专题20 点与圆的位置关系专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题20 点与圆的位置关系 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 利用点与圆的最大、最小距离求直径 题型03 利用点与圆的位置关系求半径范围 题型04 根据点与圆的位置关系求参数 题型05 坐标系中点与圆的位置关系 题型06 由点与圆的位置关系求最值 ▌题型01 判断点与圆的位置关系 【典例1】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【变式1-1】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【变式1-2】在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【变式1-3】如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C ▌题型02 利用点与圆的最大、最小距离求直径 【典例1】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． ▌题型03 利用点与圆的位置关系求半径范围 【典例1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． ▌题型04 根据点与圆的位置关系求参数 【典例1】已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 【变式1-3】（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ ▌题型05 坐标系中点与圆的位置关系 【典例1】在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是_________． 【变式1-2】在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在___________（填“内”、“上”或“外”）． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在⊙P的圆心坐标： ； （2）⊙P的半径为 ； （3）若点M（-1，1），则点M在⊙P ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） ▌题型06 由点与圆的位置关系求最值 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图． （1）若点B（1，0），C（1，1），D（0，），则SB= ；SC= ；SD= ； （2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围； （3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【变式1-1】【模型建立】 如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线分别交圆O于点A，B，则是点P到圆O上的点的最短距离，是点P到圆O上的点的最长距离．    【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______． (3)如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的圆E上，则的最小值是______． (4)如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． (5)如图⑤，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为______． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）解答下列各题 (1)【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； (2)【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 点与圆的位置关系 题型01 判断点与圆的位置关系 题型02 利用点与圆的最大、最小距离求直径 题型03 利用点与圆的位置关系求半径范围 题型04 根据点与圆的位置关系求参数 题型05 坐标系中点与圆的位置关系 题型06 由点与圆的位置关系求最值 ▌题型01 判断点与圆的位置关系 【典例1】在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式1-1】已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 【变式1-3】如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个基站，若其覆盖范围是一个半径为的圆，则这三栋楼在该基站覆盖范围内的是（     ） A．只有B B．只有A、B C．只有B、C D．A、B、C 【答案】C 【分析】由题意画出图形，根据勾股定理的逆定理求出，再利用勾股定理求出，进一步即可得出答案． 【详解】解：如图，点O是的中点， ∴， ∵，，， 而， ∴， 在中，，， ∴ 即， 又∵， ∴点B、点C在圆的内部，点A在圆的外部． ▌题型02 利用点与圆的最大、最小距离求直径 【典例1】平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川广安·期末）点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据点P与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆外时，当点P在圆内时，分别求解即可． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 综上所述，的半径是或． 故答案为：或． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知的半径为3，P是外一点，，分别求点P到的最近点和最远点的距离． 【答案】 点到的最近点距离为，最远点距离为 【分析】根据圆外一点到圆上一点的最大值为点到圆心的距离与半径的和，最小值为点到圆心的距离与半径的差，进行计算即可. 【详解】解：∵的半径为3，P是外一点，， ∴点到的最近点距离为，最远点距离为. ▌题型03 利用点与圆的位置关系求半径范围 【典例1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且，连接．以点为圆心，以为半径画圆，若点中只有2个点在圆内，则的值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点到圆心距离为d，半径为r，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 先根据勾股定理求出，再得出，根据点A，B，C中只有2个点在圆内，推出，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵点中只有2个点在圆内，， ∴， 故选：C． 【变式1-2】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． ▌题型04 根据点与圆的位置关系求参数 【典例1】已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）若的半径是，点在圆外，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断方法求解即可． 【详解】解：的半径是，点在圆外， ∴， 故选：D． 【变式1-2】已知点P在外，的直径是10，则点O到点P的距离d的范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点P在外，则点O到点P的距离d大于半径，再结合的直径是10，即可作答． 【详解】解：∵点P在外， ∴点O到点P的距离d大于半径， ∵的直径是10， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________ 【答案】7 【分析】根据点与圆的位置关系得到的取值范围，再统计范围内整数的个数即可． 【详解】已知的半径， 根据点与圆的位置关系，点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，且点到圆心的距离为非负数， 因此可得的取值范围为, 该范围内的整数为，共个． ▌题型05 坐标系中点与圆的位置关系 【典例1】在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）在平面直角坐标系内，点，点B的坐标为，的半径为5．若点B在内，则a的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，点和圆的位置关系．设交轴于点，连接，利用勾股定理求得，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：如图，设交轴于点，连接， ∵点，的半径为5， ∴，， ∴， 若点在内， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】在坐标系中，以为圆心，5为半径的与点的位置关系是：点在___________（填“内”、“上”或“外”）． 【答案】外 【分析】勾股定理求得的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为， ，即， 即点A到圆心的距离大于圆的半径， 点A在外． 故答案为：外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． （1）直接写出圆弧所在⊙P的圆心坐标： ； （2）⊙P的半径为 ； （3）若点M（-1，1），则点M在⊙P ．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【分析】（1）作出AB，BC的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出M、P两点的距离与半径比较即可得到结论． 解：（1）如图，作出AB，BC的垂直平分线的交点为P， ∴P（2，-1）， 故答案为：（2，-1）； （2）如图，连接AP，AP即为半径， ∵A（0，3），P（2，-1）， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵M（-1，1），P（2，-1）， ∴=， ∴点M在⊙P内． 故答案为：圆内． ▌题型06 由点与圆的位置关系求最值 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则SP为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图． （1）若点B（1，0），C（1，1），D（0，），则SB= ；SC= ；SD= ； （2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围； （3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【答案】（1）0；﹣1；； （2）b的取值范围是﹣3≤b≤3； （3）线段PQ长度的最大值为1+2+1=4． 【分析】（1）根据点的坐标和新定义解答即可； （2）根据直线y=x+b的特点，结合SM=2，根据等腰直角三角形的性质解答； （3）根据T在⊙O内，确定ST的范围，根据给出的条件、结合图形求出满足条件的线段PQ长度的最大值． 【详解】解：（1）∵点B（1，0）， ∴SB=0， ∵C（1，1）， ∴SC=﹣1， ∵， ∴SD=， 故答案为0；﹣1；； （2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E， 作OG⊥EF于G， ∵∠FEO=45°， ∴OG=GE， 当OG=3时，GE=3， 由勾股定理得，OE=3， 此时直线的解析式为：y=x+3， ∴直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是﹣3≤b≤3； （3）∵T在⊙O内， ∴ST≤1， ∵ST≥SR， ∴SR≤1， ∴线段PQ长度的最大值为1+2+1=4． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、新定义、点与圆的位置关系，正确理解点P到⊙O的距离SP的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【变式1-1】【模型建立】 如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线分别交圆O于点A，B，则是点P到圆O上的点的最短距离，是点P到圆O上的点的最长距离．    【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆O的半径为______． (3)如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的圆E上，则的最小值是______． (4)如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． (5)如图⑤，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为______． 【答案】(1) 证明：如图，点C为上任意一点（不与点B重合），连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又∵， ∴，即， ∴的长是点P到上的点的最长距离． (2)2或5 (3) (4) (5) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答； （5）先证明，得到，进而证明，则点E在以为直径的圆上运动；如图所示，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，求出，则，可得，则的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：若点P在外，如图①，    则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5； （3）解：连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长，    ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是； （4）解：取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值，    连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： （5）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图所示，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，已知圆和图形，将图形关于直线对称得到图形，为上任意一点，为圆上任意一点，将的最大值称为图形关于的“对称长度”． (1)若圆半径为； ①在，，这三个点中，______关于直线的“对称长度”为； ②已知直线：，点，，，，，，则在线段，，中，关于的“对称长度”为的是______； (2)圆半径为，已知点，，，，，，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，求正方形关于的“对称长度”的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别作关于的对称点，，进而根据题意可得点到圆上的距离的最大值为，即可求解； ②同①的方法，分别作出线段，，关于的对称图形，观察图形，找到关于的“对称长度”为的线段，即可求解． （2）根据题意，得出正方形关于的对称图形的轨迹，进而根据一点到圆上的距离的最值方法，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，分别作关于的对称点，，观察图形可得，到的最大距离为，符合题意，即关于直线的“对称长度”为； 故答案为：． ②如图所示，观察图形可得关于的对称图形，到的最大距离为，即， 故答案为：． （2）解：如图所示，点在点的左侧，直线从开始，绕点顺时针旋转到，在旋转过程中，正方形关于的对称点所在轨迹如图所示， ∵， ∴的解析式为 当关于的对称点为时，此时正方形关于的“对称长度”取得最小值， ∵，设，则，即① ， ∴② 由①②得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理，解一元二次方程，平面上一点到圆上的距离，中点坐标公式，熟练掌握以上知识，理解新定义是解题的关键． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）解答下列各题 (1)【问题探究】 如图1，点是矩形内的一个动点，点是的中点，连接、、，若，，． ①的长为______________； ②求点到点的最小距离； (2)【问题解决】 如图2，矩形是某工厂的一片空地，现要在、边上设立出入口、，要求，再从向铺设小路，从向铺设一条与小路垂直的小路（即于点M），从向修一条运输通道，为节省成本，要求运输通道的长度尽可能短．已知，，求运输通道长度的最小值．（小路、运输通道的宽度与出入口的大小均忽略不计） 【答案】(1)①；②9； (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半作答即可； ②由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”求出相关量计算即可； （2）延长和，相交于G，根据矩形的性质得到，，根据圆周角定理可知M在以为直径的圆上，证明，得到，取中点O，连接，则，连接，可知，根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形， ∴， ∵在中，，是斜边的中点， ∴； ②如图，连接， 由①可知，动点到定点的距离恒为8，因此的轨迹是以为圆心、8为半径的在矩形内部的圆弧， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图，延长和，相交于G， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴M在以为直径的圆上，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点O，连接，则， 连接， 可知， 根据“点到圆的最短距离=点到圆心的距离-半径”可知长度的最小值 ． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $