上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期十一月第一次测试数学试题

复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学十一月第一次测试 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，，则__________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 直线的倾斜角为__________. 4. 已知函数为奇函数，则__________. 5. 在的二项展开式中，项的系数为__________. 6. 方程的解集为_________. 7. 从名数学老师中选出人安排在天的假期中值班，每天有且只有一人值班，若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为__________. 8. 已知，其中为虚数单位，为正整数，当、取遍所有正整数时， 的值中不同虚数的个数为__________. 9. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则__________. 10. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 429.82 11. 已知，若存在、，且，使得成立，则正实数的取值范围是____________. 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为______. 设、在过且平行于底面的平面上投影为、，在过、且平行于底面的平面上投影为、， 如图，则， 由得到， 设，，， ，， ，故. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．下列不等式恒成立的是（    ） B A． B． C． D． 14．已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） C A． B． C． D．以上都不对 15．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ）D A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为 16．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（    ） D A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立，（2）不成立 D．（1）不成立，（2）成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点. （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小. （1）是的中位线，则，进而平面. （2）在等腰中，，由平面，三垂线定理可得， 所以为所求二面角大小. ,，，所以所求角为. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数，. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. （1）定义域为，由可得恒成立， 所以恒成立，可得. （2），所以，此时， 令可得，即或，， 得或，取和可得. 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1） 估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2） 为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 【参考答案】 （1）由，可得． 即数学成绩在：频率，频率，频率，频率，频率，频率. 分数在内的最多，所以众数是， 平均分是. （2） 由（1）知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， 在分以下所占比例为，因此，第百分位数一定位于内，由 ， 所以样本数据的第80百分位数约为． （3）由题意可知，分数段的人数为（人），分数段的人数为（人）．用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在内抽取2人，分別记为、，[70，90)内抽取3人，分別记为、、，记事件为“从样本中抽取2人，至少有1人分数在内”，则样本空间共包 含10个样本点，而事件，包含7个样本点，故，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为. . 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设双曲线的方程为(常数. (1)若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； (2)设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）对于双曲线，其标准方程为，其中. 双曲线的焦距，则. 根据双曲线的性质，已知，，代入可得，即，解得，则.   对于双曲线，其渐近线方程为. 已知，，则双曲线的渐近线方程为. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以. 设渐近线的倾斜角为，则， 因为倾斜角，所以.   两条直线夹角的范围是. 两条渐近线倾斜角相差，所以两条渐近线的夹角为. （2）对于双曲线，则. 已知，则双曲线方程为. 分情况讨论为等腰三角形时点的坐标： 情况一：当时， 已知，，则. 设（，），因为，根据两点间距离公式可得. 又因为点在双曲线上，所以，联立方程组，解方程组： 由可得，即. 将代入中得：， 解得或（舍去）. 当时，，（），所以. 情况二：当时 ，则，即，. 联立方程组，将代入中得： ，解得或（舍去）. 当时，，（不满足在第一象限，舍去）. 情况三：当时 ，两边同时平方可得，即，展开得，移项可得，解得（不满足在第一象限，舍去）.   综上所得，点的坐标为. （3）设，直线的参数方程为（为参数），其中. 直线的参数方程为（为参数），其中. 将直线的参数方程代入双曲线方程 把代入双曲线方程，可得： 展开并整理得： 设、对应的参数分别为、，根据韦达定理，. 由直线参数方程中参数的几何意义可知. 因为，则，，代入上式可得：. 同理将直线的参数方程代入双曲线方程，按照上述步骤可得. 因为，所以. 由于，则，即. 又因为，而（因为）. 由可得，即. 因为，所以. . 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数，若点是函数图像的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数图像上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. （1）由于，为使得、处切线垂直，必然，，即，， 对应的切线为和，交点，所以. （2），设、处切线垂直，则，即. 两条切线分别为即和，联立后得交点，， 所以交点在定直线上. （3）设曲线上处的切线经过曲线上的点. ，处切线为，即， 代入后，可得， 因式分解可得，即或，这两处的切线经过曲线上的点， 由于该点不属于，， 设，其中满足，即，所以的取值范围是. 考虑方程即在上无解，的对称轴为， 所以，得，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025—2026学年第一学期 高三年级（上）数学十一月第一次测试 班级__________________ 学号__________________ 姓名__________________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 设集合，，则__________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 直线的倾斜角为__________. 4. 已知函数为奇函数，则__________. 5. 在的二项展开式中，项的系数为__________. 6. 方程的解集为_________. 7. 从名数学老师中选出人安排在天的假期中值班，每天有且只有一人值班，若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为__________. 8. 已知，其中为虚数单位，为正整数，当、取遍所有正整数时， 的值中不同虚数的个数为__________. 9. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则__________. 10. 如图，是未来中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽、分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘、各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用水泥 平方米（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）． 11. 已知，若存在、，且，使得成立，则正实数的取值范围是____________. 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14．已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 15．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是（    ） A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为 16．在平面直角坐标系中，若圆的圆心在轴上，且圆上存在两个点，使得，则称圆为一个“好圆”.给出以下两个命题：（1）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相交；（2）存在直线（常数），使得所有“好圆”与直线都相离；则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立，（2）不成立 D．（1）不成立，（2）成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点. （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数，. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，求方程在区间上的解. 19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 19. 我校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1） 估计我校高一期中数学考试成绩的众数、平均分； （2） 为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设双曲线的方程为(常数. (1)若双曲线的焦距为4，求两条渐近线的夹角； (2)设是第一象限内双曲线上一点，是双曲线右顶点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)设是直线上一点.已知过点的直线、的斜率分别为，分别与交于和，当时，求的值. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数，若点是函数图像的两条互相垂直的切线的交点，则称点是该函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数图像上的所有点组成的集合为，若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $