23.2（第1课时）正比例函数的图象和性质（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 初中数学正比例函数的图象和性质同步练，通过“图象认知-性质应用”双层次设计，实现从概念理解到跨学科综合的梯度巩固，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一（图象）|点与图象关系、实际情境图象辨析、平移变换|从基础点坐标判断（1-2题）到物理密度（3题）、BMI指数（5题）等跨学科图象应用，逐步提升直观想象能力| |类型二（性质）|k值与增减性、象限分布、综合性质判断|从k值范围判断（32题）到电机转速（49题）、溶液浓度（15题）等性质应用，深化推理能力与模型意识|

23.2（第1课时）正比例函数的图象和性质（原卷版） 目 录 类型一、正比例函数的图象 1 类型二、正比例函数的性质 6 类型一、正比例函数的图象 1．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．关于函数，不在图象上的点是（    ） A． B． C． D． 3．在学习了物体质量与体积之间的关系后，老师给出了甲、乙、丙、丁四种液体，并让同学们根据物理学知识计算其密度，同学们用相关的物理仪器测量数据后，在如图所示的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象判断这四种液体中密度最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．在同一平面直角坐标系中，函数与（k，b为常数，）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则指数最大的同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 7．若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．一个正比例函数的图象经过，两点，且过第一、三象限，则这个正比例函数的图象一定也经过点（     ） A． B． C． D． 9．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 10．在平面直角坐标系中，点，点均在直线（）上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 11．正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 12．正比例函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 13．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 14．某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 15．甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 16．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 17．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 18．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 19．若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 20．若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 21．若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 22．若点在正比例函数 的图象上，_______ 23．如图所示的图像表示老虎和棕熊的奔跑情况，下列叙述中正确的有______．（填序号） （1）老虎比棕熊每小时多跑60千米； （2）第6小时老虎比棕熊多跑220千米； （3）棕熊2.5小时跑了100千米； （4）棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系． 24．若点在正比例函数的图像上，则的值为______． 25．若正比例函数过点，则___________； 26．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 27．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    28．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 29．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 30．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 类型二、正比例函数的性质 31．已知，在正比例函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 32．已知正比例函数，随的增大而减小，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 33．若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 34．已知正比例函数的图象上两点，，如果，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 35．若正比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 36．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．它的图象不经过第三象限 B．它的图象不是轴对称图形 C．y随x的增大而增大 D．自变量x的取值范围是 37．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 38．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 39．已知点在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 40．若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 41．若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 43．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 44．已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 45．已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 46．函数________的图象是一条经过原点与的直线，其值随的增大而________． 47．若正比例函数与的图象关于轴对称，则的值等于________． 48．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 49．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 50．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 51．已知点，在同一个正比例函数的图像上，求点P的坐标． 52．已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 53．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 54．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 55．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 56．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 57．若与成正比例关系，且时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)为何值时，？ 58．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 59．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 60．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 1．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点的横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 1．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则______．    2．阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2（第1课时）正比例函数的图象和性质（解析版） 目 录 类型一、正比例函数的图象 1 类型二、正比例函数的性质 17 类型一、正比例函数的图象 1．在平面直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图像上的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，同一正比例函数图像上的点满足比例系数相等，先根据点求出正比例函数的，再验证点是否满足正比例函数的解析式即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 对选项A验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标一致， ∴，两点在同一个正比例函数图像上，故选项A符合题意； 对选项B验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项B不符合题意； 对选项C验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项C不符合题意； 对选项D验证如下： ∵点在该函数图像上， ∴，解得， ∴该正比例函数解析式为， 将中横坐标 代入解析式，得，与点的纵坐标不一致， ∴，两点不在同一个正比例函数图像上，故选项D不符合题意． 2．关于函数，不在图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．当时，，不满足解析式； B．当时，，满足解析式； C．当时，，满足解析式； D．当时，，满足解析式； ∴不在函数图象上的点是A选项． 3．在学习了物体质量与体积之间的关系后，老师给出了甲、乙、丙、丁四种液体，并让同学们根据物理学知识计算其密度，同学们用相关的物理仪器测量数据后，在如图所示的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象判断这四种液体中密度最大的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】由一次函数图象与性质判断即可． 【详解】解：根据正比例函数性质可知，图象越陡，值越大，在第一象限即值越大， 由可得，以体积为横坐标、质量为纵坐标，则就相当于正比例函数中的， 根据图象得知乙的图象最陡、其次是丙、丁和甲，即， 根据图象判断这四种液体中密度最大的是乙． 4．在同一平面直角坐标系中，函数与（k，b为常数，）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者一致，此项符合题意； B、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意； C、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意； D、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意． 5．身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．甲、乙、丙、丁四位同学的体重与他们身高平方的关系示意图如图所示，则指数最大的同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中，以身高平方为横轴，以体重为纵轴，可由表示体重，用表示身高平方，设坐标系中某点坐标为，连接，设直线的解析式为，易得，结合正比例函数的性质可知，直线与轴的夹角越大，则的值越大，即指数越大；作直线、、、，比较四条直线与轴的夹角，即可获得答案． 【详解】解：如下图，根据题意，在平面直角坐标系中，以身高平方为横轴，以体重为纵轴， 可由表示体重，用表示身高平方， 设坐标系中某点坐标为，则， 连接，设直线解析式为， 则， 由正比例函数的性质可知，直线与轴的夹角越大，则的值越大， 即指数越大， 作直线、、、， 由图可知直线与轴的夹角最大， 即甲同学的指数最大． 6．在平面直角坐标系中，若将一次函数向右平移3个单位长度可以得到一个正比例函数，则当该正比例函数图象上的点的横坐标为6时，纵坐标为（     ） A．9 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数平移规律和正比例函数定义，利用“左加右减”得到平移后的解析式，再根据正比例函数特征求出，最后代入横坐标计算纵坐标即可． 【详解】∵一次函数向右平移3个单位长度，根据一次函数“左加右减”的平移规则， ∴平移后的函数解析式为 ∵平移后得到正比例函数，正比例函数的常数项为0， ∴ 解得 ∴平移后的正比例函数为 将代入解析式得 即横坐标为6时，纵坐标为4． 7．若正比例函数图象经过第二、四象限，且过点和，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正比例函数图象经过二、四象限，确定，再将两点坐标代入解析式得到关于的方程组，通过代入消元法求出的值，结合的正负取值，最终确定的值． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∵点和都在上，坐标满足函数解析式： 代入点：，化简得， 代入点：，化简得， 把代入得：， 整理得：， 结合，得． 8．一个正比例函数的图象经过，两点，且过第一、三象限，则这个正比例函数的图象一定也经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正比例函数的解析式，根据已知两点坐标列方程求出比例系数，结合函数过第一、三象限确定比例系数的取值，得到函数解析式后验证选项即可得到结果． 【详解】解：设正比例函数为， ∵正比例函数的图象过第一、三象限， ∴， 将点，代入，得， ， 解得（负值舍去）， ∴正比例函数为， 当时，， ∴点不在的图象上； 当时，， ∴点在的图象上； 点和点在第二象限，不符合题意； 综上，这个正比例函数的图象一定也经过点． 9．小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（     ） A．甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大 B．依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为： C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大 【答案】D 【分析】观察图象逐个判断即可． 【详解】解：由图可知甲，乙两个图象表示随着横轴电压的增大，电流强度随之增大，则A正确； 则在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，则C正确； 由图象可知电压和电流成正比例，所以，则B正确； 当电压不变时，如电压为时，，，可知，所以，则D不正确． 10．在平面直角坐标系中，点，点均在直线（）上．若，则该直线经过的点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点，的横坐标关系和对应函数值的大小关系判断的符号，确定直线经过的象限，再结合条件判断各选项即可． 【详解】∵点，在直线上，且，， ∴随的增大而减小， ∴，直线经过第二、四象限， ∵选项B代入得，不符合的条件， 选项C在第一象限，选项D在第三象限，都不符合直线经过的象限，只有选项A在第四象限，符合条件，故选A． 11．正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． 12．正比例函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若点的坐标满足函数解析式，则点在该函数图象上，据此代入验证即可求解． 【详解】解：对A选项，当时，，A错误； 对B选项，当时，，B错误； 对C选项，当时，，坐标满足函数解析式，C正确； 对D选项，当时，，D错误． 13．若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知点求出正比例函数解析式，再代入选项验证即可得到结果． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵ 函数图象经过点， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数解析式为. A选项：当时， ，点不在函数图象上，错误． B选项：当时，，点不在函数图象上，错误． C选项：当时， ，点坐标满足函数解析式，因此该点在函数图象上，正确． D选项：当时， ，点不在函数图象上，错误． 综上，选C． 14．某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为 D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多 【答案】B 【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：由图像可知： 当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意， 设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∵时，， ∴， 解得：， ∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为， ∴当时，，即， ∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意， 当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意． 15．甲、乙、丙、丁四名同学在配制硫酸铜溶液的实验中，分别记录了所配制溶液中溶质质量（单位：）与溶液质量（单位：）的数据，并绘制了如图所示的变化关系图象，根据化学知识可知，溶质的质量分数．判断四名同学所配制的溶液中，溶质的质量分数最大的是（   ） A．丁 B．丙 C．乙 D．甲 【答案】D 【分析】令溶液质量都为，根据图象即可求解． 【详解】解：如图，令溶液质量都为， 根据图象可得：， ∴溶质的质量分数最大的是甲． 16．若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，得到，推导得，结合可得关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：正比例函数的图象上有一点， ， ． ， ∴， ， 解得． 17．已知正比例函数经过点，请写出一个平行于图象的一次函数表达式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出正比例函数表达式的k值，再由一次函数图象平行，相同，不同求解即可． 【详解】解：正比例函数经过点 则， 解得 则一个平行于图象的一次函数表达式可以是（答案不唯一）． 18．已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是______．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ，则实数的值可以是（答案不唯一）． 19．若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 【答案】3（即可） 【分析】由正比例函数图象经过第一、三象限，可得比例系数大于零，解不等式得到的取值范围，任取一个范围内的值即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得， 取符合条件的， 故答案为 （均可）. 20．若正比例函数的图象经过点，则的值为____________． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到的值. 【详解】解：正比例函数的图象经过点， 将，代入，得， 解得. 21．若正比例函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ， 解得． 22．若点在正比例函数 的图象上，_______ 【答案】 【分析】将代入正比例函数求出值，此题得解． 【详解】解：点在正比例函数的图象上， 将, 代入中得：， 解得： 23．如图所示的图像表示老虎和棕熊的奔跑情况，下列叙述中正确的有______．（填序号） （1）老虎比棕熊每小时多跑60千米； （2）第6小时老虎比棕熊多跑220千米； （3）棕熊2.5小时跑了100千米； （4）棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系． 【答案】 （3）（4） 【分析】通过观察函数图像获取路程与时间的数据，分别计算老虎和棕熊的奔跑速度，再根据速度、时间、路程的关系逐项进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，老虎小时奔跑路程为千米，棕熊小时奔跑路程为千米， 老虎的奔跑速度为：， 棕熊的奔跑速度为：， 对于（1），老虎比棕熊每小时多跑，故（1）错误 对于（2），第小时老虎奔跑路程为，棕熊奔跑路程为， 老虎比棕熊多跑，故（2）错误， 对于（3），棕熊小时奔跑路程为，故（3）正确， 对于（4），棕熊的图像是一条过原点的直线，路程与时间的比值为定值， 所以棕熊的奔跑路程和奔跑时间成正比例关系，故（4）正确． 综上所述，正确的有（3）（4）． 24．若点在正比例函数的图像上，则的值为______． 【答案】 【分析】将点 代入正比例函数，通过解方程即可求出的值． 【详解】解：将点 代入正比例函数得： 解得：． 25．若正比例函数过点，则___________； 【答案】 【分析】将点代入，再解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：∵正比例函数过点 ∴将点代入得，， 解得． 26．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 27．在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象．（先填写下表，再描点、连线）    【答案】 函数图象如图：    【分析】本题考查用列表法画正比例函数图象，解题思路为将已知值代入函数解析式求出对应值完成填表，再根据得到的点的坐标在坐标系中描点，最后连线即可得到函数图象，即可求解． 【详解】略 28．已知正比例函数 的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)画出这个函数图象； (3)判断点，是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点不在函数图象上；点在函数图象上 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）过原点和画出函数图象即可求解； （3）分别将，，代入解析式，求得函数值，即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数()的图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为：． （2）当时， 如图： （3）将，代入中，得 ， 点不在函数图象上； 将 ，代入中，得， 点在函数图象上 29．A、B两地间的路程为，一辆汽车从A地出发以的速度匀速驶向B地． (1)写出行驶路程与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)行驶时离B地还有多少路程？ 【答案】(1)，自变量t的取值范围是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用速度时间路程，得出等式即可，进而求出自变量取值范围； （2）利用正比例函数图象画法得出答案． （3）根据离B地的距离求得即可． 【详解】（1）解：∵A、B两地间的路程为，某汽车行驶的速度为， ∴自变量t的取值范围是：，即， ∴s与t之间的函数关系式为：，自变量t的取值范围是：； （2）解：由（1）得：s与t之间是正比例函数关系，且过点， 画出这个函数的图象，如图所示： （3）解：行驶时离B地的距离为． 30．已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 类型二、正比例函数的性质 31．已知，在正比例函数的图象上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入的值计算，即可比较大小． 【详解】∵，在正比例函数的图象上， ∴将代入， 得，， ∴． 32．已知正比例函数，随的增大而减小，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数中，随的增大而减小， ， ． 33．若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据正比例函数的比例系数判断函数的增减性，因为该函数，所以随的增大而减小，再比较两个点横坐标，即可得到． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又点，在正比例函数的图象上，且， ∴． 34．已知正比例函数的图象上两点，，如果，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点横纵坐标的大小关系判断正比例函数的增减性，利用正比例函数的性质得到关于m的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：∵点，， ∴， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴正比例函数的比例系数， 解得：． 35．若正比例函数的图象经过点，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值，进而得到正确选项． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点 ∴点满足函数解析式， 将 代入得 解得． 36．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．它的图象不经过第三象限 B．它的图象不是轴对称图形 C．y随x的增大而增大 D．自变量x的取值范围是 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义和图象性质，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴函数图象经过第一、三象限，且随的增大而增大， 因此A选项说法错误，C选项说法正确； ∵正比例函数的图象是过原点的直线，直线是轴对称图形，因此B选项说法错误； ∵正比例函数的自变量可取全体实数，因此D选项说法错误． 37．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将已知点代入函数解析式，推导得到的值，再根据横纵坐标符号判断点所在象限． 【详解】∵ 正比例函数的图象经过点和点 ∴ 将两点代入解析式可得， 由得，代入得， 两边同乘得， ∴ 点即为， ∵ 横坐标小于，纵坐标大于，符合第二象限点的特征， ∴该点在第二象限． 38．已知直线经过点和，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将A、B两点坐标分别代入直线解析式，得到和关于的表达式，再对比各选项得到正确结论． 【详解】解：∵ 点和在直线上， ∴ 将坐标代入解析式可得： ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，， 因此选项A、C、D错误，选项B正确． 39．已知点在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点A，B的横坐标代入正比例函数解析式，得到，关于的表达式，再结合判断选项正误即可． 【详解】解：∵点、在正比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∴，因此选项A正确，选项B错误； 又∵， ∴，选项C错误； ，选项D错误． 40．若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 41．若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得随增大而减小，可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：根据题意可得随增大而减小， ∴， 解得． 42．在正比例函数的图象上有两点，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点都在正比例函数图象上，因此坐标满足函数解析式，代入坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标分别代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为，即横纵坐标相等， ∴该函数图象一定经过的点是． 43．下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 44．已知，在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两点横坐标代入解析式得到和，比较大小即可． 【详解】解：∵，在正比例函数的图象上， ∴将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可得， ∵， ∴． 45．已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在正比例函数的图象上，可得，再结合且，进而求出的值． 【详解】解：点是正比例函数图象上的点， 将代入解析式得， ， 移项整理得 ， 将代入， 得， ， ，两边同时除以得 ． 46．函数________的图象是一条经过原点与的直线，其值随的增大而________． 【答案】 减小 【分析】设这条直线的解析式为，利用待定系数法即可得到解析式，从而判断增减性． 【详解】解：设这条直线的解析式为， 则，解得， ∴这条直线的解析式为， ∵， ∴其值随的增大而减小． 47．若正比例函数与的图象关于轴对称，则的值等于________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与的图象关于x轴对称时，比例系数互为相反数，即可求解；或在函数的图象取一点，找出该点关于轴对称的对称点，则正比例函数的图象过点，代入解析式即可求出的值． 【详解】解法一：∵正比例函数与的图象关于x轴对称， ∴这两个正比例函数解析式的k值互为相反数， ∴． 解法二：将代入，则，则函数的图象过点， ∵正比例函数与的图象关于x轴对称， ∴正比例函数的图象过点关于x轴对称的对称点， ∴，即． 48．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点；②在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大，则这个函数的表达式为______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据常见函数的增减性性质，结合题目给出的过定点和增减性要求，即可写出符合条件的函数表达式． 【详解】解：答案不唯一，例如． 检验：当时，， 所以图象经过点；在第一象限内函数值随着自变量的增大而增大． 故是符合题意的一个函数． 49．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 【答案】720 【分析】根据公式及，为定值，可知与成正比例关系．利用已知条件求出的值，确定与的函数关系式，再代入计算即可． 【详解】解：，且与值一定， 是的正比例函数． 当时，转/分钟， ， ． 当时，． 50．如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和的大小关系是______． 【答案】 【分析】先设出正比例函数的一般形式，代入已知点的坐标求出比例系数，再根据的符号判断函数的增减性，最后根据比较与的大小． 【详解】解：设正比例函数的解析式为 将 代入解析式得， 解得 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小 ∴． 51．已知点，在同一个正比例函数的图像上，求点P的坐标． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再把点P的坐标代入正比例函数的解析式中求出a的值即可得到答案． 【详解】解：把点Q的坐标代入得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 把点P的坐标代入得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 52．已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． (3)如果，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)点不在这个函数的图象上． 理由如下：将代入，得， 所以点不在这个函数的图象上． (3) 【分析】（1）根据题意，设，将，代入求解即可； （2）将代入函数解析式，求得，即可求解； （3）根据可得y随x的增大而减小，再根据横坐标的大小关系，即可求解． 【详解】（1）解：已知y与x成正比例可得，设y与x的函数关系式为， 将，代入，得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）略 （3）∵，， ∴y随x的增大而减小． ∵，是这个函数图象上的两点，且， ∴． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是正确求得正比例函数的解析式以及掌握正比例函数的性质． 53．已知正比例函数的图像经过点，且点的横坐标为2． (1)求点的坐标； (2)已知点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点的横坐标代入解析式即可； （2）根据三角形的面积列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：如图，设， 则有， 解得， ∴点的坐标为或． 54．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例设出关系式，利用待定系数法求出比例系数，整理得到关于的函数表达式； （2）根据一次函数的增减性，结合判断和的大小关系． 【详解】（1）解：由题意，设， 把，代入上式，得， 解得， 将代入所设关系式，得， 整理得； （2）解：函数的一次项系数为，且， 随的增大而增大， 点，都在该函数的图象上，且， ． 55．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据正比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入得：， 解得：， 解析式为：； （2）解：， 随的增大而减小， ， ． 56．已知，且y是关于x的正比例函数． (1)求y关于x的函数关系式； (2)已知点，点B在该函数图象上，若的面积为4，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据正比例函数的定义，得到的次数为，系数不为，求解的值后代入即可得到函数关系式； （2）先确定的长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：是关于的正比例函数， ， 由得， 解得 又，即， 代入得； （2）由题意得，为坐标原点，， ， 设点的坐标为， ， ，代入得， 解得，即或， 当时，代入得， 解得，此时； 当时，代入得， 解得，此时． 综上，点的坐标为或． 57．若与成正比例关系，且时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)为何值时，？ 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）把代入函数解析式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例关系， 设，， 当时，， 可得， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得． 58．跨学科综合：正比例函数图像上任意不同的两点，记： (1)当，时，__________ (2)求证： (3)我们知道物体质量与它的体积之间，有关系式其中为该物体密度，当该物体体积增加时，该物体的质量增加，求该物体的密度． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）把代入求解即可，根据代入坐标求解即可； （2）根据点的坐标与解析式的关系，结合定义求解即可； （3）仿照（2）的解答求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； 根据得； （2）证明：因为正比例函数图像上任意不同的两点， 所以， 所以， 所以， 由， 故； （3）解：根据题意，得，结合（2）的结论得， 由时， 故该物体的密度为． 59．已知关于的正比例函数． (1)若函数图象经过第一、三象限，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象经过第一、三象限，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据正比例函数中随的增大而减小，可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）根据点在该函数的图象上，把代入解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：函数图象经过第一、三象限， ， 解得：； （2）解：正比例函数中随的增大而减小， ， 解得：； （3）解：点在该函数的图象上， ， 解得：． 60．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 1．如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 2．已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点的横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先根据题干信息分别得出从，再总结归纳可判断①，②，再由成立，推出矛盾即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ，， ，， ，， ∴，， ，， ，， ， ， ， ， 当，时， ，， ∴，故①符合题意；②不符合题意； ∵若成立， ∴， ∴， ∵第一象限内有一点， ∴，， 结合前面推导：，， ∴， ∴错误，故③不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，轴对称的性质，规律探究，逆推思想的应用，掌握解题方法是解本题的关键． 1．如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则______．    【答案】 【分析】根据中，时，，得到，，，根据平分一、三象限夹角，得到，根据轴，得到，得到，根据时，，得到，，根据时，，得到，，发现规律，，…，得到 ，． 【详解】解：∵中，时，， ∴，，， ∵是一、三象限角平分线， ∴， ∵轴， ∴°， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 同理，， 当时，， ∴，， ∴发现规律，，， …， ∴ ，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的图象和性质，规律性过一次函数和正比例函数图象上的点做x轴和y轴的平行线产生的线段的长的规律． 2．阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $