二分法可求所有方程的近似解 B. 二分法只能求函数的变号零点 C. 用二分法求零点时，最后区间的中点就是精确解 D. 用二分法求方程近似解时，精确度越低，需要的计算次数越多 【答案】 B 【解析】 A 错：二分法要求函数在区间 [a, b] 上不间断且 f(a)·f(b) < 0，只能求变号零点所在区间的近似解，不是所有方程都能用；B 正确：二分法要求零点两侧函数值异号，故只能求变号零点，对不变号零点（如 f(x) = 的零点 x = 0）无法使用；C 错：最后区间的中点只是满足精确度要求的近似解，一般不等于精确解；D 错：精确度要求越低（数值越大），区间缩小得越快，需要的计算次数越少。故选 B。 3. 方程 f(x) = 0 在区间 (1, 2) 内有一个近似解，若用二分法求取精确到 0.1 的近似解，则至少需要将区间等分（ ） A. 2 次 B. 3 次 C. 4 次 D. 5 次 【答案】 C 【解析】 初始区间长度为 1。每次等分后区间长度为原来的 。要使 < 0.1，即 > 10，n ≥ 4。 4. 设 f(x) = − 4，用二分法求方程 = 4 在 (1, 2) 内的近似解时，第一次取区间中点 = 1.5，计算得 f(1.5) > 0，则下一步零点所在区间为（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. 无法确定 【答案】 A 【解析】 f(1) = 3 − 4 = −1 < 0；f(1.5) = − 4 ≈ 5.196 − 4 = 1.196 > 0。f(1)·f(1.5) < 0，故零点在 (1, 1.5)。 5. 用二分法求方程 − 2x − 5 = 0 在区间 (2, 3) 内的实根，取区间中点 = 2.5，那么下一个有根区间是（ ） A. (2, 2.5) B. (2.5, 3) C. (2, 3) D. 无法确定 【答案】 A 【解析】 f(2) = 8 − 4 − 5 = −1 < 0；f(2.5) = 15.625 − 5 − 5 = 5.625 > 0。f(2)·f(2.5) < 0，故下一个有根区间为 (2, 2.5)。 6. 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） A. f(x) = 2x + 3 B. f(x) = + 2x − 3 C. f(x) = + 2x + 1 D. f(x) = − 7 【答案】 C 【解析】 C f(x) = ，零点 x = −1 两侧函数值均 ≥ 0，不是变号零点，不能用二分法。 7. 方程 − 2x − 1 = 0 在区间 (1, 2) 内有一个根，用二分法取中点 x = 1.5，若 f(1.5) < 0，则下一个有根区间为（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. 无法确定 【答案】 B 【解析】 f(1) = 1 − 2 − 1 = −2 < 0；f(2) = 8 − 4 − 1 = 3 > 0。f(1.5) = 3.375 − 3 − 1 = −0.625 < 0。因 f(1.5) < 0 且 f(2) > 0，故下一个有根区间为 (1.5, 2)。 8. 用二分法求方程 + x − 4 = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，下一次有根区间可能是（ ） A. (1, 1.5) B. (1.5, 2) C. (1, 2) D. (2, 3) 【答案】 A 【解析】 f(1) = 2 + 1 − 4 = −1 < 0；f(1.5) = 2 + 1.5 − 4 ≈ 2.828 + 1.5 − 4 = 0.328 > 0。故 f(1)·f(1.5) < 0，下一个有根区间为 (1, 1.5)。 二、多项选择题 9. 下列各组函数中，在其零点所在区间上能使用二分法的是（ ） A. f(x) = 3x − 1 B. f(x) = − 4 C. f(x) = |x−1| D. f(x) = − 1 【答案】 ABD 【解析】 二分法要求零点两侧函数值异号。A 零点 x = ，两侧异号；B 零点 x = ±2，两侧异号；C 零点 x = 1，两侧函数值 ≥ 0，同号，不能用二分法；D 零点 x = 0，两侧异号。 10. 用二分法求函数 f(x) 零点的近似值时，下列说法正确的是（ ） A. 二分法所求的零点一定是变号零点 B. 二分法求零点时，区间中点的函数值为 0，则该中点就是零点 C. 用二分法求方程近似解时，精确度越高，需要的计算次数越少 D. 对在区间 [a, b] 上图象不间断且 f(a)·f(b) < 0 的函数，二分法一定能求出满足精确度要求的近似解 【答案】 ABD 【解析】 A 正确：二分法以变号零点为前提，所求零点必为变号零点；B 正确：若区间中点的函数值恰为 0，该中点即为精确零点，可提前终止；C 错：精确度越高，要求区间越小，需要的计算次数越多；D 正确：这是二分法的基本结论，只要初始区间满足条件，反复等分一定能达到精确度要求。故选 ABD。 11. 用二分法求方程 + x − 4 = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，下列计算正确的是（ ） A. f(1) = −2 < 0 B. f(2) = 6 > 0 C. 第一次取中点 x = 1.5 D. f(1.5) = 0.875 > 0 【答案】 ABCD 【解析】 f(1) = 1 + 1 − 4 = −2 < 0；f(2) = 8 + 2 − 4 = 6 > 0；中点 x = 1.5；f(1.5) = 3.375 + 1.5 − 4 = 0.875 > 0。 三、填空题 12. 用二分法求方程 − x − 1 = 0 在区间 (1, 1.5) 内的实根，取中点 = 1.25，计算得 f(1.25) < 0，则下一个有根区间是________。 【答案】 (1.25, 1.5) 【解析】 f(1) = 1 − 1 − 1 = −1 < 0；f(1.5) = 3.375 − 1.5 − 1 = 0.875 > 0；f(1.25) ≈ −0.30 < 0。因 f(1.25) < 0 且 f(1.5) > 0，故下一个有根区间为 (1.25, 1.5)。 13. 用二分法求方程 f(x) = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解，要求精确度为 0.01，则至少需要等分________次。 【答案】 7 【解析】 需 < 0.01，即 > 100。因 = 64 < 100， = 128 > 100，故至少 7 次。 14. 若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上不间断，且 f(a)·f(b) < 0，则用二分法求零点时，至少经过 3 次等分后，区间长度变为原来的________。 【答案】 【解析】 每次等分区间长度减半，3 次后为原来的 = 。 四、解答题 15. 借助计算器或计算机，用二分法求方程 = 4 − x 的近似解（精确到 0.1）。 【答案】 解：x ≈ 1.4 【解析】 令 f(x) = + x − 4。 f(1) = 2 + 1 − 4 = −1 < 0；f(2) = 4 + 2 − 4 = 2 > 0。零点在 (1, 2)。 取中点 1.5：f(1.5) ≈ 2.828 + 1.5 − 4 = 0.328 > 0。零点在 (1, 1.5)。 取中点 1.25：f(1.25) ≈ 2.378 + 1.25 − 4 = −0.372 < 0。零点在 (1.25, 1.5)。 取中点 1.375：f(1.375) ≈ 2.599 + 1.375 − 4 = −0.026 < 0。零点在 (1.375, 1.5)。 取中点 1.4375：f(1.4375) ≈ 2.712 + 1.4375 − 4 = 0.150 > 0。零点在 (1.375, 1.4375)。 区间长度 0.0625 < 0.1，近似解 x ≈ 1.4。 16. 某方程有一个无理根在区间 D = (1, 3) 内，若用二分法求该根的近似值，要求精确度不超过 0.01。 （1）求至少需要将区间等分多少次； （2）写出第一次和第二次等分后所得的有根区间。 【答案】 解：（1）8 次；（2）第一次 (1, 2)，第二次 (1, 1.5) 或 (1.5, 2) 视符号而定 【解析】 （1）初始区间长度为 2。需 2 × ≤ 0.01，即 ≥ 200。因 = 128 < 200， = 256 > 200，故至少 8 次。 （2）第一次取中点 2，若 f(1)·f(2) < 0 则有根区间为 (1, 2)；若 f(2)·f(3) < 0 则为 (2, 3)。 假设零点在 (1, 2)，第二次取中点 1.5，若 f(1)·f(1.5) < 0 则为 (1, 1.5)；否则为 (1.5, 2)。 学科网（北京）股份有限公司 $