4.4一次函数的应用（分层作业，13大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 4.4 一次函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 根据描述求一次函数解析式 题型05 根据图象求一次函数解析式 题型06 根据表格求一次函数解析式 题型07 根据题意求变量的值解决问题 题型08 一次函数的图象信息题 B组 能力进阶 题型01 阶梯收费问题 题型02 一次函数与方程综合 题型03 一次函数的实际应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数与几何综合问题 题型02 一次函数、方程和几何图形的综合探究 方案问题题型01 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 2．为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 最大利润问题题型02 1．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 2．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 行程问题题型03 1．爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．清明节这天，某校组织师生到附近的烈士陵园参加革命传统教育和扫墓等主题活动，如图是学校到烈士陵园的路线示意图及师生队伍去烈士陵园过程中行驶路程y（千米）和行驶时间t（分钟）之间的函数图象．队伍经过位于山顶的革命烈士纪念塔时，在纪念塔前倾听了10分钟的革命传统宣讲报告，然后到达烈士陵园进行一系列祭扫活动，结束后队伍沿原路返回学校，返程中在革命烈士纪念塔前休息和拍照留念共停留了5分钟，假设队伍在上坡、下坡和平地路段的速度分别相同，则队伍从烈士陵园返回学校所需要的时间是（    ）    A．47分钟 B．48.5分钟 C．52分钟 D．53.5分钟 3．一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 根据描述求一次函数解析式题型04 1．一根弹簧原长为15cm，能挂的重物不超过20kg，并且每挂1kg弹簧伸长cm，则挂重物后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·模拟）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 3．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．匀速流出的过程，油箱中剩油量y（升）与流出的时间x（分钟）之间的函数关系式是_____（并写出自变量取值范围）． 4．如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律______． 5．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 根据图象求一次函数解析式题型05 1．国内航空规定，乘坐飞机经济舱旅客所携带行李的重量x与其运费y（元）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么旅客可携带的免费行李的最大重量为（   ） A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg 2．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． (1)分别求出当与时，与之间的函数关系式； (2)当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？ (3)当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 3．浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 4．爱贝玩具厂开发了一款新型益智玩具，一期计划生产200万件，预计20天后投入市场．该厂有甲、乙、丙三条生产线，由于丙生产线在技术创新升级中，则由甲、乙两条生产线先开始生产加工玩具．甲、乙两条生产线一起生产加工玩具4天后，乙生产线发生故障停止生产，只剩甲生产线单独加工玩具．为了能在规定时间完成任务，丙生产线加快了技术升级，6天后也投入生产．由于丙生产线技术升级后提高了效率，所以提前一天完成加工任务．已知甲、乙两条生产线生产玩具总量（万件）与时间（天）的关系如图折线段所示，丙生产线生产玩具总量（万件）与时间（天）的关系如图线段所示． （1）求第5天结束时，生产玩具总量. （2）求玩具生产总量（万件）与时间（天）的函数关系式（注明x 的取值范围）． （3）直接写出生产第几天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件. 根据表格求一次函数解析式题型06 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选到合脚的鞋子．已知中国鞋码与脚长（单位：）满足一次函数，与的部分对照数据如下表，则中国鞋码与脚长（单位：）的函数关系式为_______． 脚长 ．．． 23 23.5 24 24.5 ．．． 中国鞋码 ．．． 36 37 38 39 ．．． 3．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 4．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距 16 18 20 22 身高 133 151 169 187 小明的身高是，一般情况下，他的指距约是______（保留整数）． 根据题意求变量的值解决问题题型07 1．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位 h（cm）与时间 t（min） 满足 h=0.4t+2，当 h 为 6cm时，时间 t 的值为（       ） A．4.4min B．10min C．15min D．20min 2．（25-26八年级·河南郑州·期末）“更香”是古代中国特有的计时装置，香线采用特殊工艺制成．小颖买了一款香，通过记录燃烧时间与剩余香的长度得到二者之间的关系式是，则下列说法不正确的是（   ） A．这款香燃烧2小时后，剩余香的长度是 B．在燃烧过程中，剩余香的长度随着燃烧时间均匀减少 C．这款香的初始长度是 D．这款香燃烧1小时，香长度减少 3．（2026·河南信阳·模拟）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流（单位：）是电阻两端的电压（单位：）的正比例函数．观察下图，计算电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 一次函数的图象信息题题型08 1．（25-26·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A． B． C． D． 2．14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 (    ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）在学习液体压强时，李老师做了一个有趣的实验：如图1，水平桌面上放置甲、乙两个完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯有水，乙烧杯内无水，用一根U型管将垫有木垫的甲烧杯与乙烧杯相连，使甲中的水流入乙烧杯，当两烧杯内的水面到桌面的高度相等时，引流自动停止．在引流过程中，设甲、乙两烧杯内的水面距离杯底的高度分别为，（单位：cm），如图2是，与引流时间（单位：s）的函数图象，若第6秒时引流停止，则木垫的高度是________cm． 4．随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)机器人的工作效率为______件/小时． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品． 阶梯收费问题题型01 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·模拟）为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 3．（25-26八年级·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 4．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． 第一档 月用电量180千瓦时以下（含180千瓦时），每千瓦时价格0.55元 第二档 月用电量180千瓦时至300千瓦时的部分（含300千瓦时），每千瓦时比第一档提价元 第三档 月用电量300千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3元 (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 5．（2025·山西怀仁·模拟）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 一次函数与方程综合题型02 1．（25-26八年级上·安徽淮北·质检）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________． 5．已知点A（﹣1，1）是直线y＝kx+3上的一点，若该直线和x轴相交于点B，求点B的坐标． 一次函数的实际应用题型03 1．某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是打_____折． 2．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 一次函数与几何综合问题题型01 1．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到(   ) A．P处 B．Q处 C．M处 D．N处 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线经过坐标原点，且，垂足为C，则点C到y轴的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y． (1)求阴影部分的面积y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围； (2)当阴影部分的面积等于20，请求出此时的值？ 4．等腰三角形中，周长为，设底边为，腰长为．   求与之间的函数关系式； 求自变量的取值范围； 在平面直角坐标系中画出函数的图象． 一次函数、方程和几何图形的综合探究题型02 1．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 2．如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点C，D （1）求点A的坐标； （2）若OB＝CD，求a的值． 3．（24-25八年级上·河南·期中）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 如图所示，小明分别画出了函数，，的图象． 【深入探究】 （1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【得到性质】 （2）函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为5，求k的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.4 一次函数的应用 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案问题 题型02 最大利润问题 题型03 行程问题 题型04 根据描述求一次函数解析式 题型05 根据图象求一次函数解析式 题型06 根据表格求一次函数解析式 题型07 根据题意求变量的值解决问题 题型08 一次函数的图象信息题 B组 能力进阶 题型01 阶梯收费问题 题型02 一次函数与方程综合 题型03 一次函数的实际应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数与几何综合问题 题型02 一次函数、方程和几何图形的综合探究 方案问题题型01 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． 甲商店 乙商店 购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖． (1)甲商店一张会员卡的价格为______元； (2)求的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3) 选乙商店比较合算，理由如下： 代入，则； 代入，则； ， 选乙商店比较合算． 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元． 故答案为：100． （2）依照乙商店的售卖方式可得：， 的函数表达式为． （3）略 2．为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 【答案】（1），且x为正整数；（2）． 【分析】（1）根据题中条件，可用表示购买种器材件数，同时还要求出的取值范围，再根据购买单价建立关于的解析式； （2）要对实际购买时，所得到得关于的解析式取到的最值时，进行分类讨论． 【详解】解：（1）设购买A种器材x（件），则购买种器材件． 由题意：要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，则，解得：， 根据A，B两种器材的单价分别是16元和4元，建立购买器材的总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式如下： ，； ,且x为正整数． （2）根据实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，得 ，． 此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，进行分类讨论； 第一类：当时，解得． 根据一次函数的图像及性质知：随着的增大而增大， 当时，取到最小值，即： ， 解得：（不符合，故舍去） 第二类：当当时，解得． （不符合题意，舍去） 第三类：当时，解得， 根据一次函数的图像及性质知：随着的增大而减小， 当时，取到最小值，即： ， 解得：． 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数在生活中的实际应用，解题的关键是：理清楚题中变量之间的关系，列出解析式，不要忽略自变量的取值范围，关于一次函数的最值问题，通常要进行分类讨论． 最大利润问题题型02 1．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 2．已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元． （1）求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) y与x的函数关系式是y＝5x+3600（x＝40，41，42，43，44）；(2) 生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元． 【分析】（1）根据总利润等于M、N两种型号时装的利润之和列式整理即可，再根据M、N两种时装所用A、B两种布料不超过现有布料列出不等式组求解即可； （2）根据一次函数的增减性求出所获利润最大值即可． 【详解】解：（1）y＝50x+45（80﹣x）＝5x+3600， 由题意得，， 解不等式①得，x≤44， 解不等式②得，x≥40， 所以，不等式组的解集是40≤x≤44， ∵x为整数， ∴x＝40，41，42，43，44， ∴y与x的函数关系式是y＝5x+3600（x＝40，41，42，43，44）； （2）∵k＝5＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝44时，y最大＝3820， 即，生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质：即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 行程问题题型03 1．爷爷饭后出去散步，从家里出发20min后到一个离家900m的街心花园，与朋友在原地聊天10min后，用15min返回家里．下列四个图象中，能表示爷爷离家的距离y（m）与离家时间x（min）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，掌握根据实际行程的不同阶段，分析离家距离与时间的变化关系，从而判断对应的函数图象是解题的关键； 通过分阶段分析爷爷的运动状态，确定每个阶段与的变化情况即可解答． 【详解】解：爷爷的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家里出发后到离家的街心花园，此阶段离家距离随时间的增大而增大，持续； 第二阶段：与朋友聊天，此阶段离家距离保持不变，时间从到； 第三阶段：用返回家，此阶段离家距离随时间的增大而减小，从到； 观察选项，只有选项A符合这三个阶段的变化情况． 故选：A． 2．清明节这天，某校组织师生到附近的烈士陵园参加革命传统教育和扫墓等主题活动，如图是学校到烈士陵园的路线示意图及师生队伍去烈士陵园过程中行驶路程y（千米）和行驶时间t（分钟）之间的函数图象．队伍经过位于山顶的革命烈士纪念塔时，在纪念塔前倾听了10分钟的革命传统宣讲报告，然后到达烈士陵园进行一系列祭扫活动，结束后队伍沿原路返回学校，返程中在革命烈士纪念塔前休息和拍照留念共停留了5分钟，假设队伍在上坡、下坡和平地路段的速度分别相同，则队伍从烈士陵园返回学校所需要的时间是（    ）    A．47分钟 B．48.5分钟 C．52分钟 D．53.5分钟 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握分段的一次函数的图象和性质，路程与速度和时间的关系，是解决问题的关键． 根据去时的路程时间图象求出队伍在上坡路和下坡路上的速度，求出返回时上坡路和下坡路的时间，根据往返平路上的时间不变和拍照的时间求出返回时的总时间． 【详解】队伍去烈士陵园过程中在上坡路上的速度， （千米/分钟）， 队伍去烈士陵园过程中在下坡路上的速度， （千米/分钟）， 队伍返程中上坡路用时，（分钟）， 队伍返程中下坡路用时，（分钟）， 队伍返程中平路用时不变，12分钟， ∴队伍返程中总共用时，（分钟）． 故选：D． 3．一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． ①当时，小明落后于小张，当时，小明超过小张，这个期间小张处于静止状态，根据速度路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算，两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了，根据时间路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 根据描述求一次函数解析式题型04 1．一根弹簧原长为15cm，能挂的重物不超过20kg，并且每挂1kg弹簧伸长cm，则挂重物后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的问题，解题关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．根据弹簧总长=弹簧原来的长度+挂上x kg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】设挂重xkg，弹簧伸长cm，则挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是： ． 故选：A． 2．（2026·山西阳泉·模拟）已知在一定温度下的饱和溶液中，溶质质量与溶剂质量呈正比例关系．当温度为时，水中溶解的硝酸钾达到饱和，则在此温度下，硝酸钾饱和溶液中溶质质量（单位：g）与溶剂质量x（单位：g）的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据题意可知溶质质量与溶剂质量成正比例关系，因此设正比例函数解析式，代入已知对应值求解系数即可得到函数关系式． 【详解】解：溶质质量与溶剂质量成正比例关系， 设函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得，， 函数关系式为． 3．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．匀速流出的过程，油箱中剩油量y（升）与流出的时间x（分钟）之间的函数关系式是_____（并写出自变量取值范围）． 【答案】y＝20﹣x（0≤x≤100） 【分析】应先得到1分钟的流油量；油箱中剩油量＝原来有的油量分钟流的油量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵100分钟可流完20升油， ∴1分钟可流油（升）， ∴x分流的油量为x升， ∴油箱中剩油量y（升）与流出的时间x（分钟）之间的函数关系式是: （0≤x≤100）． 故答案为：（0≤x≤100）． 【点睛】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，要求学生能根据题中数量关系列出函数关系式，并写出自变量的范围，考查了学生对题意的分析与理解． 4．如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“杯子总高度杯子底部到杯沿底边高杯沿高杯子数量”，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为， 则杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律为． 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·二模）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15人．（师生均按原价购票） 西安到汉中的高铁票价格如下表 运行区间 票价 上车站 下车站 一等座 二等座 西安 汉中 155元/张 97元/张 由于某种原因，二等座高铁票单程只能买张（），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下． (1)请你写出购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式； (2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量． 【答案】(1) (2)55张 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张．根据单价、数量、总价之间的关系列式即可； （2）令，求出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：所有参与人员总共有（人）， 二等座高铁票单程只能买张，则购买一等座高铁票张． 由题可得：． 购买高铁票的总费用（单程）与之间的函数关系式是； （2）解：令，即， 解得， 购买二等座高铁票的数量是55张． 根据图象求一次函数解析式题型05 1．国内航空规定，乘坐飞机经济舱旅客所携带行李的重量x与其运费y（元）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么旅客可携带的免费行李的最大重量为（   ） A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg 【答案】A 【详解】试题分析：设携带行李的重量x与其运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得， 解得：， ∴y=30x-600. 当y=0时，30x-600=0， ∴x=20. 故选A. 考点：一次函数的应用. 2．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示． (1)分别求出当与时，与之间的函数关系式； (2)当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为多少厘米？ (3)当这种瓜苗长到大约时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？ 【答案】(1)当时，与之间的函数关系式为；当时，设与之间的函数关系式为； (2)70厘米 (3)继续生长大约18天，开始开花结果 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，与之间的函数关系式为； 当时，设与之间的函数关系式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴当时，设与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 即当这种瓜苗生长到第30天时，高度大约为70厘米； （3）解：当时，， 解得：， ， 即继续生长大约18天，开始开花结果． 3．浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）用甲的工作总量60工作的时间6，即可得到答案； （2）设函数解析式y=kx，将点（2，30）代入求k的值即可； （3）根据图象分别求出甲、乙的工作效率即可得到答案； （4）设铺设的彩色道砖路面的长度为a米，根据两队同时完成了任务列出方程求出a的值. 【详解】（1）甲每小时施工：606=10（米）， 故答案为：10 （2）当时，设y=kx， 将（2，30）代入，得2k=30， 解得k=15， 故答案为：y=15x； （3）当时，甲每小时的工作量为10米； 乙每小时的工作量为： （米）， ∴甲队比乙队每小时快10-5=5米， 故答案为：5； （4）设铺设的每条彩色道砖路面的长度为a米， 由题意得： ， 解得a=110， 经检验，a=110是原方程的解， 故答案为：110. 【点睛】此题考查一次函数的应用，对图象上点的意义的理解，利用待定系数法求函数解析式，（4）中根据设修路的总长度是解题的关键，利用时间相等得到方程，再解方程即可. 4．爱贝玩具厂开发了一款新型益智玩具，一期计划生产200万件，预计20天后投入市场．该厂有甲、乙、丙三条生产线，由于丙生产线在技术创新升级中，则由甲、乙两条生产线先开始生产加工玩具．甲、乙两条生产线一起生产加工玩具4天后，乙生产线发生故障停止生产，只剩甲生产线单独加工玩具．为了能在规定时间完成任务，丙生产线加快了技术升级，6天后也投入生产．由于丙生产线技术升级后提高了效率，所以提前一天完成加工任务．已知甲、乙两条生产线生产玩具总量（万件）与时间（天）的关系如图折线段所示，丙生产线生产玩具总量（万件）与时间（天）的关系如图线段所示． （1）求第5天结束时，生产玩具总量. （2）求玩具生产总量（万件）与时间（天）的函数关系式（注明x 的取值范围）． （3）直接写出生产第几天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件. 【答案】（1）40万件；（2）；（3）生产加工第天和第12天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件． 【分析】本题考查一次函数的基本应用，能够通过函数图象求出函数解析式是解题关键． （1）根据函数图象及图象中的数据可以求得第5天结束时，生产玩具总量； （2）根据题意可以分段求出玩具生产总量y（万件）与时间x（天）的函数关系式； （3）根据题意可知在丙生产前它们相差20万件和生产后相差20万件两种情况，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）由题意可得， 甲的生产效率为：万件/天， 则第5天结束时的生产总量为：（万件）， 答：第5天结束时，生产玩具总量是40万件； (2)当时，设与x的函数关系式为， ，得， 即当时，与x的函数关系式为， 当时，设与x的函数关系式为， 得 即当时，与x的函数关系式为， 当时，丙的工作效率是：万件/天，此时设， 将与代入得， ， ∴当时，， 则当时，与x的函数关系式为：， 由上可得，与x的函数关系式为：，   (3)由题意可得， 在时，将代入，得， 在时，， 解得，， ∴在第天和第12天甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件， 答：生产第天和第12天时，甲、乙两条生产线生产玩具总量与丙生产线生产玩具总量差为20万件. 根据表格求一次函数解析式题型06 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选到合脚的鞋子．已知中国鞋码与脚长（单位：）满足一次函数，与的部分对照数据如下表，则中国鞋码与脚长（单位：）的函数关系式为_______． 脚长 ．．． 23 23.5 24 24.5 ．．． 中国鞋码 ．．． 36 37 38 39 ．．． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键．根据表格数据，中国鞋码y与脚长x满足一次函数关系，利用待定系数法求函数表达式即可． 【详解】解：根据表格数据，中国鞋码y与脚长x满足一次函数关系， 设中国鞋码与脚长（单位：）的函数关系式为，由题意得： ， 解得， ∴函数关系式为， 验证：当时，满足关系式． 故答案为：． 3．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 4．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距 16 18 20 22 身高 133 151 169 187 小明的身高是，一般情况下，他的指距约是______（保留整数）． 【答案】21 【分析】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．先利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出当时的值即可． 【详解】解：设身高y（单位：）是指距x（单位：）的一次函数解析式为，当时，，当时，， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， 即小明的身高是，一般情况下，他的指距约是， 故答案为：． 根据题意求变量的值解决问题题型07 1．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位 h（cm）与时间 t（min） 满足 h=0.4t+2，当 h 为 6cm时，时间 t 的值为（       ） A．4.4min B．10min C．15min D．20min 【答案】B 【分析】将代入中，求出t即可； 【详解】当 h 为 6cm时，即， 解得：min． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意是解题关键． 2．（25-26八年级·河南郑州·期末）“更香”是古代中国特有的计时装置，香线采用特殊工艺制成．小颖买了一款香，通过记录燃烧时间与剩余香的长度得到二者之间的关系式是，则下列说法不正确的是（   ） A．这款香燃烧2小时后，剩余香的长度是 B．在燃烧过程中，剩余香的长度随着燃烧时间均匀减少 C．这款香的初始长度是 D．这款香燃烧1小时，香长度减少 【答案】D 【分析】本题为一次函数的实际应用问题，根据给出的y与x的函数解析式，结合x（燃烧时间）、y（剩余长度）的实际意义，计算判断各选项正误即可． 【详解】解：对选项A，∵当时，，∴燃烧2小时后剩余长度为，A说法正确； 对选项B，∵是一次函数，x的系数为固定常数，∴y随x均匀变化，即剩余香长度随燃烧时间均匀减少，B说法正确； 对选项C，∵初始燃烧时，代入得，∴香的初始长度为，C说法正确； 对选项D，∵燃烧1小时后，，剩余长度，初始长度为，∴长度减少了，D说法不正确，符合题意． 3．（2026·河南信阳·模拟）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流（单位：）是电阻两端的电压（单位：）的正比例函数．观察下图，计算电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：设电流关于电压的函数解析式为， 把代入得， 解得：， ∴电流关于电压的函数解析式为， 当时，． 一次函数的图象信息题题型08 1．（25-26·期末）已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则下列关于油箱中剩余油量（升）与时间（时）之间的函数图象正确的是选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意列出P与t之间的函数关系式，再结合实际求出t的取值范围，即可得解．本题主要考查了列一次函数关系式，以及一次函数的图像，解答实际问题时要注意自变量的取值范围，这是解题的关键． 【详解】解： ∵油箱中有油25升，每小时耗油5升， ∴剩余油量P（升）与耗油时间t（小时）之间的函数关系式为． 当时，； 当时，． ∴t的范围为． 故选：B． 2．14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得：y1=0.5x+60（0≤x≤30），y2=6x（0≤x≤30）， ∴得出y1是一次函数，y1随x的增大而增大，与y轴的交点是（0，60）， y2是正比例函数，y2随x的增大而增大， 故选：C． 【点睛】本题考查了时钟问题的时针和分针的速度的关系，一次函数的解析式和正比例函数的解析式与图象的关系的运用，解答时根据时钟问题的数量关系求出函数的解析式是关键． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）在学习液体压强时，李老师做了一个有趣的实验：如图1，水平桌面上放置甲、乙两个完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯有水，乙烧杯内无水，用一根U型管将垫有木垫的甲烧杯与乙烧杯相连，使甲中的水流入乙烧杯，当两烧杯内的水面到桌面的高度相等时，引流自动停止．在引流过程中，设甲、乙两烧杯内的水面距离杯底的高度分别为，（单位：cm），如图2是，与引流时间（单位：s）的函数图象，若第6秒时引流停止，则木垫的高度是________cm． 【答案】8 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 4．随着科技的进步，传统的人工生产方式开始向自动化和智能化转变．某工厂工人每日上下午各工作3小时，中间休息2小时．假设每名工人和每台机器人工作时的效率不变，一台机器人每日工作量（件），一名工人每日工作量（件）分别与机器人工作时间（小时）之间的函数关系如图所示．    (1)机器人的工作效率为______件/小时． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，一台机器人比一名工人多生产______件产品． 【答案】(1)15 (2)与的函数解析式为 (3)60 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件，由此计算即可得出答案； （2）求出每名工人的工作效率，当时，设关于的函数解析式为：，将代入解析式求出的值即可得解； （3）分别求出机器人和工人8小时生产产品数量，作差即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得：机器人不休息，且3小时做了45件， 故机器人的工作效率为件/小时； （2）解：由图可得： 每名工人的工作效率为：件/小时， ∵每名工人工作时的效率不变， ∴当时，设关于的函数解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （3）解：机器人8小时生产产品：（件）， 当时，， ∴当时，一台机器人比一名工人多生产件产品． 阶梯收费问题题型01 1．出租车收费标准：起步价8元（3公里内），超过3公里每公里加收1.5元，设行驶路程公里，总费用y元，函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】总费用由起步价和超过3公里部分的费用两部分组成，先计算超过3公里的路程，再算出对应费用，最后整理得到y与x的函数关系式． 【详解】解：∵行驶路程为公里， ∴超过3公里的路程为公里， 超过3公里部分的费用为元， ∴， 整理得． 2．（2026·山西吕梁·模拟）为保障城乡供水事业可持续发展，某市水费采用阶梯计价，下表是该市居民生活用水的收费标准： 阶梯等级 每人每月用水量 价格 一阶 不超过 2.6元 二阶 超过不超过 3.9元 三阶 超过 7.8元 王老师家有口人，设他家某月人均用水量为，应缴水费是元，当时，与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据阶梯收费标准，先确定时人均水费的计算方式，再结合家庭人口数得到总水费，整理后即可得到与的函数关系式． 【详解】解：当时， 人均用水量中，不超过部分的水费为 元， 超过部分的水量为，该部分水费为元． 因此人均水费为元， 已知王老师家有4口人，总应缴水费， 当时，与之间的函数关系式为． 3．（25-26八年级·期中）某市出租车收费标准为，两公里付起步价9元，超过两公里但是不超过八公里的路程每公里付2元，超过八公里的路程每公里付3元（不足一公里按照一公里计算，如2.3公里按照3公里收费），设出租车行驶路程为，应付车费为． (1)写出当为整数（）时，车费与行驶路程的函数关系式； (2)若小明要乘坐出租车去距家7.2公里的电影院看电影，应付给司机多少钱？ 【答案】(1)（）； (2)21元． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同的路程段确定车费的计算方式． （1）根据出租车收费标准，当（为整数）时，计算车费与行驶路程的函数关系式； （2）先根据不足一公里按一公里计算的规则确定行驶路程，再代入（1）中函数关系式计算车费． 【详解】（1）解：当（为整数）时，起步价9元，超过2公里的部分为公里，这部分每公里2元． 所以车费，化简可得， 答：车费与行驶路程的函数关系式（）； （2）解：因为不足一公里按照一公里计算，7.2公里按照8公里计算， 把代入中，可得（元）． 答：应付给司机21元． 4．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． 第一档 月用电量180千瓦时以下（含180千瓦时），每千瓦时价格0.55元 第二档 月用电量180千瓦时至300千瓦时的部分（含300千瓦时），每千瓦时比第一档提价元 第三档 月用电量300千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3元 (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 【答案】(1)0.1 (2)与的函数关系式为 (3)该户8月份的用电量为320千瓦时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用，解决此题的关键是读懂题意列出相关的式子； （1）先判断所在的电费档位，根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可； （2）根据题意列出函数关系式即可得到答案； （3）先判断电费所在的档位，再代入相对应的函数关系式即可求解； 【详解】（1）解：由题可列方程为：， 解得： ， 故的值为0.1； （2）解：当时，， 当时，， 当时，故与的函数关系式为 ； （3）解：当 时，代入得：（元） ∵， ∴该用户的用电量超过了300千瓦时， 把代入得：， ∴， 答：该户8月份的用电量为320千瓦时． 5．（2025·山西怀仁·模拟）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 一次函数与方程综合题型02 1．（25-26八年级上·安徽淮北·质检）如图，这是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于x的一元一次方程的解就是一次函数当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：由图知，一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 3．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 4．如图，直线AB是一次函数的图象，若关于x的方程的解是，则直线AB的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】将代入进行求解即可得到解答． 【详解】解：∵的解是， ∴将其代入得， 解得， ∴直线AB的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求解一次函数，将代入已知方程进行求解是解决本题的关键． 5．已知点A（﹣1，1）是直线y＝kx+3上的一点，若该直线和x轴相交于点B，求点B的坐标． 【答案】（﹣，0） 【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出直线与x轴的交点坐标． 【详解】将A（﹣1，1）代入y＝kx+3，得：﹣k+3＝1， 解得：k＝2， ∴直线的解析式为y＝2x+3． 当y＝0时，2x+3＝0， 解得：x＝﹣， ∴点B的坐标为（﹣，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 一次函数的实际应用题型03 1．某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过500元的商品，超过500元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：元）与商品原价x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超过500元的部分可以享受的优惠是打_____折． 【答案】八 【分析】设超过500元的部分可以享受的优惠是打n折，根据：实际付款金额=500+（商品原价-500）×，列出y关于x的函数关系式，由图象将x=1000、y=900代入求解可得． 【详解】解：设超过500元的部分可以享受的优惠是打n折， 根据题意，得：y=500+（x-500）•， 由图象可知，当x=1000时，y=900，即：900=500+（1000-500）×， 解得：n=8， ∴超过500元的部分可以享受的优惠是打八折， 故答案为：八 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，理解题意根据相等关系列出实际付款金额y与商品原价x间的函数关系式是解题的关键． 2．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】（1）2；（2）y＝2x+30；（3）10 【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度； （2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式； （3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：（1）36-30=6（cm）, 6÷3=2（cm） 故答案为：2； （2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36）， 代入得：， 解得， 即y＝2x+30； （3）由2x+30＞49， 得x＞9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出． 【点睛】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． 一次函数与几何综合问题题型01 1．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则当x＝4时，点R应运动到(   ) A．P处 B．Q处 C．M处 D．N处 【答案】A 【分析】根据点R的移动规律，点R的运动路径为0→4，4→9，9→13，所在线段为NP，PQ，QM，所以当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处. 【详解】当R从N向P运动时，S△MNR=·MN·NR ∵NR不断增加， ∴S△MNR面积不断增大 当R从P向Q运动时，S△MNR=·MN·NP ∵MN、PN不变， ∴S△MNR面积保持不变 当R从Q向M运动时，S△MNR=·MN·MR ∵MR不断减小， ∴S△MNR面积不断减小 故当x=4时，点R运动到高不变的开始，即P点处. 【点睛】本题考查了矩形简单的动点问题与一次函数图象结合，解题关键是将△MNR的面积表示出来，发现随着点的运动，面积的变化仅由高变化引起，找到高不变的开始和结束即为面积不变的开始和结束. 2．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线经过坐标原点，且，垂足为C，则点C到y轴的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先分别求得A，B两点坐标，然后利用勾股定理求得AB的长，结合三角形面积求得OC的长，再利用勾股定理求得BC，最后再利用三角形面积求解 【详解】解：在中，当x=0时，y=5 当y=0时，，解得：x=10 ∴OA=10；OB=5 ∴在Rt△AOB中， ∵ ∴，，解得： ∴在Rt△BOC中， 过点C作CD⊥y轴 ∴，，解得： 故选：B 【点睛】本题考查一次函数的几何应用及勾股定理解直角三角形，二次根式的乘除运算，利用数形结合思想解题是关键． 3．如图，长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y． (1)求阴影部分的面积y与x之间的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围； (2)当阴影部分的面积等于20，请求出此时的值？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于长方形面积减去的面积进行列式，即可得出y与x的函数关系式； （2）令，求出x即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，，， ∴图中阴影部分的面积为：； （2）解：当时，即， 解得， 即． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． 4．等腰三角形中，周长为，设底边为，腰长为．   求与之间的函数关系式； 求自变量的取值范围； 在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】； （2）； （3）函数的图象如图所示： 【分析】（1）根据等腰三角形的周长公式即可得出结论； （2）根据实际意义和三角形的三边关系列出不等式即可求出结论； （3）根据实际意义并利用两点法画函数图象即可． 【详解】解：等腰三角形周长为，底边为，腰长为， ； 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ， 解得：； ， 当时，；当时，． 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系、三角形的三边关系和画一次函数图象是解决此题的关键． 一次函数、方程和几何图形的综合探究题型02 1．（24-25八年级上·山东济南·月考）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)过B点作直线与x轴交于点P，若的面积为10，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，令．求出的值；再令求出的值，即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， 令，则； 令则， （2）解：由（1）知，， ， 的面积为10， ． 即， 或． 2．如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点C，D （1）求点A的坐标； （2）若OB＝CD，求a的值． 【答案】（1）(6，0)；（2）4. 【详解】试题分析：（1）先利用直线y=x上的点的坐标特征得到点M的坐标为（2，2），再把M（2，2）代入y=﹣x+b可计算出b=3，得到一次函数的解析式为y=﹣x+3，然后根据x轴上点的坐标特征可确定A点坐标为（6，0）； （2）先确定B点坐标为（0，3），则OB=CD=3，再表示出C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a），所以a﹣（﹣a+3）=3，然后解方程即可． 试题解析：解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为（2，2）， 把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3， ∴一次函数的解析式为y=﹣x+3， 把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6， ∴A点坐标为（6，0）； （2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3， ∴B点坐标为（0，3）， ∵CD=OB， ∴CD=3， ∵PC⊥x轴， ∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a） ∴a﹣（﹣a+3）=3， ∴a=4． 考点：两条直线相交或平行问题． 3．（24-25八年级上·河南·期中）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 如图所示，小明分别画出了函数，，的图象． 【深入探究】 （1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【得到性质】 （2）函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是__________； 【实践运用】 （3）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为5，求k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）观察图象即可得到结论； （2）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （3）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （2）函数（其中为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； 故答案为：； （3）∵一次函数（为常数，且）的图象一定过点， ∴， ∵与y轴相交于点A， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $