专题14 反比例函数与图形变换、最值、阅读理解专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题14 反比例函数与图形变换、最值、阅读理解 题型01 反比例函数与平移 题型02 反比例函数与旋转 题型03 反比例函数与线段和最小值问题 题型04 反比例函数与线段差最大值问题 题型05 反比例函数与周长最小值问题 题型06 阅读理解型问题 ▌题型01 反比例函数与平移 【典例1】阅读材料：双曲线向右平移1个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明． 猜想：平移后的表达式为． 证明：设双曲线上任意一点的坐标为（a，，则平移后的坐标为，令x＝a+1，，则a＝x﹣1，所以． （1）利用以上结论，写出双曲线向左平移2个单位后的表达式：　　 ． （2）仿照上述证明过程，请写出双曲线向上平移3个单位后的表达式，并证明． 问题解决： （3）请根据以上结论，直接填空． 双曲线绕点（0，0）顺时针旋转90°后的表达式为　　 ； 双曲线绕点（1，0）顺时针旋转90°后的表达式为　　 ． 【分析】（1）仿照证明解答即可； （2）仿照证明解答即可； （3）仿照证明解答即可． 【解答】解：（1）设上任意一点坐标为， 将点向左平移2个单位得到的点的坐标为， 令x＝a﹣2，， ∴a＝x+2， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 将点向上平移3个单位得到的点的坐标为， 令x＝b，， ∴， ∴向上平移3个单位后的表达式为； （3）设上任意一点坐标为， 将绕（0，0）顺时针旋转90°得到点， 设，y＝﹣c， ∴， ∴， ∴绕（0，0）顺时针旋转90°后的表达式为； 将绕（1，0）顺时针旋转90°得到点， 设，y＝﹣c+1， ∴， ∴， ∴绕（1，0）顺时针旋转90°后的表达式为； 故答案为：；． 【变式1-1】函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移4个单位长度得到函数的图象，则a＝　﹣4　 ． （2）下列关于函数的性质：①y随x的增大而减小；②图象关于直线y＝﹣x+a对称；③y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是　③　 （填序号）． （3）根据（1）中a的值，写出不等式的解集． 【分析】（1）根据“左加右减”的平移法则即可解决问题； （2）根据所给函数解析式进行判断即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 因为函数的图象由函数的图象向右平移4个单位长度得到， 所以x+a＝x﹣4， 解得a＝﹣4． 故答案为：﹣4； （2）由题知， 因为函数解析式为， 所以该函数的图象是双曲线，当x＜﹣a时，y随x的增大而减小；当x＞﹣a时，y随x的增大而减小， 故①错误； 函数图象关于直线y＝﹣（x+a）＝﹣x﹣a对称， 故②错误； 因为x+a≠0， 所以y的取值范围为y≠0， 故③正确． 故答案为：③； （3）如图所示， 当x＞4或x＜0时，函数的图象在函图象的上方，即， 所以不等式的解集为x＞4或x＜0． 【变式1-2】阅读理解：通过画图我们知道，函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移一个长度单位得到；函数的图象可以由反比例函数的图象向上平移三个长度单位得到；函数的图象可以由反比例函数的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图象可以由反比例函数的图象先向 　左　 平移三个长度单位，再向 　下　 平移两个长度单位得到； （2）如图，函数（a，b为常数，且a≠0）的图象经过A（0，1），B（5，11）两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过A，B两点的直线y2＝mx+n（m，n为常数且m≠0），若y2＜y1直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据函数图象平移的规律可得答案． （2）根据函数图象平移的规律可知函数y过点（﹣b，﹣4），（5﹣b，6），利用k＝xy得到a＝4b＝6（5﹣b），即可求得a、b的值，从而求得这个函数的表达式； （3）根据函数的图象即可得出结论． 【解答】解：（1）函数的图象可以由反比例函数的图象先向左平移三个长度单位，再向下平移两个长度单位得到； 故答案为：左，下； （2）∵函数（a，b为常数，且a≠0）的图象经过A（0，1），B（5，11）两点， ∴函数y过点（﹣b，﹣4），（5﹣b，6）， ∴a＝4b＝6（5﹣b）， ∴b＝3， ∴a＝12， ∴这个函数的表达式为y1； （3）观察图象，当y2＜y1时x的取值范围是x＜0或3＜x＜5． 【变式1-3】【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越 　大　 （填“大”或“小”）．设加入的糖为x千克，糖水溶液的浓度为y，则有，下面研究函数2）的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即y，所以我们对比函数来探究．列表： 表1 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 表2 x ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 1 2 x+2 … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 1 1+1 2+1 4+1 ﹣4+1 ﹣2+1 ﹣1+1 1 1 … （备注：表2中x的取值比表1中x的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线x＝﹣2左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向 　左　 平移2个单位而得到，再向 　上　 平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的x1，x2，当x1＞x2＞﹣2时，总有y1＞y2成立． 【分析】【问题情境】根据生活经验直接求解即可； （1）描点画出图象即可； （2）通过观察所画的函数图象，根据平移的性质求解即可； （3）利用作差法证明即可． 【解答】解：【问题情境】往里面不断地加酒精，那么其浓度会越来越大， 故答案为：大； （1）如图： ； （2）函数的图象是由的图象向左平移2个单位而得到，再向上平移1个单位而得到； 故答案为：左，上； （3）． ∵x1＞x2＞﹣2， ∴x1+2＞0，x2+2＞0，x1﹣x2＞0， ∴， ∴y1﹣y2＞0， ∴y1＞y2 ▌题型02 反比例函数与旋转 【典例1】如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，在x轴上是否存在一点D使△ACD的面积是△OAB面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求得点C、E的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得△AOB的面积，由△ACD的面积是△OAB面积的2倍，即可得到S△CDE﹣SADE8，解得DE＝12，进一步求得点D的坐标； （3）过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D，设E（a，）（a＞1），通过证得△ACF≌△EDA（AAS），得到F（2，4﹣a），代入y，即可求得a的值，从而求得点E的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上， ∴m＝1×3＝n×1， ∴m＝3，n＝3， ∴反比例函数为y，点B（3，1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为：y＝﹣x+4； （2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， 令y＝0，则﹣x+4＝0，解得x＝4， ∴E（4，0）， ∴OE＝4， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC4， ∵△ACD的面积是△OAB面积的2倍， ∴S△ACD＝8， ∴S△CDE﹣SADE8， ∴DE＝16， ∴D（﹣12，0）或（20，0）； （3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D， 设E（a，）（a＞1）， ∵A（1，3）， ∴AD＝a﹣1，DE＝3， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAD+∠CAF＝90°， ∵∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠CAF＝∠AED， 在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA（AAS）， ∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3， ∴F（2，4﹣a）， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴（2）（4﹣a）＝3， 解得a＝6或a＝1（舍去）， ∴E（6，）． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标； （2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标； （3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； （2）解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； （3）解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 【变式1-2】如图，直线与双曲线（k为常数，）在第一象限内交于点，且与x轴，y轴分别交于B，C两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在坐标轴上，且的面积等于8，求P点的坐标； (3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想． 【答案】(1)， (2)，，或 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）将点代入直线与双曲线求出k、b的值，即可得出解析式； （2）利用解析式求出B、C的坐标，分类讨论：当P在x轴、y轴上时，可求出P点的坐标； （3）根据：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】（1）解：把代入双曲线（k为常数， ），可得， ∴双曲线的解析式为 把代入直线，可得， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，则；令，则， ， ①当P在x轴上时，设P点的坐标为， ∵的面积等于8 ，解得或，   ∴P点的坐标为或； ②当P在y轴上时，同理可得P点的坐标为或 综合①②，P点的坐标为，，或． （3）四边形ABED为平行四边形． 理由如下：，绕原点旋转后对应的坐标为，， 设旋转后的直线解析式为 解得 ∴旋转后的直线解析式为， 由反比例函数的对称性可知：， 即，， ∴四边形ABED为平行四边形． 【变式1-3】如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）已知P为反比例函数y的图象上一点，满足S△POB＝3S△AOC，求点P的坐标． （3）在第四象限反比例函数y的图象上是否存在点M，使点M绕点C顺时针旋转90°得到的对应点N恰好落在第二象限反比例函数y的图象上？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用点B（3，0）C（0，3）坐标先求出一次函数解析式，再利用解析式求出n值，根据点A的坐标得到反比例函数解析式即可； （2）先计算出S△POB，利用面积建立关于m的方程，解出m值即可得到点P的坐标； （3）作MF⊥y轴，垂足为F，作NE⊥y轴，垂足为F，证明△NEC≌△CFM可得CE＝FM＝a，CF＝NE＝3，根据点N在反比例函数图象上列出方程求出a可得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵点B（3，0）C（0，3）在一次函数y＝k1x+b图象上， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为：y＝﹣x+3， ∵A（﹣1，n）在一次函数图象上， ∴n＝4， ∵A（﹣1，4）在反比例函数解析式上， ∴k2＝﹣4， ∴反比例函数解析式为：y； （2）设点P的坐标为（m，）， ∵A（﹣1，4），C（0，3）， ∴S△AOC3×1， ∴S△POB＝3， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴S△POB丨丨， 解得m或， ∴点P的坐标为（，﹣3）或（，3）． （3）如图，作MF⊥y轴，垂足为F，作NE⊥y轴，垂足为F， 设点M坐标为（a，），C（0，3）， 在△NEC和△CFM中， ， ∴△NEC≌△CFM（AAS）， ∴CE＝FM＝a，CF＝NE＝3， ∴N（﹣3，3﹣a）， 若点N在反比例函数图象上，则有： （3﹣a）（﹣3）＝﹣4， 整理得：3a2﹣a﹣12＝0， 解得a或a（舍去）， ∴点M的横坐标为，点M的纵坐标为：， 答：存在这样的点M，点M的坐标为（，）． ▌题型03 反比例函数与线段和最小值问题 【典例1】如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）当x＞0时，时，求x的范围． （3）点D（a，1）是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把x＝1代入y＝2x+3中，可求得B点坐标为（1，5），再代到反比例函数解析式中可求得反比例函数解析式； （2）根据图象求得反比例函数的图象在直线y＝2x+3上方的x的范围即可； （3）先根据反比例函数解析式求出点D的坐标，作点D关于x的轴的对称点D′，连接BD′，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，据此求解即可． 【解答】解：（1）直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C， ∴把x＝1代入y＝2x+3中，y＝2+3＝5， ∴点B的坐标为（1，5）， 又∵点（1，5）在反比例函数上， ∴k＝1×5＝5， ∴反比例函数的解析式为：； （2）由图象知，当x＞0时，时，x的范围为0＜x＜1； （3）作点D关于x的轴的对称点D′，连接BD′，直线BD′与x轴的交点即为所求点P， ∴PD′＝PD， ∴PB+PD＝PB+PD′＝BD′， ∴PB+PD最小值为BD′的长， 将点D（a，1）代入，得：a＝5， ∴点D（5，1）， 则点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1）， 设过B（1，5）、D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝ax+b， 可得，解得， ∴直线BD′的解析式为：， 令y＝0，则， 解得：， 故点P的坐标为． 【变式1-1】如图，一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B两点． （1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值． 【分析】（1）把点A（a，6）代入一次函数y＝x+8，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标； （2）作点A作关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点P，此时AP+BP的值最小，然后根据勾股定理即可求得． 【解答】解：（1）一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B两点． 把点A（a，6）代入一次函数y＝x+8， 得6＝a+8， 解得a＝﹣2， ∴A（﹣2，6）， 点A（﹣2，6）代入反比例函数， 得k＝﹣12， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得或， ∴点B坐标（﹣6，2）． （2）作点A关于y轴的对称点A′（2，6），连接A′B交y轴于点P，此时AP+BP的值最小， 则AP+BP的最小值． 【变式1-2】如图，平面直角坐标系中，反比例函数（n是常数，且n≠0）与一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象相交于A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时x的取值范围； （3）在x轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点B（﹣3，﹣1）代入求出，进而求出A（1，3），把点A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b，即可求出y＝x+2； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出直线y＝x+2与y轴的交点C的坐标为（0，2），点C（0，2）关于x轴的对称点D的坐标为D（0，﹣2），求出直线AD的解析式为：y＝5x﹣2，求出直线AD与x轴的交点P的坐标即可． 【解答】（1）把点B（﹣3，﹣1）代入，得：n＝3 ∴反比例函数的解析式为． 把点A（1，m）代入，得：m＝3 ∴A（1，3） 由题意可得： ， ∴． ∴一次函数的解析式为y＝x+2； （2）∵A（1，3），B（﹣3，﹣1） 由图可知，当时，﹣3＜x＜0或x＞1． （3）存在． 直线y＝x+2与y轴的交点C的坐标为（0，2），点C（0，2）关于x轴的对称点D的坐标为D（0，﹣2），直线AD与x轴的交点就是所求点P． 设直线AD的解析式为：y＝k1x+b1． 由题意可得： ， ∴． ∴y＝5x﹣2． ∴直线AD与x轴的交点P的坐标为． 【变式1-3】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值． 【分析】（1）将点A（2，4）代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出n值即可； （2）根据题意得到x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分； （3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P，则PA+PB的最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可解题． 【解答】解：（1）由条件可知m＝2×4＝8， 即反比例函数表达式为， 又∵点B（n，1）在反比例函数上， ∴n＝8； （2）由图象可知，当x＞8或0＜x＜2时，， 故不等式时x的取值范围为x＞8或0＜x＜2； （3）如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于点P， 则PA+PB的最小值等于BC的长， 过点B作BD⊥AC于点D， ∴C（2，﹣4），BD＝8﹣2＝6， ∴CD＝1﹣（﹣4）＝5， 在Rt△ABC中，． ∴PA+PB的最小值为． ▌题型04 反比例函数与线段差最大值问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在x轴上存在一点p使得|PB﹣PA|有最大值，求出点P的坐标． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）关键还是图象与交点横坐标直接写出不等式解集即可； （3）过点A作关于x轴的对称点A′，则A′（1，﹣2）连接A′B交x轴于点P，此时满足|PB﹣PA|有最大值，先求出A′B解析式，再求出点P坐标即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）， ∴k＝2＝﹣2m， ∴k＝2，m＝﹣1， ∴反比例函数解析式为y， ∵A（1，2），B（﹣2，﹣1）， ，解得， ∴一次函数解析式为y＝x+1， （2）由图象可知，y1＜y2时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＜﹣2． （3）如图，过点A作关于x轴的对称点A′，则A′（1，﹣2） 连接A′B交x轴于点P，此时满足|PB﹣PA|有最大值， 设直线A′B解析式为y＝kx+b， ，解得 ∴直线A′B解析式为y， 当y＝0时，x＝﹣5． ∴点P（﹣5，0）． 【变式1-1】如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数y（x＞0）交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为（2，a）． （1）求反比例函数解析式； （2）直接写出不等式﹣x+6（x＞0）的解集 　2＜x＜4　 ． （3）在x轴是否存在点P，使得PA﹣PB有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）点A的坐标为（2，a）且在两个函数上，代入求解即可； （2）联立方程组求出点B的横坐标，数形结合直接写出符合条件的自变量取值范围； （3）利用三角形三边关系两边之差小于第三边，当相等时差有最大值即可得出P点坐标． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（2，a）在一次函数y＝﹣x+6上， ∴a＝﹣2+6＝4， ∴A（2，4）， ∵A（2，4）在反比例函数y（x＞0）上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数解析式为：y． （2）联立一次函数和反比例函数得析式为：，解得或， ∴A（2，4），B（4，2）， 由图示可知：不等式﹣x+6（x＞0）的解集是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4． （3）∵直线AB的解析式是y＝﹣x+6，令y＝0，则0＝﹣x+6，x＝6，C（6，0）， ∴当P点坐标是（6，0），PA﹣PB有最大值理由如下： 在△PAB中，根据三边关系，PA﹣PB＜AB， 当P在点C处时，PA﹣PB＝AB．即最大值为AB． 故在x轴上存在点P，使PA﹣PB有最大值为AB此时P点坐标是（6，0）． 【变式1-2】如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标； （3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，三点共线时的值最大，   把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段， ，即，， 设的表达式为， 将代入， ， 的表达式为， 联立， 解得，， 点的横坐标大于0， 的横坐标为4， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 令，代入得到， ； （3）解：①当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：； ②当在的上方时，    ∴，， ，， ， 解得：（负根舍去）， 综上所述：或． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上取一点，使的值最大，并求出的最大值及点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)的最大值为，的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B两点的坐标，根据图象，利用数形结合法求解即可； （3）由三角形三边关系可知：，所以若，A，三点共线，则．此时，最大，最大值为，即一次函数与轴的交点为p，即可求出点P坐标，再求出点C的坐标，根据A、C的坐标，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴反比例函数的解析式为． 把代入，得，解得． ∴点的坐标为． 把，代入，得 解得 ∴一次函数的解析式为． （2）解：由图象可得，不等式解集范围是或． （3）解：在轴上取点，连接， 由三角形三边关系可知： 若，，三点共线，则最大．即点P为直线一次函数与轴的交点， ∵一次函数的解析式为， ∴令，则． ∴一次函数与轴的交点为． 令，则， ∴点的坐标为， ∵， ∴． ∴的最大值为，的坐标为 ▌题型05 反比例函数与周长最小值问题 【典例1】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲线上一点C纵坐标为8，求△AOC的面积； （3）若C（2，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点M使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出A（4，2），然后通过待定系数法即可求解； （2）求出C（1，8），过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E，由S△AOC＝S△COE+S梯形ACED﹣S△AOD＝S梯形ACED然后求出 S梯形ACED＝15即可； （3）求出C（2，4），如图，作A关于x轴对称点A，连接AC，交x轴于点M，则有AM+MC＝AM+MC＝AC，根据两点之间线段最短可知M即为所求，直线AC解析式为y＝﹣3x+10，当y＝0时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【解答】解：（1）∵直线图象上点A的横坐标为4， ∴A（4，2）， ∵点A在双曲线图象上， ∴k＝4×2＝8； （2）由（1）得k＝8， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点C纵坐标为8， ∴C（1，8）， 如图，过A作AD⊥x轴于点D，过C作CE⊥x轴于点E， ∴ED＝3，S△AOC＝S△COE+S梯形ACED﹣S△AOD＝S梯形ACED，S梯形ACED（AD+CE）×ED（2+8）×3＝15． ∴S△AOC＝15， ∴△AOC的面积为15； （3）∵C（2，a）是反比例函数图象上的点， ∴a＝4， ∴C（2，4），如图，作A关于x轴对称点A，连接AC，交x轴于点M， ∴AM+MC＝AM+MC＝AC，A（4，﹣2）， ∴根据两点之间线段最短可知M即为所求， ∵A（4，2），设直线AC解析式为y＝mx+n， ∴，解得， ∴直线AC解析式为y＝﹣3x+10， 当y＝0时，， 此时△MAC的周长最小为． 【变式1-1】如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线AB上有一点M，其横坐标为﹣1，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使MQ+CQ的值最小；此时△MQC的周长最小，且周长最小值为　　 ． 【分析】（1）将B（﹣3，﹣1）代入求出，将A（1，m）代入求出A（1，3），将A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝ax+b（a≠0）求解即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）作点C关于y轴的对称点C′，连接MC′交y轴于点Q即可；求出点M坐标，进而根据勾股定理求出MC、MC′长度，即可求出△MQC的周长最小值． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得：k＝3， ∴反比例函数表达式为， 将A（1，m）代入得， ∴A（1，3）， 由条件可得， 解得：， ∴一次函数表达式为y＝x+2； （2）根据函数图象可知当时，x≤﹣3或0＜x≤1； （3）如图，作点C关于y轴的对称点C′，连接MC′交y轴于点Q，点Q即为所求； 由作图可知QC＝QC′， ∴△MQC的周长＝MC+MQ+QC＝MC+MQ+QC′≥MC+MC′， 可知△MQC的周长最小值＝MC+MC′， ∵点M横坐标为﹣1， ∴点M纵坐标为﹣1+2＝1， 即M（﹣1，1）， 当y＝x+2＝0时，解得x＝﹣2，即C（﹣2，0）， 根据轴对称的性质可知C′（2，0）， ∴，， ∴△MQC的周长最小值． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、. (1)求反比例函数和点的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键； （1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出点的坐标即可； （2）根据函数图象得出关于的不等式的解集即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，△的周长最小，求得直线的解析式为，再求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由矩形性质可知：，， 点，，， 点是边的中点， 点的坐标为， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得：， 点坐标为． （2）解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数在一次函数的上面， 关于的不等式的解集为或； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 根据轴对称可得：， ， 两点之间线段最短， 此时最小，即最小， 为定值， 此时最小，即△的周长最小， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， 把代入得， 点的坐标为． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为； （3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，， ， ， 解得或． ▌题型06 阅读理解型问题 【典例1】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】（1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】（2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； 【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．若y关于x的函数表达式为，回答下列问题： ①在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． x … 3 4 5 6 7 8 … y … 6 4 … 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； ②观察图象可知该图象可由函数______的图象向上平移______单位长度，再向______平移2个单位长度得到； ③对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）18； （3）①如图所示： ②，2，右；③是定值，定值为 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①先列表然后描点连线即可得到图象， ②由图象观察可知，该图象可由平移得到； ③将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2） 是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①列表如下， ②该图象可由向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 故答案为：，2，右； ③ ， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【变式1-1】思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 【答案】（1）①3；②为定值3；（2）或；（3）E的坐标为． 【分析】（1）①根据的定义可得； ②设，其中，即可得，故为定值3； （2）设，其中，，解得或，据此求解即可； （3）求出，知，取格点，连接交于E，则点E即为所求；求出直线解析式为，联立，解析式可解得答案． 【详解】解：（1）①如图： ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：3； ②在线段上任取一点P，为定值，理由如下： 如图： 设，其中， ∵， ∴， ∴为定值3； （2）设，其中， ∵， ∴， ∴， 解得或， 经检验，，都是分式方程的解， ∴D的坐标为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴， ∴， 取格点，连接交于E，如图： 点E即为所求； 理由：由，可得直线解析式为， ∴线段上的点，总有， ∴E为满足条件的点； ∵菱形在第一象限，直线与菱形的边除B，E外无另外的交点， ∴满足条件的点只有点E； 由菱形的对称性可得， ∵， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴E的坐标为． 【变式1-2】定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；矩形是该反比例函数的伴随矩形 (2)证明：设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，． ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 设伴随直线的解析式为：， 将点B，点D代入解析式， 则有：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴伴随直线的解析式为：， 当时，， ∴该直线恒过原点， 即任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)①证明：设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为， ∵矩形的边平行于坐标轴， ∴另外两个对角顶点坐标为：，． 由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上， 即：，， 化简得：， 即， ∴点C坐标为． 同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为， 同理可得顶点G的坐标为． 设直线的解析式为：， 将点A，点E坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 同理，设直线的解析式为：， 将点C，点G坐标代入解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即， ∵， ∴两边约去，得：， 将代入①，可得：， 即， ∴， ∴直线的解析式为：． 联立直线与直线的解析式， 得：， ①-②得：， 整理得：， 即 ∴， ∴ ∴ ∴， 将代入②得：， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即直线与直线的交点坐标为：， 经检验，该点坐标满足， 因此直线与直线的交点M始终在直线上． ② 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式求出k值，得到函数表达式；根据边平行于坐标轴，以及边的长度，计算出点C坐标，验证点C是否在反比例函数图象上，即可判断是否为伴随矩形； （2）设任意反比例函数解析式为：，取它的任意一个伴随矩形，假设在函数图象上的两个对角顶点分别为：，．根据矩形的边平行于坐标轴，推出另外两个顶点的坐标，将它们代入直线解析式计算，最后得到直线的常数项为0，即可证明直线恒过原点； （3）①设伴随矩形的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，先推出另外两个顶点坐标，．由伴随直线为，结合伴随矩形顶点性质可得点B、点D在直线上，推导出，即得到点C坐标为．同理可设伴随矩形的顶点E的坐标为，同理可得顶点G的坐标为．运用待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线方程，求出直线与直线的交点M的坐标，最后检验该点坐标满足，即可证得结论； ②设伴随矩形的顶点A的坐标为，由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：，根据“矩形的周长为30”，建立关于a的方程，解方程，即可求得a的值；设伴随矩形的顶点E的坐标为，由①可知，点G的坐标为，同理可求出c的值；最后根据①中求出的点M坐标，代入a和c的值，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过矩形的顶点， ∴将点代入中， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：． ∵轴， ，， ∴， 即． 同理，∵轴，，， ∴， 即， ∵， 即点C坐标满足反比例函数的关系式， ∴点C在反比例函数的图象上． 根据伴随矩形的定义，点A、点C都在反比例函数图象上，且边都平行于坐标轴，因此矩形是该反比例函数的伴随矩形． （2）略 （3）①略 ②解：设伴随矩形的顶点A的坐标为， 由①可知，点C坐标为， 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 同理，设伴随矩形的顶点E的坐标为， 由①可知，点G的坐标为． 则矩形的长为：，宽为：， 周长为： 化简得：， 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴，． 由①可知，直线与直线的交点坐标为：， ∵，， ∴． 【变式1-3】某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）作轴交反比例函数图象于点，根据折叠的性质可得，然后把代入反比例函数解析式即可求出点的坐标． （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论．当点在轴负半轴时，根据折叠的性质先推出点的横坐标关于的表达式，然后由、两点的横坐标求出和的长度表达式，由建立关于的方程求解即可，点在轴正半轴时，情况类似． （3）先根据折叠的性质和三角形面积公式判断出当直线左右平移得到的两条直线正好与“图象”相切时，切点即为所求．然后分别设出两条直线的解析式，根据直线与反比例函数图象相切时只有一个交点，通过函数解析式建立方程由求出值，进而求出点坐标，再由直线直线并结合点坐标求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求得点坐标即可． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线交反比例函数的图象于点，交直线于点． 根据折叠的性质，． ． 把代入反比例函数得． 点的坐标为； （2）解：如图，点点坐标为． 当点在轴负半轴时，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． 根据折叠的性质，， ． 把和分别代入得：，． ， ． ， ，解得． 当点在轴正半轴时，如图，点、、、即、、、， 此时，，． ， ，解得． 故或6； （3）解：如图，当直线沿着轴分别向右和向左平移长度单位时，正好与“图象”在直线上、下半部分的图象相切，两条直线分别交轴于、，此时点到直线的距离最大． 根据折叠的性质，直线垂直平分，则． 故此时最大． 根据平移的性质，直线的解析式为：． 直线的解析式为：． 联立直线的解析式和反比例函数得：． 整理得：． 直线与反比例函数的图象相切只有一个交点． ， 即或18． 直线与轴交于点， 令，，则 ． ，， ． ，解得， 由得． 点坐标为． 设直线的解析式为， 把和平移，使交点正好处于坐标系原点O，直线解析式变成了，直线的解析式变为．在直线和上取点，轴，N为垂足，在x轴负半轴取点，轴交直线于点，如图： 在和中，，，． ∴， ∴， ∴． 则． 由点坐标可得：，则． 直线的解析式为：． 当时，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式求解点坐标： ， 解得，． 点坐标为． 故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，、两点坐标分别为、． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 反比例函数与图形变换、最值、阅读理解 题型01 反比例函数与平移 题型02 反比例函数与旋转 题型03 反比例函数与线段和最小值问题 题型04 反比例函数与线段差最大值问题 题型05 反比例函数与周长最小值问题 题型06 阅读理解型问题 ▌题型01 反比例函数与平移 【典例1】阅读材料：双曲线向右平移1个单位后的表达式是什么？针对这个问题，小媛同学给出了以下猜想及证明． 猜想：平移后的表达式为． 证明：设双曲线上任意一点的坐标为（a，，则平移后的坐标为，令x＝a+1，，则a＝x﹣1，所以． （1）利用以上结论，写出双曲线向左平移2个单位后的表达式：　 ． （2）仿照上述证明过程，请写出双曲线向上平移3个单位后的表达式，并证明． 问题解决： （3）请根据以上结论，直接填空． 双曲线绕点（0，0）顺时针旋转90°后的表达式为　 ； 双曲线绕点（1，0）顺时针旋转90°后的表达式为　 ． 【变式1-1】函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移4个单位长度得到函数的图象，则a＝　 ． （2）下列关于函数的性质：①y随x的增大而减小；②图象关于直线y＝﹣x+a对称；③y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是　 （填序号）． （3）根据（1）中a的值，写出不等式的解集． 【变式1-2】阅读理解：通过画图我们知道，函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移一个长度单位得到；函数的图象可以由反比例函数的图象向上平移三个长度单位得到；函数的图象可以由反比例函数的图象先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图象可以由反比例函数的图象先向 　 平移三个长度单位，再向 　 平移两个长度单位得到； （2）如图，函数（a，b为常数，且a≠0）的图象经过A（0，1），B（5，11）两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过A，B两点的直线y2＝mx+n（m，n为常数且m≠0），若y2＜y1直接写出x的取值范围． 【变式1-3】【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越 　 （填“大”或“小”）．设加入的糖为x千克，糖水溶液的浓度为y，则有，下面研究函数2）的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即y，所以我们对比函数来探究．列表： 表1 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 表2 x ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣1 0 1 2 x+2 … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 1 1+1 2+1 4+1 ﹣4+1 ﹣2+1 ﹣1+1 1 1 … （备注：表2中x的取值比表1中x的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线x＝﹣2左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向　 平移2个单位而得到，再 向 　 　 平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的x1，x2，当x1＞x2＞﹣2时，总有y1＞y2成立． ▌题型02 反比例函数与旋转 【典例1】如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA、OB，在x轴上是否存在一点D使△ACD的面积是△OAB面积的2倍，请求出点D的坐标； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【变式1-2】如图，直线与双曲线（k为常数，）在第一象限内交于点，且与x轴，y轴分别交于B，C两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在坐标轴上，且的面积等于8，求P点的坐标； (3)将直线AB绕原点旋转180°后与x轴交于点D，与双曲线第三象限内的图像交于点E，猜想四边形ABED的形状，并证明你的猜想． 【变式1-3】如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象交于点A（﹣1，n），与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）已知P为反比例函数y的图象上一点，满足S△POB＝3S△AOC，求点P的坐标． （3）在第四象限反比例函数y的图象上是否存在点M，使点M绕点C顺时针旋转90°得到的对应点N恰好落在第二象限反比例函数y的图象上？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由． ▌题型03 反比例函数与线段和最小值问题 【典例1】如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）． （1）求反比例函数的解析式； （2）当x＞0时，时，求x的范围． （3）点D（a，1）是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B两点． （1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值． 【变式1-2】如图，平面直角坐标系中，反比例函数（n是常数，且n≠0）与一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象相交于A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时x的取值范围； （3）在x轴上是否存在一点P，使得PA+PC最小，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（2，4），B（n，1）两点． （1）求m、n的值； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值． ▌题型04 反比例函数与线段差最大值问题 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在x轴上存在一点p使得|PB﹣PA|有最大值，求出点P的坐标． 【变式1-1】如图，一次函数y＝﹣x+6与反比例函数y（x＞0）交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为（2，a）． （1）求反比例函数解析式； （2）直接写出不等式﹣x+6（x＞0）的解集 　 ． （3）在x轴是否存在点P，使得PA﹣PB有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．    (1)求的值和直线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若为函数的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上取一点，使的值最大，并求出的最大值及点的坐标． ▌题型05 反比例函数与周长最小值问题 【典例1】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． （1）求k的值； （2）若双曲线上一点C纵坐标为8，求△AOC的面积； （3）若C（2，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点M使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（﹣3，﹣1）两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）结合图象直接写出关于x的不等式的解集； （3）直线AB上有一点M，其横坐标为﹣1，在y轴上作一点Q（不用尺规作图），使MQ+CQ的值最小；此时△MQC的周长最小，且周长最小值为 　 ． 【变式1-2】如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、. (1)求反比例函数和点的坐标； (2)直接写出关于的不等式的解集； (3)在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标. 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； (3)将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． ▌题型06 阅读理解型问题 【典例1】定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】（1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】（2）若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则______； 【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．若y关于x的函数表达式为，回答下列问题： ①在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． x … 3 4 5 6 7 8 … y … 6 4 … 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象； ②观察图象可知该图象可由函数______的图象向上平移______单位长度，再向______平移2个单位长度得到； ③对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【变式1-1】思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和水平方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义A、B两点间的折线距离：． 【初步理解】 （1）已知，． ①如图1，轴，轴，则______； ②如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点，是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； （2）函数的图象如图3所示，点在该函数图象上，且，则点的坐标为______； 【拓展应用】 （3）如图4，菱形的顶点坐标为，，若点在菱形的边上，且，请用无刻度的直尺在图4中找到点，并求出点的坐标． 【变式1-2】定义：以反比例函数图象上的两点为端点，两点连线为对角线，且边都平行于坐标轴的矩形为该反比例函数的伴随矩形，矩形的另一条对角线所在直线为该反比例函数的伴随直线．如图1，矩形的顶点、在反比例函数的图象上，所以矩形是反比例函数的伴随矩形，直线是反比例函数的伴随直线． (1)如图2，已知反比例函数的图象经过矩形的顶点，轴，轴，，，求反比例函数的表达式，并判断矩形是否为该反比例函数的伴随矩形． (2)求证：任意反比例函数的任意一条伴随直线都经过原点． (3)如图3，已知矩形和矩形都是反比例函数的伴随矩形，且对应的伴随直线均为． ①求证：直线与直线的交点M始终在直线上； ②若矩形的周长为30，矩形的周长为6，直接写出点M的坐标． 【变式1-3】某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 (1)如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 (2)过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； (3)如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $