精品解析：江苏扬州市新华中学2026-2027学年度高三上学期第一阶段自主练习数学试卷

2026~2027学年度第一学期第一阶段自主练习 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（ ） A. -1 B. C. D. 3. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. -54 7. 若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则________. 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 14. 如图，A、B两点分别在x、y轴上滑动，为垂足，P点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为_________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为锐角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数，其中，a，b为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； （2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 17. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求AC边上的高； （2）如图，过A作，且，记 ①用表示边AD； ②若的面积为，求的大小． 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一阶段自主练习 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线倾斜角为， 由直线方程可得：， 又角的终边位于直线， 由两角的终边相同可知：. 故选：C 3. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出或，从而得到答案. 【详解】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，结合已知条件分析的取值范围，从而求解． 【详解】，底数， 对数函数单调递减， 又，， ，底数， 指数函数单调递增， 又，， ，底数， 指数函数单调递减， 又，． ， 故选：C． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用化切为弦将化成，利用和角公式将化成，两者联立求出，，代入公式计算即得. 【详解】由可得，① ， 由可得，② ， 联立①，② ，解得，， 故. 故选：A. 6. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. -54 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的范围，从而利用解析式确定的值 【详解】，即 又 故选：． 【点睛】本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则，属基础题 7. 若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求导得到，根据题意得到方程有一个根大于0，一个根小于等于0，即可得到答案. 【详解】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 8. 在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答. 【详解】在中 ，， 因角B的内角平分线的长为1，由得：， 即，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. D. 若角的终边过点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A.利用终边相同的角判断；B.利用扇形面积公式求解判断；C.利用诱导公式求解判断；D.利用三角函数的定义求解判断. 【详解】解：A选项，是第二象限角，A错误； B选项，扇形的半径为，面积为，B正确； C选项，，，C错误． D选项，，D正确； 故选：BD． 10. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合正实数满足的条件，利用指数函数单调性、基本不等式、二次函数求最值的方法，逐一判断各选项即可 【详解】对于A选项，因为，，则，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，即无最小值，故B错误； 对于C选项，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，C正确； 对于D选项，因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确； 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. ，使得 B. 函数的图象是一个中心对称图形 C. 曲线有且只有一条斜率为的切线 D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D. 【详解】因为， 当，所以，可得，且，所以，使得，A选项正确； ，所以函数的一个中心对称为，B选项正确； ，又因为，所以，所以函数没有斜率为的切线，C选项错误； 令，，所以， 有两个交点，所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的性质即可求解. 【详解】, 由于三点共线，故，解得， 故答案为： 13. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得. 因为为偶函数，所以，可得. 因为，所以当时，即得最小值. 14. 如图，A、B两点分别在x、y轴上滑动，为垂足，P点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为_________ . 【答案】## 【解析】 【分析】设，则为锐角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求. 【详解】设，则为锐角，所以，， 因为，则， ， 所以， 令，其中， 则， 因为，则，则， 由，可得，可得， 由，可得，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为锐角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，求出，，再利用二倍角公式代值计算即可， （2）由已知条件求出，由（1）知，的值，然后利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以，， 则． （2）因为，， 所以， 由（1）知，， 所以 . 16. 已知函数，其中，a，b为实常数且． （1）若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； （2）若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； 【小问2详解】 由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 17. 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求AC边上的高； （2）如图，过A作，且，记 ①用表示边AD； ②若的面积为，求的大小． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及二倍角公式可得角B，再由正弦定理得，进而得及所求结果； （2）①在三角形由正弦定理直接可得；②在三角形由正弦定理得AC，再结合①可得的面积，进而可得结果. 【小问1详解】 因为，，得 所以，，即. 又，，，所以，，，即. 在中，由正弦定理得，即， ，，所以或，又， 所以，所以， 所以AC边上高为. 故AC边上的高为. 【小问2详解】 ①因为，在中，， 所以，. 由正弦定理得，即，所以. 故. ②在中，，，， 所以， 由正弦定理得，得 所以， 所以，即 ，所以. 故. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性． （3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． （3） 【解析】 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性； （3）计算的两个极值点，由韦达定理结合可解出两个极值点的范围，构造函数计算的最小值，从而求出k的取值范围. 【小问1详解】 因为，∴切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； 【小问2详解】 ∵＝， 当时，增区间为；减区间为； ①当，即时，，增区间为． ②当，即时，， 令得，或；令得，． 所以当时，增区间为；减区间为； ③当，即时，令得，或； 令得，． 所以，增区间为；减区间为； 综上，当时，增区间为；减区间为；； 当时，增区间为； 当时，增区间为；减区间为； 当时，增区间为；减区间为． 【小问3详解】 函数， 所以，由，得， 依题意方程有两不相等的正实根， ∴， ∴，又，则，解得或， 因为且，所以， ∴， 构造函数， ， ∴F（x）在上单调递减； 当时，， 所以． 【点睛】关键点点睛：含有参数的函数计算极值点时，常借助于韦达定理，由韦达定理表示两根与参数的关系，可减少变量，也可消参，代入所求从而减少变量构造函数，以达到可计算的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $