4.3一次函数的图象（分层作业，23大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 4.3 一次函数的图象 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的图像与性质 题型02 判断一次函数的图像 题型03 判断一次函数所过象限 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 一次函数图像的绘制 题型06 一次函数的增减性 题型07 求一次函数的解析式 B组 能力进阶 题型01 根据一次函数所过象限求参数 题型02 一次函数图像的平移 题型03 根据一次函数的增减性求参数 题型04 根据一次函数的增减性判断自变量范围 题型05 根据一次函数增减性比较函数值大小 题型06 判断两个一次函数的图象位置 题型07 两个一次函数的交点问题 题型08 直线围成的图形面积 题型09 正比例函数的实际应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数的对称问题 题型02 一次函数的规律探究问题 题型03 一次函数的图象与性质综合 题型04 探究新函数的图象与性质 题型05 动点问题与函数图象 题型06 一次函数新定义问题 题型07 一次函数图象过定点问题 正比例函数的图像与性质题型01 1．函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 2．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点，则在此正比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 3．关于正比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．点在函数图象上 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 5．（25-26八年级·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 判断一次函数的图像题型02 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度h与放水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 3．函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 4．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（1）请在平面直角坐标系中画出函数的图象． （2）判断点，是否在函数的图象上？ （3）若点在这个函数图象上，求的值． 判断一次函数所过象限题型03 1．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，，）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26八年级上·陕西·期中）若点的坐标可表示为，如果是任意实数，那么点一定不在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过第_______象限. 5．（1）填表，并画出函数的图像． （2）观察，函数图像不经过第 象限 一次函数与坐标轴交点问题题型04 1．一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 2．一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级·期末）一次函数的图象经过原点，则（　　） A． B． C． D．且 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，则线段的长是_________． 5．已知函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 一次函数图像的绘制题型05 1．（25-26八年级上·福建·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 2．用“描点法”画函数图象的一般步骤是_________、_________、_________． 3．画正比例函数的图象，比较简单的方法是过点__________和__________作一直线即可得到． 4．画出函数的图象． (1)列表：下表是与的几组对应值，请补充完整． … -2 -1 0 1 2 … … -3 3 … (2)描点、连线：在如下平面直角坐标系中，画出函数的图象．    5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． (1)求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． (2)在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 一次函数的增减性题型06 1．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（ ） A．y= -3x B．y=2x - 1 C．y= -3x+10 D．y= -2x+1 2．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(    ) A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 3．已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为______． 4．（24-25八年级上·安徽池州·月考）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1）________； （2）若，则的取值范围为________． 5．已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 求一次函数的解析式题型07 1．若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 2．在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 3．某一次函数的图象经过点，且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式_____． 4．一次函数，当时，对应的y的值为，则的值为__________． 5．若y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，x的值是多少？ 根据一次函数所过象限求参数题型01 1．（24-25八年级上·上海·期末）若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如果函数（、是常数）的图像不经过第二象限，那么、应满足的条件是_______． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知正比例函数的图象在第二、第四象限，则的值为______． 5．已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 一次函数图像的平移题型02 1．（24-25八年级上·江苏苏州四·月考）将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．不经过第一象限 C．随的增大而增大 D．与轴交于点 4．将函数的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式为________． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 根据一次函数的增减性求参数题型03 1．若，，，是直线上的两点，当时，有，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则的值为（  ） A．2 B．-2 C．-1 D．4 3．已知一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是__________． 4．若正比例函数，y随x的增大而减小，则m的值是_____． 5．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 根据一次函数的增减性判断自变量范围题型04 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知一次函数，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 3．若，且，则的取值范围为______． 4．（25-26八年级下·山东临沂·质检）已知一次函数，与x轴交点为A，与y轴交点为B．请完成下列问题： (1)画出这个函数的图象（直接在图中描点、连线，并标注出点A与点B） (2)直接写出A，B两点的坐标：A__________，B__________； (3)观察图象，在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是__________；当时，y的取值范围是__________． 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 根据一次函数增减性比较函数值大小题型05 1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一次函数，当时，y的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 5．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 判断两个一次函数的图象位置题型06 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 2．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级·山东德州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 5．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知直线． (1)k为何值时，直线过原点； (2)k为何值时，y随x的增大而减小； (3)k为何值时，直线与直线平行． 两个一次函数的交点问题题型07 1．如果函数和的图象交于点，那么点应该位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·广东肇庆·二模）如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C． D． 3．（25-26八年级·山东潍坊·学情诊断）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知直线与相交于点．当时，，请写出一个满足条件的b的值____________（写出一个即可）． 5．若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是_____． 直线围成的图形面积题型08 1．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 2．如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 _____． 3．在坐标系中画出函数的图象，利用图象分析 (1)函数的图象经过第_____象限，y随x的增大而_____． (2)图象与轴交于点________，与轴交于点_____． (3)函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为____． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 5．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 正比例函数的实际应用题型09 1．（2026·湖南衡阳·模拟）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 2．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 3．汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 一次函数的对称问题题型01 1．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 3．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 5．已知一次函数． (1)将该函数图象向上平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是________； (2)将该函数图象向左平移2个单位长度，得到的函数图象的解析式是________； (3)该函数关于x轴对称的函数图象的解析式是________； (4)该函数关于y轴对称的函数图象的解析式是________． 一次函数的规律探究问题题型02 1．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h的值为（    ） t（min） … 1 2 3 4 … h（cm） … 2.4 2.8 3.4 4 … A．2.4 B．2.8 C．3.4 D．4 2．（24-25九年级上·重庆·月考）已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点的横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别是直线和，过点作轴的垂线交于点···过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点······依次进行下去，点的坐标为___________________． 4．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 5．分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处． （1）y=x+1，y=x+1，y=2x+1； （2）y=−x−1，y=−x−1，y=−2x−1． 一次函数的图象与性质综合题型03 1．（24-25八年级下·湖南·月考）关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）关于一次函数，下列说法正确的有（   ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，且，则代数式的值为______． 4．画出函数的图象． … 0 1 … … 1 … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）． (4)若点在函数的图象上，求出的值． 5．如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 探究新函数的图象与性质题型04 1．某学习小组在探究函数的图象时，得到了如下数据： -2 -1 0 1 2 3 1 2 4 8 根据表格中的数据，画出此函数的图象是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数 （1）填写下列表格． x … 0 1 2 … … 7 1 7 … （2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数的图像． 3．综合实践：学习 “一次函数” 时，我们从 “数” 和 “形” 两方面研究一次函数的性质，请运用积累的经验和方法对函数 的图像与性质进行研究，并解决相关问题： ... 0 1 2 3 ... ... ____ 3 1 ____ ... (1)初步感知：补全表格中横线部分的数据，并用描点法在图1所给的平面直角坐标系中画出函数 的图像；    (2)探究性质：观察函数 的图像，判断下列关于该函数性质的命题：①当 时， 的值随 的值增大而减小；②当 时，；③该函数存在最小值，最小值为3；④该函数图像是轴对称图形．其中正确的是 ____ ．（请写出所有正确命题的序号） (3)观察图像，当 时， 的取值范围是 ____． 4．请用已学过的方法研究一类新函数y＝k|x﹣b|（k，b为常数，且k≠0）的图象和性质： (1)完成表格，并在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|的图象； x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 2 1 0 1 2 4 (2)点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上． ①若y1＝y2，则m的值为 ； ②若y1＜y2，则m的取值范围是 ； (3)结合函数图像，写出该函数的一条性质． 5．小明同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣2|+|x+4|进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知当x＝﹣4时，|x+4|＝0；当x＝2时，|x﹣2|＝0，化简： ①当x＜﹣4时，y＝　 　； ②当﹣4≤x≤2时，y＝　 　； ③当x＞2时，y＝　 　． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的一条性质：　 　． （3）根据上面的探究解决下面问题： 已知P（a，0）是x轴上一动点，A（﹣4，6），B（2，6），则AP+BP的最小值是 　 　． 动点问题与函数图象题型05 1．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在中，，点P从点B开始沿射线向右移动，设的长为x，，的面积分别为S，，若，则y与x的函数图象大致是（      ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为________ 3．（1）画出函数的图象． （2）设是x轴上的一个动点，它与x轴上表示的点的距离为y．求y关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象． 4．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过） 一次函数新定义问题题型06 1．（25-26下·陕西榆林·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级上·上海·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 3．规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第_________象限． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且M、N关于x轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点M或点N的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①若函数与函数不具有“对偶关系”，则； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”，则． 其中正确的序号是______． 5．直线与轴、轴分别交于点，无论取何值，直线经过定点． (1)请直接写出定点的坐标； (2)定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种变换称为“兔变换”，当时，点，经过“兔变换”后的对应点分别是，若轴，点在轴上，求； (3)在（2）的条件下，点在轴上，连接，若，求点的坐标． 一次函数图象过定点问题题型07 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）一次函数的图象一定经过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 3．若关于的方程的解为，则的图象一定经过点______． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3 一次函数的图象 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的图像与性质 题型02 判断一次函数的图像 题型03 判断一次函数所过象限 题型04 一次函数与坐标轴交点问题 题型05 一次函数图像的绘制 题型06 一次函数的增减性 题型07 求一次函数的解析式 B组 能力进阶 题型01 根据一次函数所过象限求参数 题型02 一次函数图像的平移 题型03 根据一次函数的增减性求参数 题型04 根据一次函数的增减性判断自变量范围 题型05 根据一次函数增减性比较函数值大小 题型06 判断两个一次函数的图象位置 题型07 两个一次函数的交点问题 题型08 直线围成的图形面积 题型09 正比例函数的实际应用 C组 思维拔高 题型01 一次函数的对称问题 题型02 一次函数的规律探究问题 题型03 一次函数的图象与性质综合 题型04 探究新函数的图象与性质 题型05 动点问题与函数图象 题型06 一次函数新定义问题 题型07 一次函数图象过定点问题 正比例函数的图像与性质题型01 1．函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握图象经过点的基本要求是解题的关键． 把点的坐标代入计算验证等式的成立性即可． 【详解】解：因为，当时，，所以A不符合题意； 当时，，所以B不符合题意； 当时，，所以C不符合题意； 当时，，所以D符合题意； 故选D． 2．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点，则在此正比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（-4，6）在此正比例函数图象上，此题得解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0）． ∵正比例函数图象经过点（4，-6）， ∴-6=4k， ∴． ∵当x=-4时，y=x=6， ∴点（-4，6）在此正比例函数图象上． 故选D． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 3．关于正比例函数，下列说法错误的是（    ） A．图象经过原点 B．图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解∶ ∵正比例函数， ∴它的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小， 故选项B、C正确，但不符合题意； 当时，， ∴图象经过原点，故选项A正确，但不符合题意； 当时，， ∴点在函数图象上，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①，②，③，其中均为常数，则将按从小到大排列为______（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，由正比例函数的图象可得，，，，据此即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数经过二四象限，正比例函数③经过一三象限， ∴，，， ∵正比例函数比正比例函数更接近轴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级·内蒙古呼和浩特·月考）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式，并写出y的值随x值的变化情况； (2)用你认为最简单的方法，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1)，y的值随x值的增大而减小 (2) 描点画出图象如下： (3)点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点、点横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式， ∵， ∴y的值随x值的增大而减小； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点， （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上． 判断一次函数的图像题型02 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，解题的关键是根据一次函数的斜率和截距判断图象经过的象限． 先确定一次函数中，截距，由此可知图象经过一、三、四象限． 【详解】解：对于一次函数，当，时，图象经过一、三、四象限． 在中，，，故其图象经过一、三、四象限． 观察选项，只有B选项的图象符合该特征． 故选：B． 2．如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度h与放水时间t之间的变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知游泳池可分为浅水区和深水区，结合题意，即可得到图象. 【详解】由题意可得， 在浅水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较慢， 在深水区，h随t的增大而减小，h下降的速度比较快， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的图象，解题的关键是读懂题意，结合选项. 3．函数和在同一坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是数形结合． 依据正比例函数图象和一次函数的图象的特征判断即可． 【详解】解：若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数的图象与y轴交于负半轴，且从左往右上升，故A选项错误，B选项正确； 若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数的图象与y轴交于正半轴，且从左往右上升，故D选项错误；而C选项不合题意． 故选：B． 4．如图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键． 由图1可设（k，b为常数，且，由图2可设（m为常数，），将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【详解】解：由图1可设（k，b为常数，且，由图2可设（m为常数，）， 将代入得：， 与的函数关系为一次函数关系， ，，， ，， 与的函数图象过一、二、四象限． 故选：D． 5．（1）请在平面直角坐标系中画出函数的图象． （2）判断点，是否在函数的图象上？ （3）若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】 （1）函数与坐标轴的交点坐标为，描点即可，如图所示． （2）点不在直线的图象上，点在直线的图象上； （3） 【分析】（1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，用两点法即可作出图象； （2）在坐标系中描出A、B两点，根据作出的图象即可判断； （3）把代入即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）根据图象可知，点A不在直线的图象上，点在直线的图象上； （3）将点代入，得，解得：． 【点睛】本题考查函数的图象以及图象上点的坐标特征，看某点是否在函数上，只需将点的坐标代入函数中看看函数是否成立即可． 判断一次函数所过象限题型03 1．一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴图象经过第一、二、四象限 故选：C 【点睛】本题考查根据一次函数解析式判定其图象经过的象限．熟记相关结论即可． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，，）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查根据一次函数中的符号判定函数图像的性质，根据一次函数中，的符号判定函数图像的性质，由此即可求解． 【详解】解：A.有一条直线经过原点，则或，不合题意，故A选项不正确，不符合题意； 当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；则函数图像的图像经过第一、二、三象限； 当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；则函数图像的图像经过第一、二、四象限； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限；则函数图像的图像经过第一、三、四象限； 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；则函数图像的图像经过第二、三、四象限； 故B选项符合题意，C，D选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西·期中）若点的坐标可表示为，如果是任意实数，那么点一定不在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了各象限内坐标符号的特征，利用数形结合思想分析一次函数的图象是解题的关键． 通过设、，得到点的轨迹为直线，再分析该直线经过的象限即可求解正确答案． 【详解】解：令，则， ，则， ， ． 即点一定在直线上，由函数的图象可知该直线经过第二、三、四象限，故不可能在第一象限． 故选：A 4．已知直线y=kx+b，若k+b=－5，kb=6，那么该直线不经过第_______象限. 【答案】一. 【详解】首先根据k+b=-5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可． ∵k+b=-5，kb=6， ∴k＜0，b＜0， ∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限． 考点：一次函数图象与系数的关系． 5．（1）填表，并画出函数的图像． （2）观察，函数图像不经过第 象限 【答案】（1）如图； 的图像： （2）二 【分析】本题考查了一次函数图像的表达式及代入求值，一次函数图像的绘制方法，一次函数的性质． 熟练掌握一次函数图像的表达式及代入求值，一次函数图像的绘制方法，一次函数的性质是解题的关键． （1）代入，可得；代入，可得，然后填入表格，利用， 两个点画出函数图像； （2）根据（1）画出的函数图像判断函数图像经过的象限． 【详解】解：（1）略 （2）解：观察函数图像不经过第二象限． 故答案为：二． 一次函数与坐标轴交点问题题型04 1．一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（　　） A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 【答案】C 【分析】一次函数与y轴的交点可令即可求出. 【详解】解：当x＝0时，y＝x+1＝1， ∴一次函数y＝x+1的图象与y轴的交点坐标为（0，1）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与y轴的交点，会求一次函数与坐标轴的交点是解题的关键. 2．一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 3．（25-26八年级·期末）一次函数的图象经过原点，则（　　） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的图象与性质，将代入解析式结合即可求解． 【详解】解：将代入得：， 解得： ∵为一次函数 ∴ ∴ 故 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图像与轴，轴分别相交于点，，则线段的长是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． 先求出一次函数与轴、轴的交点、的坐标，再利用勾股定理计算线段的长． 【详解】解：对于一次函数，令，则， ， ， ∴； 令，则， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，． 故答案为：． 5．已知函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)求出这个函数的图象与x轴、y轴的交点的坐标． 【答案】(1) 画出这个函数的图象如下： (2)与x轴的交点的坐标(2，0)，与y轴的交点的坐标(0，4) 【分析】（1）根据描点法画出图象即可； （2）将x=0，代入，求出y的值，即得出这个函数的图象与y轴的交点；将y=0，代入，求出x的值，即得出这个函数的图象与x轴的交点； 【详解】（1）当x=1时，， 当x=2时，． （2）当x=0时，， ∴这个函数的图象与y轴的交点为(0，4)； 当y=0时，即， 解得： ∴这个函数的图象与x轴的交点为(2，0)． 【点睛】本题考查画一次函数图象，求一次函数图象与坐标轴的交点．注意一次函数图象是一条直线是解题关键． 一次函数图像的绘制题型05 1．（25-26八年级上·福建·月考）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 2．用“描点法”画函数图象的一般步骤是_________、_________、_________． 【答案】 列表 描点 连线 【分析】根据“描点法”画函数图象的一般步骤填空即可． 【详解】用“描点法”画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线． 故答案为：列表、描点、连线． 【点睛】本题考查了“描点法”画函数图象的一般步骤，牢记“描点法”画函数图象的一般步骤是解题的关键． 3．画正比例函数的图象，比较简单的方法是过点__________和__________作一直线即可得到． 【答案】 【分析】正比例函数的图象是直线，两点确定一条直线，且正比例函数恒过原点，只需再找一个计算简便的点即可. 【详解】解：∵ 正比例函数 的图象一定经过坐标原点， ∴ 第一个点为 ； ∵ 两点确定一条直线，只需再找一个计算简单的点， 令 ，代入 得 ， ∴ 第二个点为 . 因此过和作直线即可（答案不唯一）. 4．画出函数的图象． (1)列表：下表是与的几组对应值，请补充完整． … -2 -1 0 1 2 … … -3 3 … (2)描点、连线：在如下平面直角坐标系中，画出函数的图象．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把的取值代入函数解析式，计算求出对应的函数值补全表格； （2）根据表格坐标描点，再用直线连接各点画出一次函数图象． 【详解】（1）解：补充表格如下： … 0 1 2 … … 1 3 5 … （2）解：描点、连线，函数图象如图所示：    5．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为，底边长为． (1)求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围． (2)在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的周长即可建立函数解析式，再由三边关系以及边长为正建立不等式求解自变量的取值范围即可； （2）根据两点确定图象即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 由，得， 又， ∴， 故， ∴（）； （2）略 一次函数的增减性题型06 1．下列函数中，y的值随x的值增大而增大的是（ ） A．y= -3x B．y=2x - 1 C．y= -3x+10 D．y= -2x+1 【答案】B 【详解】解答： A. y= -3x，y随增大而减小， B. y=2x - 1 ，y随增大而增大， C. y= -3x+10，随增大而减小， D. y= -2x+1，随增大而减小. 故选B. 【点睛】本题考查函数值随自变量变化的规律，熟练掌握正比例函数和一次函数的性质是解题的关键. 2．如图，一个函数的图象由射线BA、线段BC、射线CD组成，其中点A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），则此函数(    ) A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数图象和各点坐标，可得出各段中函数图象的变化情况，即可得答案． 【详解】∵A（-2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5）， ∴由图象可知：当x＜1时，y随x的增大而增大， 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小， 当x＞2时，y随x的增大而增大， 故选：C． 【点睛】本题考查分段函数的图象及函数的增减性，正确得出对应的横坐标的取值范围是解题关键． 3．已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，的值随的增大而增大，把代入函数式计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴时，取最大值，， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽池州·月考）已知直线与轴的正半轴相交，随的增大而增大，且为整数． （1）________； （2）若，则的取值范围为________． 【答案】 2 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． （1）根据一次函数的图象与系数的关系得出关于的不等式组，求出的取值范围再根据是整数求出的值． （2）根据当时，直线的函数表达式为．所以随的增大而增大，再根据求出的范围． 【详解】解：（1）根据一次函数的性质，由题意可得 解得． 又因为是整数， 所以． 故答案为：2 （2）当时，直线的函数表达式为． ∵， ∴随的增大而增大， 当时，； 当时，， 故当时，的取值范围为． 故答案为： 5．已知关于的一次函数． (1)若随的增大而减小，求的取值范围； (2)若，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，一次函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）根据一次函数的图象及性质可得，解不等式即可； （2）由得：，当时，，当时，，根据随的增大而增大，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：∵， ， 当时，， 当时，， ∵随的增大而增大， ∴当时，求的取值范围为：． 求一次函数的解析式题型07 1．若正比例函数的图象经过点，则a的值为（    ）． A． B．2 C．0.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征：函数图象经过点，则该点的坐标满足函数解析式；据此解答即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 即； 故选：B． 2．在正比例函数的图象上有两点，，则该函数图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两点在正比例函数图象上，坐标满足函数解析式，先代入两点坐标列方程求出的值，得到函数解析式，再判断选项中的点是否满足解析式即可． 【详解】解：∵点，都在正比例函数的图象上， ∴将两点坐标代入解析式得， 把代入，得， 解得， ∴正比例函数的解析式为， 即点的横纵坐标相等，选项中只有满足横纵坐标相等， 因此该函数图象一定经过点． 3．某一次函数的图象经过点，且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出一个且经过的一次函数解析式即可． 【详解】解：∵函数y随x的增大而减小， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴函数图象与y轴的交点的纵坐标为2，即， ∴符合条件的函数解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的定义，理解一次函数的性质是解题的关键． 4．一次函数，当时，对应的y的值为，则的值为__________． 【答案】或##或 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数关系式，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．由一次函数的性质，分和时，再根据待定系数法求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由一次函数的性质知，当时，y随x的增大而增大， 将和代入，得， 解得， 则； 当时，y随x的增大而减小， 将和代入，得， 解得， 则； 故的值为或． 故答案为：或． 5．若y与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，x的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x函数关系； （2）把代入计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：设， 把，代入得：， 解得， 即y与x之间的函数关系式为：． （2）解：把代入得：， 解得， 即x的值是． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、求自变量的取值等知识点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 根据一次函数所过象限求参数题型01 1．（24-25八年级上·上海·期末）若正比例函数的图像经过第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，对于正比例函数，当时，函数图像经过第一、三象限，当时，函数图像经过第二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 故选：D． 2．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象经过二、三、四象限得出，求出取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， 解得. 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握k和b与一次函数图像的位置之间的关系是解题的关键．即当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；当，时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；当，时，一次函数的图像经过第一、二、四象限． 3．如果函数（、是常数）的图像不经过第二象限，那么、应满足的条件是_______． 【答案】， 【分析】结合题意，分和两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（、是常数）的图象不经过第二象限， 当，时成立； 当，时成立； 综上所述，，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查函数图象及性质；正确理解题意中给的函数确定和有两种情况是解题的关键． 4．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）已知正比例函数的图象在第二、第四象限，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数定义与性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．首先根据正比例函数的定义可得，，解可得的值，再根据图象在第二、第四象限可得，进而进一步确定的值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：， 图象在第二、第四象限， ， 解得， ． 故答案为：． 5．已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象和性质，列出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：函数图象经过第一、二、四象限， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是根据一次函数的图象和性质列出关于的不等式组． 一次函数图像的平移题型02 1．（24-25八年级上·江苏苏州四·月考）将函数的图像向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移3个单位所得函数的解析式为，即2． 故选：B． 2．若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，然后把点代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，则把点代入得： ，解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键． 3．若将直线向下平移3个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．不经过第一象限 C．随的增大而增大 D．与轴交于点 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象平移，根据平移规律“上加下减”，得到的解析式为，再根据一次函数的图象性质逐一判断即可选出正确答案． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度后得到的解析式为， A、当，，与轴交于点    ，故该选项不正确，不符合题意； B、 ，不经过第一象限，故该选项正确，符合题意； C、 ，则随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     D、当时，，则与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4．将函数的图象向右平移2个单位后，所得图象的函数表达式为________． 【答案】## 【分析】根据直接利用一次函数平移规律“左加右减”的原则求解． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数的图象向右平移2个单位，所得图象的解析式为，即． 故答案是：． 【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______________； (2)观察图象，当时，的取值范围是______________； (3)将直线沿轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，画出函数图象，进而解答即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为点， 画出函数图象，如图， 此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4 （2）解：观察图象，当时，的取值范围是； 故答案为： （3）解：将直线沿轴平移3个单位长度后的直线的函数解析式为， ∴平移后的直线的函数解析式为或． 根据一次函数的增减性求参数题型03 1．若，，，是直线上的两点，当时，有，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x1＜x2时，有y1＞y2，说明y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】时，有，说明随的增大而减小， 则，即， 故选． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，主要分析y随x的变化情况即可． 2．正比例函数的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则的值为（  ） A．2 B．-2 C．-1 D．4 【答案】C 【详解】当x=a时，y=ka， 当x=a+2时，y=k（a+2）， ∵ka-k（a+2）=2， ∴ka-[ka+2k]=2， ∴-2k=2， ∴k=-1， 故选C． 3．已知一次函数，若随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；．据此列不等式解答即可． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴k-1>0， 解得k>1， 故答案是：k>1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 4．若正比例函数，y随x的增大而减小，则m的值是_____． 【答案】﹣2 【分析】根据正比例函数的定义及性质可得，且m-1＜0，即可求出m的值. 【详解】由题意可知： ，且m-1＜0， 解得m=-2. 故答案为-2. 【点睛】本题考查了正比例函数定义及性质．当k＜0时，函数值y随x的增大而减小；当k＞0时，函数值y随x的增大而增大. 5．已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据一次项系数的符号分情况讨论函数的增减性，结合的取值范围确定最小值对应的自变量取值，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 当，即时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 代入解析式得 ， 解得，符合； 综上所述，的值为或 故答案为：或． 根据一次函数的增减性判断自变量范围题型04 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知一次函数，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．分别计算出函数值为1和3所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得， ∵中，，随的增大而增大， ∴当时，自变量的取值范围为． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集． 【详解】解：根据题图可知，该一次函数的随的增大而增大，且点的坐标为， 故当时，． 3．若，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案． 【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1， ∴k＝﹣2＜0 ∵， ∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为， 当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．（25-26八年级下·山东临沂·质检）已知一次函数，与x轴交点为A，与y轴交点为B．请完成下列问题： (1)画出这个函数的图象（直接在图中描点、连线，并标注出点A与点B） (2)直接写出A，B两点的坐标：A__________，B__________； (3)观察图象，在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是__________；当时，y的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2)，； (3)；． 【分析】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）分别将、代入函数表达式，求出点A、B的坐标即可； （3）根据第三象限内点的横、纵坐标都小于0，所以结合A点横坐标，确定x的取值区间；根据一次函数中，y随x的增大而增大，将x的两个端点值分别代入函数表达式，得到对应的y值，即可确定y的取值范围． 【详解】（1）略； （2）解：令得：， 解得：， 点的坐标为， 令得：， 点的坐标为； （3）解：第三象限内点满足、， 令， 解得：， 在第三象限内的函数图象的自变量取值范围是； 一次项系数， 随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是． 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，且m为正整数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求x的取值范围， 【答案】(1) (2)一次函数图象，如图所示： (3) 【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于的不等式组，再结合m为正整数即可求解； （2）根据一次函数解析式，描点和连线即可； （3）由函数图象，随增大而减小，令时，，令时，，即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象不经过第三象限， ，解得， m为正整数， ； （2）解：由（1）得一次函数， 令，则；令，则， 一次函数过点和， 在直角坐标系中描出点和，过这两点作直线即可． （3）解：一次函数， 由（2）一次函数图象可知，随着增大而减少， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当时，x的取值范围为． 根据一次函数增减性比较函数值大小题型05 1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， ∵点都在直线上，且，即， ∴． 2．（25-26八年级下·河南南阳·月考）已知点都在直线上，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数解析式判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可得到对应y值的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵三个点的横坐标分别为，且， ∴． 3．关于x的一次函数，当时，y的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，为； 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断出自变量的系数的符号． 4．（25-26八年级下·云南玉溪·期末）一次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是__________．（填“”，“”或“”） 【答案】< 【分析】根据一次函数的性质判断函数的增减性，结合两点横坐标的大小即可推出函数值的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而增大． 点，，满足， ． 5．已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)， 函数图象如图所示， (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 判断两个一次函数的图象位置题型06 1．在平面直角坐标系中，直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据直线y＝2x+3与y＝2x﹣3中的k都等于2，于是得到结论． 【详解】解：∵直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的k值相等， ∴直线y＝2x+3与y＝2x﹣3的位置关系是平行， 故选：B． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，知道两直线的k值相等时两直线平行是解题的关键． 2．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【详解】解：A、若，， ∴一次函数与都是经过一、二、三象限，故A错误； B、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故B正确； C、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故C错误； D、若，， ∴直线与都是经过二、三、四象限，故D错误． 故选：B． 4．（25-26八年级·山东德州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出的值，再根据当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为， ∵时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴， ∴， 当时，正比例函数和一次函数平行，符合题意； 当时，正比例函数和一次函数交点横坐标为， 由题意可得， ， 综上所述，． 5．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知直线． (1)k为何值时，直线过原点； (2)k为何值时，y随x的增大而减小； (3)k为何值时，直线与直线平行． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数的性质及两条直线相交问题， （1）根据一次函数性质，当直线过原点时，则，求出结论即可； （2）根据一次函数性质y随x的增大而减小时，则，求出结论即可； （3）根据两直线平行时，则k的值相等，求出结论即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴ 解得：； （2）解：∵一次函数中y随x的增大而减小 ∴ ∴； （3）解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∴． 两个一次函数的交点问题题型07 1．如果函数和的图象交于点，那么点应该位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据a、b的取值范围，判断出一次函数所过的象限，再根据k的取值范围，判断出正比例函数所过的象限，那么二者所过的公共象限即为点P所在象限． 【详解】解：∵函数y=ax+b(a<0，b<0)的图象经过第二、三、四象限， y=kx(k>0)的图象过原点、第一、三象限， ∴点P应该位于第三象限． 故选C． 2．（2026·广东肇庆·二模）如图，在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象分别记为直线和直线，两直线交于一点，交点的横坐标为3，下列结论正确的是（     ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象经过的象限，确定k、b的正负，根据直线和直线的交点，以及观察图象可得，当时，，从而判断出当时，． 【详解】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，，，∵一次函数的图象过第一、三、四象限，，，，，故A，B选项均不正确；由题图可知，当时，，当时，，∴当时，，故C选项正确，D选项不正确． 3．（25-26八年级·山东潍坊·学情诊断）一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象得出，，，，根据两条直线交点的横坐标为4，得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据函数图象可得：，，，， ∴，，故A、B错误； ∵两条直线交点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故D错误． 4．已知直线与相交于点．当时，，请写出一个满足条件的b的值____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数图像的性质，求出两点，代入求出b的值． 【详解】解：如下图所示，的函数图像为，与轴交点坐标为， 当的图形过点时，满足当时，， 与轴交点坐标为， 观察图象可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 5．若一次函数 y＝ax＋b 的图象与一次函数 y＝mx＋n 的图象相交，且交点在 x 轴上， 则 a、b、m、n 满足的关系式是_____． 【答案】an=bm 【分析】根据轴上点的坐标特征求出y＝x＋b与轴的交点坐标为（，0），然后根据两直线相交将其坐标代入y＝mx＋n中进一步分析求解即可. 【详解】当时，0＝x＋b，解得：， ∴y＝x＋b与轴的交点坐标为（，0）， 将其代入y＝mx＋n中可得：， 整理可得：， 即、b、m、n 满足的关系式为：an=bm． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了一次函数的基本性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 直线围成的图形面积题型08 1．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式得到•||•|m|=6，然后解关于m的绝对值方程即可． 【详解】当y=0时，y=﹣3x+m=0，解得：x，则直线与x轴的交点坐标为（，0）； 当x=0时，y=﹣3x+m=m，则直线与y轴的交点坐标为（0，m），所以•||•|m|=6，解得：m=±6． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 2．如图，P是直线y＝x上一动点，若点A、B的坐标分别为（5，0）、（9，3），则△PAB的面积为 _____． 【答案】． 【分析】设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C，利用割补法求三角形面积=△OPD面积+梯形PDCB面积-△PAO面积-△ABC面积计算即可． 【详解】解：设点P（x, ），过P作PD⊥x轴于D，过B作BC⊥x轴于C， ∴S△PAB=S△OPD+S四边形PDCB-S△OPA-S△ABC， =， =， =， =， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法，掌握图形与坐标，正比例函数性质，图形面积，割补法，整式的乘法是解题关键． 3．在坐标系中画出函数的图象，利用图象分析 (1)函数的图象经过第_____象限，y随x的增大而_____． (2)图象与轴交于点________，与轴交于点_____． (3)函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为____． 【答案】(1)一、二、四，减小 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确求出一次函数与轴与轴的交点是解题的关键． （1）由于，根据一次函数的性质得到函数的图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小； （2）分别令或，可确定直线与坐标轴的交点坐标； （3）利用三角形面积公式进行计算． 【详解】（1）解：， ∴函数的图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小， 故答案为：一、二、四，减小； （2）解：令，则；令，则，解得， 故图象与x轴交于点，与y轴交于点， 故答案为：，； （3）解：如图，，， ，， ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图像； (2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________． 【答案】(1) 一次函数的图像如图： (2)4 (3)点P的坐标是或． 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，一次函数图像与几何变换，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）利用两点画出函数图像； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出点A，点B的坐标，设点P的坐标是，利用三角形面积公式列式求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则． （2）解：令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得；令，则； ，， 设点P的坐标是， 由题意得， 解得或， ∴点P的坐标是或． 5．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 正比例函数的实际应用题型09 1．（2026·湖南衡阳·模拟）在串联电路中，电流处处相等，且满足欧姆定律，现有两个定值电阻，阻值之比，若将它们串联接入同一电路中，则它们两端的电压之比______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∵有两个定值电阻串联接入同一电路中， ∴ ∵， ∴ 2．如图，春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转动．已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，k为常数，n为转速（单位：转/分钟），U为电源电压（单位：），为电枢磁通（单位：）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数．若一台直流电动机在的电压下的空载转数为240转/分钟，则在的电压下，该电动机的空载转速为_____转/分钟． 【答案】720 【分析】根据公式及，为定值，可知与成正比例关系．利用已知条件求出的值，确定与的函数关系式，再代入计算即可． 【详解】解：，且与值一定， 是的正比例函数． 当时，转/分钟， ， ． 当时，． 3．汽车是现在人们出行的重要交通工具，但是汽车在公路上高速行驶会给行人带来很多安全隐患，其原因为汽车在刹车后，车还需要滑动一段距离．经过专业人员多次测试，发现刹车距离y和刹车时的速度有一定的函数关系，相关统计数据如下表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 (1)请求出y关于x的函数关系式． (2)若要求刹车距离小于12米，则车速应该限制在多少以内？ 【答案】(1) (2)车速应该限制在以内 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用，解题时要能读懂题目，理解题意，正确进行计算是关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知y与x满足正比例函数关系，设y关于x的函数关系式为． 将，代入，得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． （2）解：由题意，得，解得：， ∴车速应该限制在以内． 一次函数的对称问题题型01 1．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度，使其与一次函数的图象关于轴对称，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．-4 【答案】A 【分析】先根据一次函数左右平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，再利用关于y轴对称的函数的性质求出关于y轴对称的解析式，对比系数即可求出的值． 【详解】解：将正比例函数的图象向左平移个单位长度，可得平移后的解析式为． ∵平移后的函数图象与的图象关于轴对称， 关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 因此将中的替换为， 即可得到其关于轴对称的解析式． ∴平移后的解析式与为同一个函数， 可得， ∴． 3．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 4．已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 5．已知一次函数． (1)将该函数图象向上平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是________； (2)将该函数图象向左平移2个单位长度，得到的函数图象的解析式是________； (3)该函数关于x轴对称的函数图象的解析式是________； (4)该函数关于y轴对称的函数图象的解析式是________． 【答案】 【分析】（1）函数图象向上平移个单位长度，，； （2）函数图象向左平移个单位长度，原式中的x由替换，变成； （3）该函数关于x轴对称，原式中的y由替换，变成； （4）该函数关于y轴对称，原式中的x由替换，变成. 【详解】（1）解：∵函数图象向上平移3个单位长度， ∴， ∴， 故答案为：. （2）解：∵函数图象向左平移2个单位长度， ∴原式中的x由替换， ∴， 故答案为：. （3）解：∵函数关于x轴对称， ∴原式中的y由替换， ∴ ∴， 故答案为：. （4）解：∵函数关于y轴对称， ∴原式中的x由替换， ∴， 故答案为：. 【点睛】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知左加右减，上加下减的法则，以及关于x轴对称纵坐标互为相反数，关于y轴对称横坐标互为相反数，是解题的关键． 一次函数的规律探究问题题型02 1．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h的值为（    ） t（min） … 1 2 3 4 … h（cm） … 2.4 2.8 3.4 4 … A．2.4 B．2.8 C．3.4 D．4 【答案】A 【分析】根据一次函数的得，每增加一分钟水位上升相同值，即可判断出答案． 【详解】有表格可得：由1 min到2 min上升了0.4 cm，2 min到3 min上升了0.6 cm，3 min到4 min上升了0.6 cm， 故可知错误的数据为， 错误的h的值为2.4． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数，掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆·月考）已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点的横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】先根据题干信息分别得出从，再总结归纳可判断①，②，再由成立，推出矛盾即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ，， ，， ，， ∴，， ，， ，， ， ， ， ， 当，时， ，， ∴，故①符合题意；②不符合题意； ∵若成立， ∴， ∴， ∵第一象限内有一点， ∴，， 结合前面推导：，， ∴， ∴错误，故③不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，轴对称的性质，规律探究，逆推思想的应用，掌握解题方法是解本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别是直线和，过点作轴的垂线交于点···过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点······依次进行下去，点的坐标为___________________． 【答案】 【分析】先根据直线和的函数解析式求出点的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】由题意得：点的横坐标为1 将代入得： 则点的坐标为 由题意得：点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3 将代入得：，解得 则点的坐标为 同理可得：，，， 由此可知，点的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 归纳类推得：点的横坐标为，纵坐标为（其中n为正偶数） 则点的横坐标为，纵坐标为 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、正比例函数的图象，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 4．正方形…按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，已知点，则的坐标是___． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可． 【详解】解：∵点，， ，， 将，代入得，解得：， ∴一次函数解析式为， ， ， 同理， 则， ∴， 故答案为：． 5．分别在同一直角坐标系中画出下列（1）（2）中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处． （1）y=x+1，y=x+1，y=2x+1； （2）y=−x−1，y=−x−1，y=−2x−1． 【答案】 （1）它们的图象如图所示： 都是经过（0，1）的直线； （2）它们的图象如图所示： 都是经过（0，-1）的直线 【分析】根据一次函数的图象是直线，只需确定直线上两个特殊点即可． 【详解】解：（1）直线y=x+1经过（0，1），（-2，0）， 直线y=x+1经过（0，1），（-1，0）， 直线y=2x+1经过（0，1），（-，0）； 都是经过（0，1）的直线； （2）直线y=−x−1经过（0，-1），（-2，0）， 直线y=−x−1经过（0，-1），（-1，0）， 直线y=−2x−1经过（0，-1），（-，0）． 都是经过（0，-1）的直线； 【点睛】本题考查了一次函数的图象的作法，解题的关键是一次函数的图象是直线，确定两点即可画出直线，属于中考常考题型． 一次函数的图象与性质综合题型03 1．（24-25八年级下·湖南·月考）关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，求一次函数的函数值，求一次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可判断函数经过的象限和增减性，据此可判断B、C；求出和时的函数值即可判断A、D． 【详解】解：∵直线l解析式为，， ∴直线l经过第二、三、四象限，且y随x的增大而减小，故B说法正确，C说法错误； 在中，当时，， ∴直线l与y轴交于点，故A说法错误； 在中，当时，， ∴点不在直线l上，故D说法错误； 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）关于一次函数，下列说法正确的有（   ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 将函数整理为，令，得，即函数恒过定点，的横纵坐标都为负，在第三象限，因此函数一定过第三象限，说法正确，故④符合题意； 综上，正确的说法共3个． 3．（24-25八年级下·江苏南通·月考）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，且，则代数式的值为______． 【答案】10 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，求得是解题的关键． 把点代入得，再把因式分解解答即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∵． 故答案为：10． 4．画出函数的图象． … 0 1 … … 1 … (1)根据列表， ． (2)根据列表，在如图所示的平面直角坐标系中描点并连接． (3)点，，中，在函数图象上的点是 （填“”“”或“”）． (4)若点在函数的图象上，求出的值． 【答案】(1) (2) 画出图象如下： (3)C (4)5 【分析】本题考查画一次函数图像，列表，描点，判断点是否在函数上： （1）将值代入求解即可得到答案； （2）根据表描点，连线即可得到答案； （3）将点代入求解，比较判断即可得到答案； （4）将点代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴ 故答案为： （2）略 （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴点C在函数图象上，点A、B不在函数图象上， 故答案为：C （4）解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：． 5．如图，为正比例函数的图像上一点，轴，垂足为． (1)求的值． (2)①点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动设运动时间为．过点作交直线于点，若，求的值． ②在点的运动过程中，是否存在这样的，使得为等腰三角形．若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形 【分析】（1）把代入求解即可得到结论； （2）①根据两点之间距离公式得到，再由全等三角形的性质得到．分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，列方程求解即可得到结论；②由等腰三角形性质，分三种情况讨论：若；若；若，列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在正比例函数的图象上， ∴把代入，得， ∴的值为； （2）解：①由（1）知， ∴， ①若，则． 当点在线段上时，如图所示： 得，即，解得； 当点在线段的延长线上时，如图所示： 得，即，解得； 综上所述，的值是或； ②若，如图所示： 则点在的垂直平分线上， ， ，即， 此时， ∴； 若，如图所示： 在中，，， ，即， ∴； 若，过点作于点，如图所示： 由等面积法确定， 在中，，，则由勾股定理可得， 则由等腰三角形三线合一性质可知，，即， ∴． 综上所述，当的值为2.5或4或6.4时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了正比例函数的综合题，涉及正比例函数图象与性质、两点之间距离公式、勾股定理、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 探究新函数的图象与性质题型04 1．某学习小组在探究函数的图象时，得到了如下数据： -2 -1 0 1 2 3 1 2 4 8 根据表格中的数据，画出此函数的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先从表格读取函数上的点，判断函数增减性，结合点坐标依次排除错误选项． 【详解】解：由表可知，当时，， ∴图象过点，排除C、D 又∵随的增大而增大， ∴图象呈上升趋势，排除B， 故选：A． 2．已知函数 （1）填写下列表格． x … 0 1 2 … … 7 1 7 … （2）并在给定的直角坐标系中用描点法画出函数的图像． 【答案】 （1）填表如下： x … 0 1 2 … … 7 1 -1 1 7 … （2）如图所示： 【分析】（1）根据函数表达式，将给定的x值代入计算，从而填表； （2）根据表格中的数据，描点，再用平滑的曲线连接即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=-1；当x=1时，y=1， （2）略 【点睛】本题考查了函数的图像，求函数值，属于基础题，解题的关键是画图时注意要用平滑的曲线连接各点． 3．综合实践：学习 “一次函数” 时，我们从 “数” 和 “形” 两方面研究一次函数的性质，请运用积累的经验和方法对函数 的图像与性质进行研究，并解决相关问题： ... 0 1 2 3 ... ... ____ 3 1 ____ ... (1)初步感知：补全表格中横线部分的数据，并用描点法在图1所给的平面直角坐标系中画出函数 的图像；    (2)探究性质：观察函数 的图像，判断下列关于该函数性质的命题：①当 时， 的值随 的值增大而减小；②当 时，；③该函数存在最小值，最小值为3；④该函数图像是轴对称图形．其中正确的是 ____ ．（请写出所有正确命题的序号） (3)观察图像，当 时， 的取值范围是 ____． 【答案】(1)补全表格如下： ... 0 1 2 3 ... ... 1 3 1 ... 用描点法在图1所给的平面直角坐标系中画出函数 的图像如下：    (2)①④ (3) 【分析】（1）当 时 ，当 时 ，然后填表，再描点连线画出图象即可； （2）结合图象逐一判断四个说法的正误即可； （3）首先结合函数图象判断当 时存在函数最大值，进而再求得 和 时对应的y的值比较最小值即可得出y的取值范围． 【详解】（1）解：表格数据： 当 时 ； 当 时 ； （2）解：① 时 ，y随x增大而减小，正确； ② 时， ，解得或，错误； ③函数最大值为3，无最小值，错误； ④对称轴为， 是轴对称图形，正确． 故选：①④； （3）解：当 时 ， 当 时 ， 当 时 ， 结合函数图象可得，当 时， 的取值范围是 ． 4．请用已学过的方法研究一类新函数y＝k|x﹣b|（k，b为常数，且k≠0）的图象和性质： (1)完成表格，并在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|的图象； x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 2 1 0 1 2 4 (2)点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上． ①若y1＝y2，则m的值为 ； ②若y1＜y2，则m的取值范围是 ； (3)结合函数图像，写出该函数的一条性质． 【答案】(1) 列表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点、连线，画出函数y＝|x﹣2|图象如图： (2)①；②m>1； (3) 对于函数y＝k|x−b|，当k＞0时，函数值y先随x的增大而减小，函数值为0后，再随x的增大而增大． 【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可； （2）观察图形，根据图象的性质即可得到结论； （3）结合（2）中图象的性质，即可得到结论． 【详解】（1）解：略． （2）解：点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上， 观察图象：y＝|x﹣2|图象关于直线x=2对称，且当x>2时，y随x增大而增大，当x<2时，y随x增大而减小，而m+2>m， ①若y1＝y2，则m+2-2=2-m，解得m=1； ②若y1＜y2，则m>1， 故答案为：1，m>1； （3）解：略． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 5．小明同学根据函数的学习经验，对函数y＝|x﹣2|+|x+4|进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知当x＝﹣4时，|x+4|＝0；当x＝2时，|x﹣2|＝0，化简： ①当x＜﹣4时，y＝　 　； ②当﹣4≤x≤2时，y＝　 　； ③当x＞2时，y＝　 　． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的一条性质：　 　． （3）根据上面的探究解决下面问题： 已知P（a，0）是x轴上一动点，A（﹣4，6），B（2，6），则AP+BP的最小值是 　 　． 【答案】（1）①﹣2﹣2x；②6；③2x+2；（2）函数图象关于直线x＝﹣1对称；（3）6 【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可； （2）画出函数图象，则易得一条函数性质； （3）P（a，0）位于对称轴上时，AP+BP有最小值． 【详解】解：（1）∵x＝﹣4时|x+4|＝0；x＝2时|x﹣2|＝0 ①当x＜﹣4时，y＝2﹣x﹣x﹣4＝﹣2﹣2x； ②当﹣4≤x≤2时，y＝2﹣x+x+4＝6； ③当x＞2时，y＝x﹣2+x+4＝2x+2； 故答案为：﹣2﹣2x；6；2x+2． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣2|+|x+4|的图象，如图所示： 根据图象，该函数图象关于直线x＝﹣1对称． 故答案为：函数图象关于直线x＝﹣1对称； （3）作点A关于 轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于P点，此时AP+BP的值最小，为A′B的长， 根据上面的探究可知：点A的坐标为（-4，6），B（2，6），则点（-4，-6）， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上的点的坐标特点，及绝对值的化简，数形结合是解题的关键． 动点问题与函数图象题型05 1．（24-25八年级下·河北衡水·月考）如图，在中，，点P从点B开始沿射线向右移动，设的长为x，，的面积分别为S，，若，则y与x的函数图象大致是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长为a，分别表示出S，，进而得到y与x之间的函数关系式，即可得到相关是函数图象． 本题考查动点问题的函数图象．设长为a，得到y与x之间的函数关系式是解决本题的关键． 【详解】解：设长为a，则 ，， ， 是x的正比例函数， 当时，， 故选：C 2．如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，则 由图可得，当直线经过点时，，， 当直线向右平移经过点时，与相交于点， 此时，由图可得，，， ∴，， ∵直线与轴的夹角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 3．（1）画出函数的图象． （2）设是x轴上的一个动点，它与x轴上表示的点的距离为y．求y关于x的函数解析式，并画出这个函数的图象． 【答案】 （1）函数图象如图： （2），函数图象如图： 【分析】（1）先列表，然后画出函数图像即可； （2）先根据题意求出函数解析式，然后列表，最后画出函数图像即可 【详解】解：（1）由题意得：y=|x-1|，即y； x 1 2 y=x-1 0 1 x 0 1 y=-x+1 1 0 （2）由题意得：y=|x-（-3）|=|x+3|，即y； x -3 -2 y=x+3 0 1 x -4 -3 y=-x-3 1 0 【点睛】本题主要考查函数及其图像，掌握函数图象的画法是解题的关键． 4．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动（点不与重合），设运动时间为秒，的面积为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合你所画的函数图象，直接写出当时的值．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2) 画图如下： 当时，S随t的增大而减小；当时，S随t的增大而增大． (3)1或 【分析】（1）根据，为中点，得到，根据题意，得，当时，；当时，；解答即可． （2）根据两点确定一条直线，画图即可，根据图象，写出一条性质即可； （3）根据两种解析式，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴， 根据题意，得， 当时，； 当时，； 综上所述，． （2）略 （3）解：当时，根据题意，得， 解得； 符合题意； 当时，根据题意，得， 解得； 符合题意； 故t的值 1或． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，画函数图形，获取函数的性质，分类计算，函数的解析式，熟练掌握性质，解析式是解题的关键． 一次函数新定义问题题型06 1．（25-26下·陕西榆林·期中）若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】## 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 3．规定：是一次函数（a，b为实数，且）的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点所在的象限是第_________象限． 【答案】二 【分析】根据题意得出，，求出，求出为，即可得出答案． 【详解】解：∵“特征数”为的一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， ∵y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵在第二象限， ∴在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且M、N关于x轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点M或点N的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①若函数与函数不具有“对偶关系”，则； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”，则． 其中正确的序号是______． 【答案】①④ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据“对偶关系”的定义，点M和点N关于x轴对称，因此横坐标相同，纵坐标互为相反数．逐一分析各结论是否正确． 【详解】解：①若函数和不具有“对偶关系”， ∴方程无解， ∴方程无解， ∴且，故①正确； ②∵函数与函数 ∴当时， 解得 ∴将代入， ∴函数与函数的“对偶值”为1或，故②错误； ③若“对偶值”为， ∴或， ∴将代入得， ，解得， 将，代入得，，无解，不符合题意； ∴将代入，得， 解得， ∴将，代入，得， ∴，故③错误； ④ 当时， ∴函数经过定点， ∵无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”， ∴函数经过点， ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①④． 5．直线与轴、轴分别交于点，无论取何值，直线经过定点． (1)请直接写出定点的坐标； (2)定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种变换称为“兔变换”，当时，点，经过“兔变换”后的对应点分别是，若轴，点在轴上，求； (3)在（2）的条件下，点在轴上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)定点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）将直线化为，即可得到答案； （2）由点经过“兔变换”后对应的点为，可求出的值，再求出的坐标，最后根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出点的坐标，设，则，再由，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 出定点的坐标为； （2）解：当时，， 当时，， ， 点经过“兔变换”后对应的点为， ， 解得：， 点经过“兔变换”后的对应点为，点经过“兔变换”后的对应点为， ， ， ， ， 点在轴上， ， ，， ， 画出草图如图所示： ， ； （3）解：由（2）得，， 当时，， 解得：， ， 点在轴上， 设， 画出草图如图所示： ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式，读懂题意，正确理解“兔变换”是解题的关键． 一次函数图象过定点问题题型07 1．（24-25八年级下·广西来宾·期末）一次函数的图象一定经过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：一次函数， 当时，， 一次函数的图象一定经过定点的坐标是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知直线经过一定点，则定点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了恒过定点的直线，对直线解析式进行参数分离是解题的关键．将直线整理为，代入可得，即可求出定点坐标． 【详解】解：， 当，即时，， 直线恒过定点， 定点的坐标是． 故答案为：． 3．若关于的方程的解为，则的图象一定经过点______． 【答案】 【分析】先将代入中可得，再代入中可得，此时可发现当时，k无论取什么值，y=5，由此可得函数一定经过． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，即， ∴，即， 当时，k无论取什么值，y=5， ∴函数的图象一定经过． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．解决此类问题的关键是替换掉一个常量，然后将函数变形后，找出自变量x取某值时，另外一个常量无论怎么变化都不改变因变量y的值，此时（x，y）就是一定经过的点． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $