4.2认识一次函数（分层作业，7大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 4.2 认识一次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的概念 题型02 一次函数的定义 题型03 求一次函数的函数值 题型04 求一次函数的函数关系式 题型05 列一次函数关系式并求值 B组 能力进阶 题型 求一次函数中的参数 C组 思维拔高 题型 新定义一次函数问题 正比例函数的概念题型01 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数是正比例函数，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是一次函数但不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项符合题意； D、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 【答案】A 【分析】本题考查了正比例和反比例，两个量比值一定成正比例，乘积一定成反比例，据此判断即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：、工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例关系，该选项说法错误，符合题意； 、圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系，该选项说法正确，不合题意； 、速度一定，路程与时间成正比例关系，该选项说法正确，不合题意； 、单价一定，总价与数量成正比例关系，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 4．下列各组的两个变量之间，成正比例的是（    ） A．矩形的面积和它的一条边长 B．圆的半径与它的面积 C．工作效率一定，工作量与工作时间 D．路程一定，速度与时间 【答案】C 【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，逐项判断即可. 【详解】解：A、矩形的面积S=ab，只有其中一边a为常量，面积S与另一边b成正比，根据题意，a不是常量，所以矩形面积和它的一条边长不成正比例，故本选项错误； B、圆的面积S=πr2，S与r不成正比例，故本选项错误； C、设工作效率为a(a为常量,a≠0)，工作量为s，工作时间为t，则s=at (a为常量,a≠0)，所以s与t是正比例函数，故本选项正确； D、设路程为s (s为常量,s≠0)，速度为v，时间为t，则 (s为常量,s≠0)，所以v与t不是正比例函数，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意列出表达式判断其是否符合正比例函数定义的条件是解答本题的重要途径. 5．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积y随半径x的变化而变化．其中y与x的函数关系是正比例函数的是_____（只需填写序号）． 【答案】② 【分析】根据题意分别写出三个问题中与的函数关系式，结合正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：①根据题意可得y与x的函数关系式为，即，它是一次函数，不是正比例函数． ②根据题意可得y与x的函数关系式为，它是正比例函数． ③根据题意可得y与x的函数关系式为，它不是正比例函数． 综上所述，y与x的函数关系是正比例函数的是②． 6．下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1) (2) (3) 【答案】(1)不是正比例函数 (2)不是正比例函数 (3)是正比例函数，正比例系数是2 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的一般形式为判断即可． （1）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （2）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （3）先去括号化简，根据正比例函数的一般形式为判断即可． 【详解】（1）解：不是正比例函数． （2）解：不是正比例函数． （3）解：，是正比例函数，正比例系数是2． 一次函数的定义题型02 1．函数①；②；③；④；⑤，是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如是常数）的函数，叫做一次函数．据此对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①符合一次函数的一般形式，是一次函数； ②符合一次函数的一般形式，是一次函数； ③不符合一次函数的一般形式，不是一次函数； ④符合一次函数的一般形式，是一次函数； ⑤不符合一次函数的一般形式，不是一次函数； 所以，是一次函数的有3个． 故选：C． 2．下列说法中正确的是　　(　　) A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数 【答案】D 【分析】根据正比例函数与一次函数的关系，正比例函数是一种特殊的一次函数，可得答案． 【详解】A.一次函数不一定是正比例函数，故本选项说法错误； B.正比例函数是一次函数，故本选项说法错误； C.不是正比例函数，但有可能是一次函数，故本选项说法错误； D.不是一次函数就不是正比例函数，故本选项说法正确. 故选D. 【点睛】本题考查一次函数的定义， 正比例函数的定义，灵活掌握定义是解题的关键. 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（   ） A． … … … … B． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … C． x … 1 2 3 … y … 4 6 12 … D． x … 0 1 2 … y … 0 1 8 … 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的判断． 根据表格中函数值的均匀变化，进行判断即可． 【详解】解：A、y随着x的增大而减小，且自变量每增加1，函数值减小3，均匀变化，是一次函数，符合题意； B、y随着x的增大先减小后增大，不是一次函数，不符合题意； C、y随着x的增大先增大后减小再增大，不是一次函数，不符合题意； D、y随着x的增大而增大，但变化不均匀，不是一次函数，不符合题意； 故选：A． 4．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义：一次函数中：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：一次函数的一次项系数为3，常数项不为0． ∴即可， 故答案为：（答案不唯一）． 5．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数． 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义，即可求解． 【详解】解：（1）是正比例函数，也是一次函数； （2）自变量在分母中，不是一次函数，也不是正比例函数； （3）自变量的次数是2，不是一次函数，也不是正比例函数； （4）是一次函数，不是正比例函数． 所以（1）（4）是一次函数，（1）是正比例函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握形如 （k、b为常数，且 ）的形式的函数是一次函数，当 时，一次函数 （k、b为常数，且 ）变为 ，此时的函数称为正比例函数是解题的关键． 6．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】 解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】略 求一次函数的函数值题型03 1．已知与满足关系式，当时，的值是（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查求函数自变量的值，将代入，得，解方程可求出的值 【详解】解：∵与满足关系式，且， ∴， 解得，， 故选：C 2．（2025·福建厦门·模拟）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 3．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 【答案】17 【分析】把代入解答即可． 【详解】解：把代入得： ， 即当温度时，电阻． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 6．已知函数是关于的一次函数，则为何值时，的值为2？ 【答案】当时，的值为2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1，可得一次函数解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：由题意，得，， 解得：， 把代入， 该一次函数是， 当时，， 解得：， 当时，的值为2． 求一次函数的函数关系式题型04 1．把方程改写成y关于x的一次函数形式，得________________，其中__________，__________． 【答案】 -2 3 【分析】此题考查将二元一次方程通过恒等变形变为一次函数关系式的题目，实质就是用含有其中一个字母的式子表示另一个字母的问题，注意化成所求函数的标准形式． 将方程通过移项变形，得到关于的一次函数表达式即可． 【详解】解：由方程，移项得， 即，这是一次函数的一般形式， 其中， 故答案为：；；． 2．（24-25八年级上·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义：形如（为常数，且）叫正比例函数，列出表达式，化简即可得出答案． 【详解】解：与成正比例，且比例系数是， ， 整理可得：， 与的函数关系式为， 故答案为：． 3．已知与成正比,且当时, ，则y与x的关系式是_______. 【答案】y= -2x-4 【分析】由与成正比例可设=k（）（k≠0），代入时, 即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】∵与成正比， ∴设=k（k≠0）． ∵当时, ， ∴-6-2=k（1+3）， 解得：， ∴ ∴y与x的关系式为y= -2x-4 故答案为y= -2x-4. 【点睛】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键． 4．已知长方形的周长为30cm，它的长为xcm，宽为ycm，则y与x之间的函数关系式为________________，该关系式________（填“是”或“不是”）一次函数． 【答案】 是 【分析】本题考查列一次函数关系式，明确长方形的周长公式是解决本题的关键． 利用长方形周长公式建立方程，求解关于的函数表达式，并根据一次函数的定义进行判断． 【详解】解：长方形的周长为， 化简得，即． 该函数关系式为，符合的形式，其中，因此是一次函数． 故答案为：；是． 5．已知函数y＝(k＋5)xk2－24是关于x的正比例函数，则表达式为________． 【答案】y＝10x 【详解】由正比例函数的定义得：解得k=5， 所以函数表达式为：y＝10x， 故答案为y＝10x. 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数，设，将，代入即可求解． 【详解】解：y与成正比例， 设， 当时，， ， 解得， ， 故y与x之间的函数解析式． 7．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 【答案】，y是x的一次函数 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键．剩余油量等于存油减去耗油量即可求出函数解析式，根据一次函数定义进行判断即可． 【详解】解：油箱剩余油量， 当时，， 解得：， ∴， 符合一次函数定义，因此y是x的一次函数． 列一次函数关系式并求值题型05 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】总金额等于购买饮水机的总费用加上固定的一次性安装费． 【详解】解：∵每台饮水机800元，购买台饮水机的费用为元，安装费为一次性固定收取1000元， ∴总金额与购买台数之间的关系式为． 2．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可． 【详解】解：∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵， ∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系． 3．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 【答案】B 【分析】根据已知列函数式，再根据三角形三边的关系确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵2x+y=20， ∴y=20-2x，则20-2x＞0， 解得：x＜10， 由两边之和大于第三边，得x+x＞20-2x， 解得：x＞5， 综上可得：y=20-2x（5＜x＜10） 故选B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键． 4．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 【答案】64 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 5．已知某汽车油箱中剩余油量y（升）与汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶120（千米）后油箱中剩余油量为_______． 【答案】40升 【分析】求出每千米的耗油量，根据题意可写出y和x的函数关系式，求出x＝120时y的值即可． 【详解】解：根据题意得每千米的耗油量为：（100−70）÷60＝升， ∴行驶x（千米）后油箱中的剩余油量y＝100−x， 当x＝120时，y＝100−×120＝40升， 故答案为：40升． 【点睛】本题考查根据实际问题列函数关系式，关键是理解题意，能够求出每千米的耗油量． 6．（24-25八年级上·广西梧州·月考）已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、求函数值等知识点，理解题意并熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）知， 当时，． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2) 解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）略 8．“五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人时，超过部分每人20元． (1)写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； (2)若小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，则该旅游团共有多少人． 【答案】(1)（x为整数） (2)旅游团共有50人 【分析】（1）当时，票价是每人30元，则，当时，超过部分每人20元，则此时的门票费为：； （2）根据花费为元，，据此可以判断人数超过25人，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：当时，票价是每人30元 ∴； 当时，超过部分每人20元， ∴， ∴综上所述：（x为整数）； （2）解：∵小明一家所在的旅游团购门票花了1250元， ∴， ∴旅游团人数超过25人， ∴， 解得， ∴该旅游团共有50人． 答：该旅游团共有50人． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 求一次函数中的参数题型 1．（24-25八年级下·福建莆田·质检）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数作答即可． 【详解】∵y关于x的函数是正比例函数， ∴ 故选：B 2．若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可得|m-2|=1且m-3≠0，由此求解即可得答案. 【详解】∵y=(m-3) +3是一次函数， ∴|m-2|=1，m-3≠0. ∴m=1． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点． 3．已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得：y=kx+b，y-2=k（x+3）＋b，两式相减可得2=−3k. 【详解】由题意得：y=kx+b，y-2=k（x+3）＋b，两式相减得2=-3k， ∴k=-． 故选D 【点睛】本题考核知识点：一次函数的值. 解题关键点：理解函数值的意义. 4．如果函数是正比例函数，那么的值为__________． 【答案】 【分析】根据自变量的次数为1，系数不等于0求解即可； 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴m2-1=1，且， 解得 m=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数． 5．当________时，函数是以为自变量的一次函数 【答案】0或 【分析】考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．同时考查了分类思想的运用． 根据一次函数的定义，令且或，两种情况讨论即可求得的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得：； 或， 解得：． 综上可知当或时，函数是以为自变量的一次函数． 故答案为：0或． 6．关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由一次函数的意义知， 解得：． 当，为任意实数时，函数是关于的一次函数． （2）解：由正比例函数的意义知， 解得：，． 当，时，函数是关于的正比例函数． 7．若函数y＝(2k－5)x＋(k－25)为正比例函数，求的值． 【答案】 【详解】∵函数为正比例函数， ∴ ，解得：， ∵，，，， ∴， =， =， =， =. 新定义一次函数问题题型 1．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一次函数综合题，属于新定义类题目，需要理解新定义，将姐妹点代入解析式即可求解； 【详解】解：设姐妹点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故选D． 2．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则称像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 【答案】B 【分析】把一次函数 整理为，再令，求出y的值即可． 【详解】解：一次函数整理得 ， ∴令，则， ∴， ∴它的图象一定经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 3．对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 4．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 5．（25-26八年级上·江西九江·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的定义，判断点所在的象限．根据新定义，关联数对应一次函数的系数，正比例函数要求常数项为零，从而求出m的值，再代入点的坐标进行判断该点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴， 解得， ∴ 则点坐标为， ∴点在第二象限． 故答案为：二 6．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 7．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 认识一次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 正比例函数的概念 题型02 一次函数的定义 题型03 求一次函数的函数值 题型04 求一次函数的函数关系式 题型05 列一次函数关系式并求值 B组 能力进阶 题型 求一次函数中的参数 C组 思维拔高 题型 新定义一次函数问题 正比例函数的概念题型01 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法不正确的是（　　） A．工作效率一定，工作总量与工作时间成反比例关系 B．圆柱的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 C．速度一定，路程与时间成正比例关系 D．单价一定，总价与数量成正比例关系 3．下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各组的两个变量之间，成正比例的是（    ） A．矩形的面积和它的一条边长 B．圆的半径与它的面积 C．工作效率一定，工作量与工作时间 D．路程一定，速度与时间 5．下列问题，①某登山队大本营所在地气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积y随半径x的变化而变化．其中y与x的函数关系是正比例函数的是_____（只需填写序号）． 6．下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1) (2) (3) 一次函数的定义题型02 1．函数①；②；③；④；⑤，是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的是　　(　　) A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数 3．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列表格所反映的函数关系中，y是x的一次函数的为（   ） A． … … … … B． x … 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … C． x … 1 2 3 … y … 4 6 12 … D． x … 0 1 2 … y … 0 1 8 … 4．写出一个系数为3，常数项不为0的一次函数是________． 5．下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 6．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 求一次函数的函数值题型03 1．已知与满足关系式，当时，的值是（    ） A．3 B．5 C． D． 2．（2025·福建厦门·模拟）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 3．小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间满足函数关系式，当温度时，电阻______． 4．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 5．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 6．已知函数是关于的一次函数，则为何值时，的值为2？ 求一次函数的函数关系式题型04 1．把方程改写成y关于x的一次函数形式，得________________，其中__________，__________． 2．（24-25八年级上·上海·期中）若与成正比例，且比例系数是，则与的函数关系式为_______． 3．已知与成正比,且当时, ，则y与x的关系式是_______. 4．已知长方形的周长为30cm，它的长为xcm，宽为ycm，则y与x之间的函数关系式为________________，该关系式________（填“是”或“不是”）一次函数． 5．已知函数y＝(k＋5)xk2－24是关于x的正比例函数，则表达式为________． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知y与成正比例，且当时，．求出y与x之间的函数解析式． 7．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一辆货车的油箱中有油，这辆货车每行驶耗油，写出这辆货车的油箱中剩余的油量与行驶的路程之间的关系式及x的取值范围，并判断y是否为x的一次函数． 列一次函数关系式并求值题型05 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）阳光中学计划为每个班级配智能饮水机，为学生提供健康直饮水，若每台饮水机800元，安装费一次性收取1000元，则所需总金额（元）与购买台数（台）之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是(    ) A．y=20-2x(0＜x＜10) B．y=20-2x(5＜x＜10) C．y=10-x(5＜x＜10) D．y=10-0.5x(10＜x＜20) 4．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 5．已知某汽车油箱中剩余油量y（升）与汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，油箱中原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶120（千米）后油箱中剩余油量为_______． 6．（24-25八年级上·广西梧州·月考）已知y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当时，求y的值． 7．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 8．“五一”假期，小明一家将随团到某风景区旅游，集体门票的收费标准是：25人以内（含25人），每人30元；超过25人时，超过部分每人20元． (1)写出应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的关系式； (2)若小明一家所在的旅游团购门票花了1250元，则该旅游团共有多少人． 求一次函数中的参数题型 1．（24-25八年级下·福建莆田·质检）若y关于x的函数是正比例函数，则m应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 3．已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是(     ) A． B． C． D． 4．如果函数是正比例函数，那么的值为__________． 5．当________时，函数是以为自变量的一次函数 6．关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 7．若函数y＝(2k－5)x＋(k－25)为正比例函数，求的值． 新定义一次函数问题题型 1．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．一次函数中，当时，可以消去，求出结合一次函数图象可知，无论取何值，一次函数的图象一定过定点，则称像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（  ） A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3） 3．对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 4．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 5．（25-26八年级上·江西九江·期中）新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第______象限． 6．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 7．新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $