19.3 函数的表示（题型专练）（基础达标5大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

19.3函数的表示（答案版） 题型一 实际情境与函数解析式 1．C 2．D 3．C 题型二 函数的三种表示方法 4．D 5．B 6．A 题型三 实际问题中自变量的取值范围 7．【解析】（1）由题意得：且均为整数， ∴，自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18． （2）不能摆成正方形． 理由如下： 当摆成正方形时，得，则求出（负值已舍去），不能使其边长为正整数． 8．【解析】（1）解：当时，，表示当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米； 当时，，表示当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米． （2）解：因为人类短跑速度的最大值小于16米/秒，所以当时，函数值无意义． 9．【解析】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 题型四 自变量与函数的值 10．8 11．【解析】（1）解：根据题意得，； （2）当时，； 如果邮寄包裹的质量为7.8千克，邮寄的总费用为25.4元； （3）当时，； 如果邮寄包裹的总费用为30.8元，邮寄包裹的质量为9.6千克. 12．【解析】（1）解：由题意，小正方形的边长是自变量， 阴影部分的面积为自变量的函数； （2）由题意可得：； （3）由（2）知：， 当时，． 当时，． ， ∴当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积减小，减小了． 题型五 从函数图像中获取信息 13．D 14．【解析】（1）解：由函数图象可知： ①横轴表示甲、乙行驶的时间，纵轴表示甲、乙行驶的路程， 故答案为：甲、乙行驶的时间，甲、乙行驶的路程； ②图中乙的函数图象是①， 故答案为：①； ③乙的终点坐标是，甲、乙函数图象的交点的坐标是，该点表示的实际意义是甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； 故答案为：，，甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； （2）解：由函数图象可知： 乙到达点时距地还有千米， 故答案为：； （3）解：甲的行驶速度为： （千米小时）， 乙的行驶速度为： （千米小时）． 15．【解析】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 1．D 2．A 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．3 10.y=x+2x-2（x≥2） 11. 【解析】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)， 剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为； （2）解：当时，（升）． 答：当 (千米)时，油量的值为27升． （3）解：能，理由如下：(千米)， ， 他们能在汽车报警前回到家． 12.【解析】（1）解：∵票价为每人2元（不考虑任何优惠），每月有x人乘坐该公交车， ∴收入为元， ∵公交车每月的支出费用为7000元，且每月的收入与支出的差额为y元， ∴； （2）解：结合，列表如下： 3000 3300 3600 3900 4200 4500 200 800 1400 2000 （3）解：∵该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟． ∴每天往返次数为：（次）， 则一个月往返次数为：（次）， 设该公交车每次往返平均需乘坐人， 则， 解出， ∴每个往返平均有24人乘坐，该公交车的盈利可达到3080元． 1．-1 2．【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3 函数的表示 题型一 实际情境与函数解析式 1．（25-26河北邯郸）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A．自变量是茶叶的单价 B．自变量是总价钱 C． D． 【答案】C 【解析】解：A、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； B、自变量是茶叶的重量，原说法错误，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，原关系式错误，故不符合题意； 故选：C． 2．4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意列式：， 故选：D． 3．长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米， 长方形的另一边长为厘米， 长方形的面积， y与x的关系式为． 故选：C． 题型二 函数的三种表示方法 4．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 5．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据表格可知，w与r之间的关系式是， 故选：B． 6．小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故A符合题意； B．加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意； C．参观时路程不变，故C不符合题意； D．返回时路程逐渐减少，故D错误； 故选：A． 题型三 实际问题中自变量的取值范围 7．用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为18． (1)求关于的函数解析式和自变量的取值范围； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 【答案】(1)，自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18 (2)不能摆成正方形，理由见解析 【解析】（1）由题意得：且均为整数， ∴，自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18． （2）不能摆成正方形． 理由如下： 当摆成正方形时，得，则求出（负值已舍去），不能使其边长为正整数． 8．跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验、跳远的距离，根据函数表达式解答下面的问题： (1)分别求当，时的函数值，并说明它们的实际意义． (2)当时，函数值有意义吗？为什么？ 【答案】(1)时，；时，；它们的实际意义分别是：当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米；当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米 (2)时，函数值无意义；理由见解析 【解析】（1）解：当时，，表示当助跑速度为6米/秒时，跳远的距离为3.06米； 当时，，表示当助跑速度为10米/秒时，跳远的距离为8.5米． （2）解：因为人类短跑速度的最大值小于16米/秒，所以当时，函数值无意义． 9．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 题型四 自变量与函数的值 10．（24-25河北沧州）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 【答案】 【解析】解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 11．（24-25河北秦皇岛）由市寄往市的包裹，邮寄标准是元千克，另外，每件收取挂号费元． (1)写出邮寄总费用（元）与包裹质量（千克）之间的函数关系式 (2)如果邮寄包裹的质量为千克，试求邮寄的总费用为多少元 (3)如果邮寄包裹的总费用为元，试求他邮寄包裹的质量为多少千克 【答案】(1) (2)如果邮寄包裹的质量为千克，邮寄的总费用为元 (3)如果邮寄包裹的总费用为元，邮寄包裹的质量为千克 【解析】（1）解：根据题意得，； （2）当时，； 如果邮寄包裹的质量为7.8千克，邮寄的总费用为25.4元； （3）当时，； 如果邮寄包裹的总费用为30.8元，邮寄包裹的质量为9.6千克. 12．（24-25河北唐山）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)减小，减小了 【解析】（1）解：由题意，小正方形的边长是自变量， 阴影部分的面积为自变量的函数； （2）由题意可得：； （3）由（2）知：， 当时，． 当时，． ， ∴当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积减小，减小了． 题型五 从函数图像中获取信息 13．如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①； ②长方形的周长为； ③当时，； ④当时，或3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：对于①，由图可知，点P在线段上运动的时间为， ， 四边形是长方形， ， 所以①正确； 对于②，由图可知，点P在线段上运动的时间为， ， 长方形的周长为， 所以②正确； 对于③，当时，点P在上， ， 所以③正确； 对于④，当时，， 令，则， 解得， 当时，， 当时，点P在上， ， 令，则， 解得， 当时，或3， 所以④正确； 综上所述，正确的个数是4个． 故选：D． 14．甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系如图所示，根据图象解决下列问题： (1)识别函数图象并获取信息： ①看轴：横轴表示____________；纵轴表示_________________； ②看线：图中乙的函数图象是__________（填写序号）； ③看点：乙的终点坐标是___________；甲、乙函数图象的交点P的坐标是_______________，该点表示的实际意义是______________； (2)直接写出乙到达点P时距B地还有__________千米． (3)分别求出甲、乙两人的行驶速度． 【答案】(1)甲、乙行驶的时间，甲、乙行驶的路程 ，，甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲 (2) (3)甲：千米小时，乙：千米小时 【解析】（1）解：由函数图象可知： ①横轴表示甲、乙行驶的时间，纵轴表示甲、乙行驶的路程， 故答案为：甲、乙行驶的时间，甲、乙行驶的路程； ②图中乙的函数图象是①， 故答案为：①； ③乙的终点坐标是，甲、乙函数图象的交点的坐标是，该点表示的实际意义是甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； 故答案为：，，甲出发分钟时在距离出发点千米处乙追上了甲； （2）解：由函数图象可知： 乙到达点时距地还有千米， 故答案为：； （3）解：甲的行驶速度为： （千米小时）， 乙的行驶速度为： （千米小时）． 15．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 【答案】（1）18；（2）；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【解析】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 1．（25-26河北保定）乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解析】解：把代入，得， ∴应付总金额为元， 故选：． 2．（24-25河北衡水）使函数有意义的x的值可能是（      ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 则且， 观察四个选项，使函数有意义的x的值可能是， 故选：A 3．（24-25河北邢台）已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【答案】A 【解析】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在函数中，需满足且， 解得且， 故选：A． 5．（24-25河北邢台）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①符合题意； ②表达式中，y是x的函数，每一个都只有一个与之对应，表述正确，故②符合题意； ③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意； 在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意； 故选：C． 6．在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃； 当x=11时，y=20-11×6=-46℃， ∴y=-6x+20（） 当时，y=-46 根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意． 故答案为：B． 7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【解析】解：∵输入x的值是4时，输出的y的值为7， ∴7=2×4+b， 解得：b=-1， 若输入x的值是2，则输出的y的值是：y=-1×2+3=1． 故选：A． 8．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 【答案】B 【解析】解：A、车抛锚了，车速会迅速下降直至停止，由表知，在10分钟-15分钟，5分钟行驶距离为24-20=4km，15分钟-20分钟，5分钟行驶距离为20-16=4km，20分钟-25分钟，5分钟行驶距离为16-15=1km，此段车速明显下降，而在25分钟-30分钟，这段时间小敏离市中心的距离一直是15 km，表明车停下来了，这段时间朋友把小敏的车用工具固定在自己的车后，因此，说明小敏的车开了15分钟，车抛锚了，故A错误； B、小敏把车放在店里维修需要时间，这段时间小敏离市中心的距离(第二次)不变，由表知，在40分钟- 45分钟，离市中心的距离是12 km，因此，小敏的车在40分钟到了修车店，由表知，从抛锚点到修车店，所花时间为40-30=10(分钟)， 故B正确； C、由B知，修车店在离市中心12 km处， 故C错误； D、由表知，在45分钟-50分钟，5分钟行驶距离为12-8=4 km，50分钟-55分钟，5分钟行驶距离为8-5=3 km，55分钟-60分钟，5分钟行驶距离为5-3=2 km，60分钟-65分钟，5分 钟行驶距离为3-1=2 km，65分钟-70分钟，5分钟行驶距离为1-0=1 km，表明车在离市中心5km处在减速行驶进入市区可能遇红绿灯等候，不一定是堵车，故D错误． 故选B． 9．（24-25河北张家口）自变量与因变量的关系如图，当x增加1时，增加 ． 【答案】3 【解析】解：∵自变量与因变量的关系式为， 当x增加1时，， ∴增加3． 故答案为：3 10．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 【答案】y=x+2x-2（x≥2） 【解析】解：根据题意得： 第1个图：x=2=1+1，y=2+1=1+1+20， 第2个图：x=3=2+1，y=3+2=2+1+21， 第3个图：x=4=3+1，y=4+4=3+1+22， 第4个图：x=5=4+1，y=5+8=4+1+23， … 以此类推：第n个图：x=n+1，y=n+1+2n+1-2， y与x之间关系的表达式是：y=x+2x-2（x≥2）， 故答案为：y=x+2x-2（x≥2）． 11．（24-25河北沧州）小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的函数关系式（不必写出的取值范围）； (2)当时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由． 【答案】(1) (2)27升 (3)能，理由见解析 【解析】（1）解：该车平均每千米的耗油量为(升/千米)， 剩余油量(升)与行驶路程(千米)的关系式为； （2）解：当时，（升）． 答：当 (千米)时，油量的值为27升． （3）解：能，理由如下：(千米)， ， 他们能在汽车报警前回到家． 12．某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元 (1)请直接写出y与x之间的关系式； (2)列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值； (3)该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)每个往返平均有24人乘坐，该公交车的盈利可达到3080元 【解析】（1）解：∵票价为每人2元（不考虑任何优惠），每月有x人乘坐该公交车， ∴收入为元， ∵公交车每月的支出费用为7000元，且每月的收入与支出的差额为y元， ∴； （2）解：结合，列表如下： 3000 3300 3600 3900 4200 4500 200 800 1400 2000 （3）解：∵该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟． ∴每天往返次数为：（次）， 则一个月往返次数为：（次）， 设该公交车每次往返平均需乘坐人， 则， 解出， ∴每个往返平均有24人乘坐，该公交车的盈利可达到3080元． 1．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么 ． 【答案】 【解析】解： ， ， ，令 ，， ， 即 ； ，令 ， ， ，代入得， 解得． 故答案为：． 2．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【解析】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3 函数的表示 题型一 实际情境与函数解析式 1．（25-26河北邯郸）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．某网店内一种茶叶的售价为10元/克，购买克的总价钱为元，下列正确的是（　　） A．自变量是茶叶的单价 B．自变量是总价钱 C． D． 2．4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 3．长方形的周长为24厘米，假设其中一边长为x厘米（其中），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式可以写为（　　） A． B． C． D． 题型二 函数的三种表示方法 4．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 5．下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（　　） 红色瓷砖数量（r） 3 4 5 6 7 白色瓷砖数量（w） 6 8 10 12 14 A． B． C． D． 6．小明和妈妈通过自驾去“花溪十里河滩”游玩，早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“十里河滩”．游玩结束后，他们自驾匀速返回．其中x表示小明和妈妈驾车从贵安新区出发后至回到贵安新区所用的时间，y表示他们离贵安新区的距离，下面能反映y与x的关系的大致图象是（　　　） A． B． C． D． 题型三 实际问题中自变量的取值范围 7．用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为18． (1)求关于的函数解析式和自变量的取值范围； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 8．跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验、跳远的距离，根据函数表达式解答下面的问题： (1)分别求当，时的函数值，并说明它们的实际意义． (2)当时，函数值有意义吗？为什么？ 9．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 题型四 自变量与函数的值 10．（24-25河北沧州）课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则 ． 11．（24-25河北秦皇岛）由市寄往市的包裹，邮寄标准是元千克，另外，每件收取挂号费元． (1)写出邮寄总费用（元）与包裹质量（千克）之间的函数关系式 (2)如果邮寄包裹的质量为千克，试求邮寄的总费用为多少元 (3)如果邮寄包裹的总费用为元，试求他邮寄包裹的质量为多少千克 12．（24-25河北唐山）如图所示，在一个边长为的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形．当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量、自变量的函数各是什么？ (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请写出与的关系式： (3)当小正方形的边长由增大到时，阴影部分的面积是增大还是减小？增大或减小了多少？ 题型五 从函数图像中获取信息 13．如图1，长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿着运动至点A停止，设点P运动的时间为，的面积为，y与x的关系如图2所示，那么下列说法中正确的个数是（　　） ①； ②长方形的周长为； ③当时，； ④当时，或3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的关系如图所示，根据图象解决下列问题： (1)识别函数图象并获取信息： ①看轴：横轴表示____________；纵轴表示_________________； ②看线：图中乙的函数图象是__________（填写序号）； ③看点：乙的终点坐标是___________；甲、乙函数图象的交点P的坐标是_______________，该点表示的实际意义是______________； (2)直接写出乙到达点P时距B地还有__________千米． (3)分别求出甲、乙两人的行驶速度． 15．在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 1．（25-26河北保定）乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25河北衡水）使函数有意义的x的值可能是（      ） A． B．2 C．3 D．4 3．（24-25河北邢台）已知一款商务签字笔购买数量（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 应付钱数（元） 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 4．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 5．（24-25河北邢台）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是(　　) ①圆的周长是半径的函数；②表达式中，是的函数； ③如表，是的函数；④如图，曲线表示是的函数． n A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 6．在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（  ） A． B． C． D． 7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 8．周末早上小敏和朋友相约开车去离市中心30km的郊外玩，玩到了傍晚准备开车回家，回家的路上小敏开了有一会车抛锚了，于是朋友就把小敏的车用工具固定在自己的车后，拖着走了一段，路上遇到一家修车店，小敏就把车放在店里维修，然后坐朋友的车回到了市中心，下面是小敏从郊外返回路上所用的时间t（分钟）和离市中心距离s（km）之间的对应关系表： t/min 10 15 20 25 30 40 45 50 55 60 65 70 s/km 24 20 16 15 15 12 12 8 5 3 1 0 根据表格中的数据判断下列哪种说法是正确的（       ） A．差不多开了20分钟，小敏的车抛锚了 B．从抛锚点到修车店，花了差不多10分钟 C．修车店在离市中心15km处 D．离市中心5km处可能开始堵车 9．（24-25河北张家口）自变量与因变量的关系如图，当x增加1时，增加 ． 10．如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有相同的规律，按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是 ． 11．（24-25河北沧州）小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． (1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的函数关系式（不必写出的取值范围）； (2)当时，求剩余油量的值； (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由． 12．某公交车每月的支出费用为7000元，票价为每人2元（不考虑任何优惠），设每月有x人乘坐该公交车，每月的收入与支出的差额为y元 (1)请直接写出y与x之间的关系式； (2)列表表示：当x的值分别为3000，3300，3600，3900，4200，4500时，y的值； (3)该公交车每天早上6∶00开班，晚上21∶00收班，其中除去午餐1小时外，其余时间都在正常运行，且每一个往返准点运行120分钟．若每月按30天计算，求该公交车每次往返平均需乘坐多少人，每月盈利可达到3080元？ 1．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么 ． 2．阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $