5.3 二元一次方程组的应用（第1课时 古代数学问题）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

5.3.1 古代数学问题（第1课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 【新教材】北师版·八年级上册 5.3.1 古代数学问题（第1课时） 教学目标 1.能分析简单问题中的数量关系，建立方程组解决问题。 2.经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型。 3.培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值。 教学重点 分析简单问题中的数量关系，建立二元一次方程组；掌握列方程组解应用题的一般步骤。 教学难点 准确理解古代数学问题的文字叙述，提取等量关系并列出方程组；理解“多5倍”“三折测之”等语句的数学含义，并正确转化为代数式。 教材分析 本课时为新教材北师版八年级上册第五章《二元一次方程组》5.3.1“古代数学问题”（第1课时）。核心内容是运用二元一次方程组解决古代数学问题，以《雉兔同笼》《以绳测井》等为载体，经历“审、设、列、解、验、答”的全过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的有效数学模型。 本课是二元一次方程组应用的第一课时。学生此前已掌握解方程组的基本方法，并能列一元一次方程解简单应用题。本节通过“鸡兔同笼”这一经典问题，引导学生从两个未知量、两个等量关系出发，自然建立二元一次方程组，如设鸡为只、兔为只，可得，。相比一元一次方程，方程组在表示“两个未知数之间的等量关系”时更直接、更自然，体现数学建模思想。教学重点应放在分析题意、找出等量关系、建立方程组，以及规范列方程组解应用题的一般步骤。难点是将古代文字叙述转化为数学表达式，尤其像“多5倍”“绳三折”等关键句的准确翻译。 学情分析 学生已学习一元一次方程及其应用，掌握了用代数方法解决简单实际问题的基本思路；在学习本章前两节后，已具备解二元一次方程组的基本技能。但将实际问题转化为方程组仍存在一定困难：一是古代数学语言与现代数学表达差异较大，学生不易读懂题意；二是多个未知数、多个等量关系同时出现时，学生容易混淆量之间的关系，尤其“甲比乙剩余的钱数多5倍”应理解为甲的钱数是乙剩余钱数的6倍，这类隐含条件需要特别引导。概念归纳和方程求解相对较易，列方程建模是教学难点。教学应通过“鸡兔同笼”的多种解法对比，帮助学生体会方程组的直观性，并以分层变式逐步突破难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【情景引入】《雉兔同笼》 “今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？” （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列出方程组解决这个有趣的问题吗 你是怎么做的，与同伴进行交流。 以经典历史名题激发学生兴趣，让学生初步感受方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型，明确本课学习方向。 探究点1：用二元一次方程组解决“雉兔同笼”问题 【新知探究】方法一 术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。 又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 金鸡独立，兔子站起 脚数： 94÷2=47（只） 头数： 兔：47-35=12（只） 鸡：35-12=23（只） 方法二 设鸡有x只，兔有y只 等量关系： 鸡头 + 兔头 = 35， 鸡足 + 兔足 = 94. 即： 上有三十五头，下有九十四足． 解：设鸡有 只，兔有 只。由题意得 x+y=35,2x+4y=94. ①×2，得 ；③ ②－③，得 ，即 。 把 代入①，得 。 所以原方程组的解是 x=23,y=12. 答：鸡有23只，兔有12只。 方法三：(1) 找出，上述趣题中的等量关系； 兔的只数＋鸡的只数＝35； 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. (2) 适当设未知数，列出一元一次方程. 设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只， 4x＋2(35－x) = 94 解得 x = 12 即 35－x = 23 答：鸡有 23 只，兔有 12 只. 【归纳总结】列二元一次方程组解实际问题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系； （2）设：设未知数，可直接设，也可间接设； （3）列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义； （6）答：写出答案，包括单位名称. 通过“鸡兔同笼”一题多解，让学生体会二元一次方程组在解决含有两个未知数问题时的直观性与一般性 探究点2 用二元一次方程组解决实际问题 【思考交流】若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？［选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，1170-约1240）的《计算之书》] 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔. 由题意，得 解得 答：甲、乙两人原来各拥有 、 第纳尔。 【题型探究】例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙钱五倍。乙得甲十钱，适等。问，甲乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》）其大意是：甲乙两人各带了若干钱。如果甲得乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得甲的10钱，那么两人的钱数相等。甲乙两人各带了多少钱？ 解：设甲带的钱数为 x ，乙带的钱数为 y ，根据题意， 由题意得x+10=6(y－10)， x－10=y+10， 解得x=38，y=18  答： 甲带了38钱，乙带了18钱 . 方法技巧：解古算题时，理解题目叙述的意思是关键，然后把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系. 例2.程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作《算法统宗》中记载有如下问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？ 题意：用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 4 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺. 绳长、井深各是多少尺？ 解：设绳长 x 尺，井深 y 尺， 由题意可得 解此方程组，得 x=36,y=8. 答：绳长36尺，井深8尺。 方法技巧 找等量关系的方法：(1) 抓住题目中的关键词，常见的关键词有 “比”“是”“等于”；(2) 根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；(3) 挖掘题目中的隐含条件. 通过实际问题训练，让学生在具体情境中反复经历“审题—设元—列方程组—解方程组—检验—作答”的过程，进一步体会二元一次方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的有效数学模型，提升分析问题和解决问题的能力。 课堂小结 板书设计 5.3.1 古代数学问题（第1课时） 探究点1：用二元一次方程组解决“雉兔同笼”问题 探究点2：用二元一次方程组解决实际问题 随堂练习 1.甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(　 ). 【答案】B 2. 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为___________. 解析： 3. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品。每人出 8 钱，剩余 3 钱；每人出 7 钱，还缺 4 钱。问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格。 解：设有 x 个人，物品的价格为 y 钱， 由题意，得解得 答：有 7 个人，物品的价格为 53 钱。 教学反思 本课时以《雉兔同笼》引入，学生兴趣浓厚；通过算术法、一元一次方程、二元一次方程组三种方法对比，学生能直观感受方程组处理两个未知数的优势，“建立方程组解决问题”的目标基本达成。但从《甲乙怀钱》《以绳测井》的反馈看，学生对古算语言转化为数学式子的能力仍偏弱，如“多5倍”易误列为5倍、“三折测之”分不清是“绳长÷3”还是“3倍绳长”。这说明准确提取等量关系仍是本节课的主要难点。今后教学可先让学生逐句复述题意、口述等量关系，再列式；增加小组合作互评所列方程组，暴露错误；同时加强解后检验，强调未知数取值要符合实际意义。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $