5.2 二元一次方程组的解法（第1课时 代入消元法）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

年级

八年级

学科

数学

课型

新授课

教材

北师大版八年级上册   5.2.1 代入消元法（第1课时）    

教学目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组。

2.经历利用代入消元法解二元一次方程组的过程。

3.知道解二元一次方程组的“消元”思想，体会“化未知为已知”的化归思想。

教学重点

用代入消元法解二元一次方程组；理解“消元”思想。

教学难点

灵活选择适当的方程和未知数进行变形，并能准确将变形后的式子代入“另一个”方程完成消元；根据实际问题列方程组并求解。

教材分析

本课时为北师版《数学》八年级上册第五章“二元一次方程组”5.2.1“代入消元法”（第1课时）。主要内容包括：从实际种植问题抽象出二元一次方程组；通过“代入”将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出未知数；归纳代入消元法的基本步骤；应用代入法解决简单实际问题。核心知识点是代入消元法、消元思想和化归思想。

教材首先以小明、小颖栽种绿植问题引出方程组，借助两个方程中表示同一量这一事实，引导学生用表示，并代入另一个方程，实现“消元”。这一过程自然揭示了二元一次方程组解法的核心思路：将陌生的二元问题转化为已学过的一元问题。代入消元法不仅是一种具体解法，更承载了“化未知为已知”的化归思想，是后续学习加减消元法及其他方程组的基础。教学重点是通过代入消元法解二元一次方程组，并让学生体会消元思想。教学中应紧扣“变形—代入—求解—回代—写解”五个步骤，强调“代入另一个未变形的方程”这一关键操作，以突破消元难点。

学情分析

学生在前面的学习中已经掌握了一元一次方程的解法，并认识了二元一次方程（组）及其解的概念，具备移项、去括号、合并同类项等代数变形能力，也能够从实际问题中寻找简单等量关系。但这是学生第一次系统学习二元一次方程组的解法，容易形成以下障碍：一是不知道“代入”的目的是消元，仅机械模仿；二是变形后往往习惯代入原方程，导致恒等变形后仍回到二元方程，无法求解；三是对“选择哪个方程、哪个未知数变形”缺乏判断经验，遇到系数较复杂的方程组时会产生困难。此外，用方程组解决实际应用问题需要建立两个等量关系，学生建模能力相对薄弱，是教学难点。因此，教学中应借助具体情境和变式训练，让学生先体会消元必要性，再归纳步骤、强化技巧，逐步突破难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【回顾旧知】1.二元一次方程的概念是什么?

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫作二元一次方程.

2.二元一次方程的解和二元一次方程组的解有何关系?

二元一次方程组的解是方程组内各个二元一次方程的公共解.

【引入新课】教师提问：在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组： 这个方程组中含有两个未知数，怎样把它转化为我们已经会解的一元一次方程呢？由此引入新课。

通过复习二元一次方程及方程组解的概念，激活学生已有知识；以种植问题制造认知冲突，激发探究欲望，明确本课研究方向——“消元”。

探究点1：代入消元法的基本思路——消元

【交流讨论】在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需要解方程组：

(1) 两个方程中的未知数 x 有什么关系？未知数 y 呢?

解：两个方程中的未知数 x 表示的是同一个量 (小明栽种绿植的数量)，

未知数 y 也表示同一个量(小颖栽种绿植的数量).

(2) 未知数 x 与未知数 y 之间满足什么关系？你能用 其中一个未知数表示另一个未知数吗?

解：由方程① x－y＝2，可得 x＝y＋2；或y＝x－2.  

(3) 如何把这个二元一次方程组转化为一元一次方程？

解：

∴ 方程组的解是

以种植问题为载体，通过递进式问题引导学生发现两个方程中同一个未知数表示同一个量，进而用代入实现“消元”，体会“化未知为已知”的化归思想，初步理解代入法的本质。

即对于方程组

由①，得    y= x－2   ③

得    x+1=2（x－2－1） ④ （二元化为一元

解所得的一元一次方程④，得  x = 7.

再把 x=7 代入③，得    y = 5.

这样，我们得到二元一次方程组的解是

（把求出的未知数的值代入原方程组，可以知道所求得的解是否正确.）

因此，小明栽种了7株绿植，小颖栽种了5株绿植.

【归纳总结】解二元一次方程组的基本思路“消元”

用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.

代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.

探究点2：消元法解方程组的应用

【例题探究】 例1 解方程组

解：

将②代入①，得

.

将 代入②，得 经检验，， 适合原方程组。

所以原方程组的解为

教师强调：检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出。

例2 解方程组

思考：怎么在二元一次方程组中选择合适的方程进行变形呢？

思考：1.由① 得x =③

将③代入②，消去x.

2.由②得x=13 - 4y③

将代入消元法应用于实际情境，让学生经历“实际问题→列二元一次方程组→代入消元求解”的完整过程，体会方程组是刻画现实问题的有效数学模型，增强应用意识。