江苏省扬州中学2026-2027学年高三上学期10月自主学习评估数学试卷

江苏省扬州中学2026-2027学年度高三10月自主学习评估 数 学 试 卷 参 考 答 案 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的. 1.D 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.A 8.A 二、多项选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.AB 10.CD 11.ABD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（6，＋∞） 13. 14.（-∞，1] 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）由题意可得，即，解得，即，…………2分 所以集合中的所有整数为.…………5分 （2）当（CRA）∩B＝∅时，可知，…………7分 当时，，解得；…………9分 当时，即时，可得，解得，…………12分 综上，当（CRA）∩B＝∅时，.…………13分 16.（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足，…………1分 得，即，…………2分 整理得，即，…………4分 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以…………5分 (2)奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则，…………7分 函数的定义域为，定义域关于原点对称，…………9分 因为，，故 是奇函数.…………10分 （3）因为 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增，…………11分 不等式 可化为， 即,…………12分 因为单调递增，所以，，…………13分 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为…………14分 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是.…………15分 17.（1）， 由，得. 所以的单调递增区间为.…………4分 （2）当时， 因为在上递增，在上递减，，……7分 所以在上的值域为.…………9分 （3）当时，，故.…………11分， ①当时，不等式恒成立；…………12分②当时，得恒成立， 令，则，， 在上单调递增，最大值为，…………14分 所以，综上得的取值范围为.…………15分 18.(1)证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面，…………1分 因为平面，所以，…………2分 因为△是正三角形，M是的中点，则，…………4分 又，平面，所以平面．…………5分 （2）取，的中点分别为，连接， 则，因为，所以， 因为△PAD是正三角形，所以，…………6分 又侧面平面，侧面平面，平面， 所以平面，…………7分 因为平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以，…………8分 所以是侧面与底面所成二面角的平面角．…………9分 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以，…………10分 即侧面与底面所成二面角的余弦值为．…………11分 （3）因为在正方形ABCD中，， 又侧面平面，侧平面，平面， 所以平面，…………12分 因为平面，所以， 所以△为等腰直角三角形，，…………13分 ，…………15分 设到平面的距离为d，则，…………16分 解得，即到平面的距离为．…………17分 19.（1）易知函数定义域为，， 令，得. 当时，，单调递减；当 时，，单调递增. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为 .…………4分 (2)因为 ，且 ，所以 ． 又 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，且 ．…………6分 先证 ． 令． 则 ，且． 所以 ，从而． 因为 ，且 在 上单调递增，，所以． 于是，． 由 ，得 ．…………7分 再证 ． 有． 即．…………8分 令． 则． 当 时，．…………9分 所以． 从而 ，即 ．…………10分 综上，．…………11分 (3)由第（2）问知 ． 记． 因为 且 ，所以 ，并且． 由三角形内角和 ，有． 因此．…………13分 又． 令． 因为 ，可取 ，使． 当动点 取在 的范围内时，角 可取遍 ，故可以取到 ． 于是对固定的 ， 的最小值为．…………14分 下面研究 随 的变化． 令，则，所以 ． 由题意， 在 处取得最小值． 记 ，则 ． 又，且 ，所以，即． 当 时，，故． 令． 则． 因此，从而 ． 于是．…………15分 又因为函数 在 上单调递增，且， 所以．…………16分 由 ，得． 因此， 且． 所以 ．…………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2026-2027学年度高三10月自主学习评估 数 学 试 卷 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，且，则的最大值为（ ） A．6 B． C．7 D． 3．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知是第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 5．的展开式中，的系数为（ ）． A．8 B．36 C．16 D．32 6．已知三个正数，，分别满足，，，则（ ） A． B． C． D． 7．若角，，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则 实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错 的得0分。 9．已知，，且与相互独立，则下列各式正确的有（ ） A． B． C． D． 10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（ ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 13．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则 的取值范围是_______． 14．若不等式 恒成立，则的取值范围_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15．已知集合 (1)求集合中的所有整数； (2)若（CRA）∩B＝∅，求实数的取值范围. 16．已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于，不等式 恒成立，求整数的取 值集合． 17．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求函数在时的值域； (3)对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形， 侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 19．已知函数，此时有一个极值点，两个零点，（不妨 设），记点，，． (1)求函数的单调区间； (2)在三角形中，当时，证明：； (3)设是动点，且，，，是三角形的三个内角，记，若在时取到最小值，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $