四川绵阳市南山中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026年10月 绵阳南山中学高2024级高三上期10月月考试题 数学 命题人：蒋伟郑晓宇冯雯宋玉贤审题人：蔡晓军 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟。 2答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。 3.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写. 4请按题号顺序在各题目的答案区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={xx2-4c+3<0},B={xlz<2},则AnB=() A.(-∞，3) B.(-0,2) C.(-1,2) D.(1,2) 2.已知a、beR,则“1og3a>logb”是“a>b”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中正确的是( A.若a>b,则日<若 B.若a>b,则a2>b C.若lal>b,则a>b D.若ac2>bc2,则a>b 4.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函 数解析式可能为( A.y=l4- B.y=V4- C.y=+2 D.y=V-x2+2x 5.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下2×2列联表. 性别 跳绳 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 n(ad-bc)2 已知-a+C十四a-d0+d,P>10.823)=0.01,根据小概率值a=0.01的独立性检验， 第1页共4页 以下结论正确的是() A.爱好跳绳与性别独立 B.爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C.爱好跳绳与性别不独立 D.爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 6.已知sin(a-B)=3cos(a+B),tana=2,则tanB=( A-吉 B.号 c.寸 D.青 7.某疾控中心采用荧光定量PCR法检测流感核酸，在PCR扩增的指数期，靶标DNA数量Xn与扩增次数 n满足：lgXn=nlg(1+p)+1gX,其中X为DNA初始数量，p为扩增效率(0<p<1).已知某标本扩增12 次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的10倍，则至少需要扩增的次数约为（参 考数据：1g2≈0.301) A.30次 B.31次 C.32次 D.33次 8.若函数fa)=血2-am在(1，+∞)上的最大值是3，则实数a的值是( AG B. a.g D.& 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f()=2sin(受x-)-1,则( A.f()的最小正周期为誓 B.f()的图象关于点(，0)对称 C.f()的图象关于直线x=对称 D.f在区间（←-石，）上单调递减 10.设Sn是公比为q的等比数列{a,}的前n项和，且S3,S,S成等差数列，则下列说法正确的有( A可=号 B.a购，a,a6成等差数列 C.S3,S6,S成等比数列 D.若8=3，则5e=号 11.已知定义在R上的奇函数f(c)满足f(十1)为偶函数，且当0<x≤1时，f(x)=4-1,则下列说法正 确的是( A.函数f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 B.f号)<f(受) O.函数f(x)的单调递减区间为(4+1,4k+3),∈Z D.已知数列{a}满足a1=1,且au+=fan),则ao2m=3 第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共16分 12.已知幕函数y=(x)的图象过点(3V3),则f(4)= 13.已知实数x满足0<c<,则x(1-4)的最大值为 「x2+2ax+1.-3<x<-1 14、已知函数f(x)= 若∫(x)>-2,则a的取值范围是 ar+2. -1<x<1 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在数列(and中，a1=2.an+1=3an-2. (1)求证：数列(an-1)为等比数列： (2)设bn=an+n,求数列{(b)的前n项和Sn 16.(15分) 已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)-sin2x。 [1)求函数f(ax)的值域及单调递增区间： (②)将函数=)的图象先向右平移合个单位长度，再向上平移.1个单位长度，得到=9)的图象，求 不等式gx)<2的解集。 17,(15分) 某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为x(元)， 对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据(zy)(1=1,2.….6),如下表所示： 预报价x(元) 456789 意向预购量百件)908483807568 (1)已知变量x,y具有线性相关关系，求意向预购量g关于预报价x的线性回归方程)=6x+a: (2)记与预报价x对应的意向预购量的估计值记为(i=1,2,,6).当少：- y≤1时，则称(x,y)为一个“精准调研数据”·判断当预报价分别为4,5,6 时，对应数据中哪些是“精准调研数据” 参考公式：6=-nx 之，好-2 ,a=y-bx 参考数据：∑1xy=3050,1x2=271 第3页共4页 18.(17分) 定义：设f(c)是函数y=∫()的导函数，∫(x)是函数y=f'(x)的导函数，若方程f”()=0有实数解xo,则 称(cof(a)为函数y=fx)的“拐点”.已知任意的三次函数f代c)=ax3+bx2+c+d(a≠0)都有“拐 点”，且该“拐点”也是函数y=f()的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识，回答下列问题： 已知函数f()=x2+(3a-3)x2+(6a-9a)x-5a(ae). (1)讨论f(ac)的单调性： ②)当a=合时，求f回的对称中心，并求不等式f2红-)+fe-)>-是的解集： (3)当a=2时，f()=m有三个不相等的实数根<2<，当1-取得最大值时，求m的值， 19.(17分) 已知函数f(x)=ae2r1-x,g(x)=2ax2-xlnc+x,其中a∈R. ()若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围： (2)是否存在非零实数a,使得曲线f()与曲线g(c)存在一条过原点的公切线？若存在，求出a的值：若不 存在，请说明理由： (3)当a>0时，证明：(1nc-1)f()>g(c)对任意的x>g恒成立. 第4页共4页 高2024级高三上期10月月考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 D A D C A B B AC ABD ACD 12. 13.16 14.[-4,3] 1.D 【详解】由x2-4知+3<0，得(x-1)(x-3)<0,所以1<x<3,A={x11<x<3)。 又B={xIx<2},所以AnB={xl1<x<2}=(1,2). 2.A 【详解】由log3a>logb可得a>b>0, 因为“a>b>0”→“a>b”,且“a>b>0”味“a>b”, 故“1og3a>1ogb”是“a>b”的充分不必要条件. 3.D 【详解】对于A:若取a=1,6=-1,满足a>6,但}=1，名=-1，日>分，放A错误： 对于B:若取a=1,b=-2,满足a>b,但a2=1<b2=4,故B错误； 对于C:若取a=-3,b=1,满足a>b,但a=-3<1=b,故C错误； 对于D:由ac2>bc2可知c2≠0，即c2>0,由不等式的性质可得a>b,故D正确. 4.C 【详解】A选项：x=1时，y=V3>1,故A错误； B选项：记f(x)=cW4-x,则f(-x)=-W4-x2=-f(c),故f(x)为奇函数，不符合题意，故B错 误： C选项：记h(c)=√一x2+2x,则h(-x)=√-x2+2=h(z),故y=√一x2+2为偶函数，当≥0 时，y=V-心2+2lx=√-x2+2元=√-(c-1+1, 此函数在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，且h(0)=0,h(1)=1,h(2)=0,故C正确； D选项：记g(x)=V一x2+2,则g(-x)=√一x2-2zx≠-g(c), 故g(c)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误， 故选：C 5.A 【详解】零假设H:爱好跳绳与性别相互独立， 由列联表中数据可得x×2=110×(40×30-20×20 60×50×60×50 -≈7.822<10.828， 根据小概率值a=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H不成立， 故爱好跳绳与性别独立 6.B 【详解】因为sin(a-)=3cos(a+B),所以sinacosB-cosasinB=3 cosacosB-3 sinasinB, 因为tana=2,所以cosa≠0， 若cosB=0,则tanB无意义，所以cosf≠0， 第1页共6页 两边同除以cosacosB,得tana-tanB=3-3 tanatanB, 又tang=2,所以2-tanf=3-3×2tanB,解得tanB=号 7.【答案】C 【详解】由题意知，当n=12时，X2=200Xo,代入lgX.=nlg(1+p)+lgX, 得1g(200Xo)=12lg(1+p)+lgX: 整理得：2+1g2=121g(1+p),也就有1g(1+p)=2+0301=2.301 12 12 将X.=10X代入lgXn=nlg(1+p)+gX, 得1g(10X)=2.301n 12n+lgXo, 整理得：2=6 故n≈31.29，但由于扩增次数n必须为整数， 故至少需要32次扩增，即n=32. 8:B 解：令t=lnx,则=，且t>0,原函数化为g因=}-ae】 设最大值点为6，则g田=号t-号e,g)=0 得ae3=号四 又最大值为3，所以3=g句=合片-ae=号6-号0 整理得号-6o一27=0， 即(t-9)(t+3)=0.因为t6>0,故t=9. 代入()：ae2=号×9=6， 即ae3=6, 所以a=号 故选B. 9.AC 【详解】A:f()的最小正周期为红=红所以正确： 3 B:令x=吾，-晋=0，(）=sim(受×吾-）-1=-1， 所以函数f()的图象关于点(，-1)对称，因此本选项说法不正确： C:令红=受，8x-吾=资 所以函数f()的图象关于直线x=对称，因此本选项说法正确： D:当xE(吾爱)时，多-子E(←受，经》，y=咖x在(-受，)上单调递增，g=是-受是单调 4 递增，由复合函数的单调性得f(如)在区间（一否，）上单调递增，因此本选项说法不正确。 10.ABD 【详解】：对于A选项，由S,S,S6成等差数列，得2S,=S+S6,得q≠1， 第2页共6页 2×1二g3=二+a1二g的，解得=号或g=1(含去)，故A正确： 1- 1-g 1-q 1 对于B选项，ag+a6=agag=20g,而2ag=20g96=agg0g6成答差数列，故B正确： 2a1 3 3 9 4 8a 对干C造项8=8=。8登=分爱是8品品不成等比数列故 C错误： 3 对于D选项8=二-=得：)=8所以g=2.8=二g2=-(为- 201 1-g 1-g 1 8 故D正确。 11.ACD 【详解】A:f(x)是奇函数，则f(x)+f(-x)=0:f(x+1)为偶函数，则f(1+x)=f(1一x),f(2+x) f(-x),f)=f2-x),故f(2+x)+f(2-x)=-fx)+f(x)=0,f(x)关于(2,0)对称，A选项正确。 B:f(x)是奇函数，f(x)关于(0,0)对称：f(x+1)为偶函数，f(x)关于x=1对称，从而函数f()有T 4。(受)=4+号)=f受)，由f1+)=f0-)得f受)=f(号)，代入0<x≤1时的解析式得 f(分)=4-1=1，即f(受）)=1：()=f2+)=-(分)=-1。f(受)>()，B选项错误。 C:由周期为4，只需验证k=0对应区间(1,3)的单调性即可： 1<x≤2时，0≤2-x<1,f(x)=f(2-x)=42--1,f(x)单调递减，且f(2)=0 2<x≤3时，0<x-2≤1，f(x)=-f(x-2)=1-4-2f(x)单调递减，且f2)=0 故f(x)在(1,3)上单调递减，C选项正确。 D:a,=1,=f(a)=f(1)=3,a=f(2)=f(3)=-3,a1=3,as=-3,从n≥2开始数列周期为2，偶 数项取值恒为3，因此a2o26=3,D选项正确。 12.2 【详解】：y=f(x)为幂函数，∴可设f(c)=x, f3)=3”=3,解得：a=号，f)=克，f④=4=2 186 【详解】0<红<子，1-4红>0 2-4妇=寻×红1-切)≤号×（匹+}红了=当且仅当=号时取等。 14.[-4,√3] 【详解】当a<0时，y=x2+2ax+1的对称轴x=-a在y轴的右边，x2+2ax+1在[-3，-1)上单调递 减，y=-ax+2在[-1,1)上单调递增 所以/-1y-2a+1≥-2 -a×(-1)+2≥-2解得-4≤a≤2，结合a<0得，-4≤a<0: 当a=0时，f()= x2+1,-3≤x<-1 -1≤<1≥0恒成立，满足条件≥-2： 2, 当a>0时，y=-ax+2在[-1,1)上单调递减，所以-a+2≥-2，解得a≤4， 所以只需考虑0<a≤4的情况，y=x2+2ax+1的对称轴为x=-Q, 第3页共6页 若-a≤-1，即a≥1时，y=x+2ac+1的最小值为1-a2,1-a2≥-2，解得-3≤a≤V3,故1≤a ≤√3满足条件： 若-a>-1,即a<1时，x2+2ac+1在[-3，-1)上单调递减，（-1)2-2a+1≥-2，解得a≤2，所以0 <a<1满足条件： 综上所述，a的取值范围是[-4，√3]. 15、(1)略 (23.=3"+m2+3m-1 2 【详解10因为a二1-3a。-2）-1=3a.-1卫=3， a.-1 an-1 an-1 且41-1=2-1=1， 所以数列{(an一1}是以1为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)得，an-1=1×3m-1→an=3-1+1, 所以bn=3m-1+n+1. 所以Sn=(3°+1+1)+(3+2+1)+(32+3+1)+…+(31+n+1) =(3°+3+32+…+3m-)+(1+2+3+…+n)+n =}二g+中+=+n-l 2 16.()值域为[-2,2]，单调递增区间为[-号+机，否+标]，k∈Z (2(受+x吾+，keZ 【详解】：(1)f()=cosz(2W3sinx+cosm)-sinz=√3sin2x+cos2x=2sin(2c+若)。 由于-1≤sin(2z+)≤1，所以函数fa)的值域为[-2,2。 令-受+2m≤2红+晋≤受+2，k∈么，得-骨+km≤红≤晋+km,k∈Z. 因此，函数f()的单调递增区间为[-一苓+k机，否+k],kE2。 (2②)由题意，g)=f(e-晋)+1=2sin(2x-)+1。 由g<2,得in(2x-晋)< 于是誓+2<2红-看<1答+2，keZ, 解得受+m<x<晋+低，k∈2。 所以不等式g)<2的解集为（受+m,召+a),kEz。 17.(1)方=-4c+106;(2)(4,90),(6,83). 【详解】 (1)z=言×4+5+6+7+8+9)=65，可=言×(80+84+83+80+75+68)=80 :6=3050-6×80×6.5=-4, 271-6×6.5 a=80-(-4)×6.5=106, y关于x的回归方程是0=-4x+106: (2),回归方程为9=-4c+106, 立1=-4知，+106=90，l仿一hl=|90-90=0<1,∴.(c)=(4,90)是“精准调研数据”， 第4页共6页 2=-4x2+106=86,12-y21=186-84=2>1,·(x2,y2)=(5,84)不是“精准调研数据”， 3=-4x3+106=82,-y3=82-831=1=1,÷(x3,y3)=(6,83)是“精准调研数据”. ÷“精准调研数据”为(4,90)，(6,83) 18,(①)当a=号时，f回在R上单调递增。 当a>号时，f(a)在(-∞，2-3a,(a,+四)上单调递增，在2-30.，0)上单调递减： 当a<号时，f()在(-o,a,(2-3a,+∞)上单调递增，在(o,2-3a)上单调递减。 (2)(1,+o: (3)m=16 【详解】(1)f'(x)=3x2+6(a-1)x+3a(2-3a)=3(x-a)(a-2+3a), 令f(x)=0,则1=a,2=2-3a, 当a=号时，=，f(≥0恒成立，所以函数y=f)在R上单调递增： 当a>号时，>，在(-o,2-3a,(a,+o∞)上，fc>0,函数g=f@在（←o,2-3a小.(a.+o)上 单调递增，在(2-3a,a)上，f'(x)<0,所以函数y=f(a)在(2-3aa)上单调递减： 当a<号时，m<,在(-o0,a,(2-3a,+o)上，(@)>0，函数y=f@)在(-o,n小.(2-3a.+o0)上 单调递增，在(a,2-3a)上，f()<0,函数y=f(c)在(a,2-3a)上单调递减 综上所述： 当a=号时，f(a)在R上单调递增： 当a>号时，f〔a在(-o,2-3a,a,+o)上单调递增，在(2-3a,a)上单调递减： 当a<号时，f)在(-o,a,(2-3a,+o∞)上单调递增，在(a,2-3a)上单调递减。 ②当a=号时，f)=x-昌+-是，f=32-3z+Po)=6a-3.◆r)=0.得x= 合所以对称中心为：（侵（合》即（分-翠）为 所以不等式f2x-1)+f-1)>-9=2(分）=fe-)+f1-e-]可得：2x-)>2- 由()知：当a=时，f()在R上单调递增，所以：2x-1>2-得：不等式得解集为：1.+w小 (3)fx)=x+3x2-24x-10,f()=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2), 令f(x)=6x+6=0,x=-1,f(-1)=16,所以对称中心为(-1,16)， 当x∈(-∞，-4)和x∈(2，+∞)时，f(x)>0,函数单调递增： 当x∈(-4,2)时，f(x)<0,函数单调递减： f(-4)=(-4)3+3×(-4)2-24×(-4)-10=70: f(2)=23+3×22-24×2-10=-38, 要使得f(x)=m有三个解，故me(-38,70),x1<-4<x2<2<x3, 且x1,x2,x3是方程x3+3x2-24x-10-m=0的根， 由于对称性，为了简化研究，只研究m∈[16,70)的情况， x3+3x2-24x-10-m=(x-x1)(x-x)(x-x3)=0, 根据常数项知：灯x2x3=10+m,根据对称性知：1+x2+x3=一3， x2∈(-4，-1]，且x2+3x3-24x2-10-m=x2+3x3-24x2-x1x2x3=0, 故x3+3x2-24-x1为=0，即x1x3=x22+3x为2-24， k1-x3l=x1+x3)2-4x1x3=-3-x2)2-4x2+3x2-24)=√-33+1)2+108 当x2=-1时，x1-x3取得最大值6v3,此时m=16. 19((-0ju{3(a= ·(③)略 【详解】()因为f(x)=a02r+1-x(a∈)有1个零点，即方程a·e2+1-x=0有1个解， 等价于方程a=。二品有1个解：等价于Q四)=a与T()=。二的图象有1个交点， 因为T(x)= c”一c器票令T国=0，解得=7 (e2+2 所以T@)=。品在区间(-o0,号》上单调递增，在（分+四）上单调递减。 则当=号时，Ta取到最大值，且r分)=0，又当e>0时，T回>0且叶o时，T@+0, 当x<0时，T()<0,且x→-oo时，T(c)→-o, 故T四=。二品的图象如图所示， 2e2 y=T(x) 由图可知：函数f网有一个零点，得a的取值范围为：(-0,0U{} (2)设过(0,0)的公切线与f()切于A(,ae2+1-西)，因为f(m)= 2ac2x1-1,所以切线的斜率k=2ae2t1-1=kom则2ae2+1-1= aec1-,化简得：ae=2ne,解得：西=分，所以切线方程可化为：y=(202-1,再设改直 线与g()切于B(2,2a-lnm+),因为g(x)=4ax-lnx,所以切线的斜率k2=g()=ko,代入 得：-n=2a好-h+2,解得：=太从而=go)=2+h2a,又=点，得：2ad-1 2 =2+1na,即：2ae2-ln2a-3=0,令t=2a>0,则(=6t-lnt-3,(t>0,所以p()=e2-名，可 得0在0，)单调递减，在（侵+四）单调通增，所以因的最小值为（得）=0，故a=这 (3)证明：当a>0,x>e2时，要证明不等式(nx-1)f(a)>g(c)恒成立， 即证明(nc-1)(a~e21-x)>2a·x2-xlnx+x恒成立； 只需证明：(nx-1)e2+>2x成立； 甲证期>即证会>品= elnz-1 构造函数n()=g,问题转化为证明：n(2ax)>nnx-1), 而n间=立-色-e,:>1,m问=包-1e>0,即n回在化网上单调道蹭。 2 2 .原命题要成立则须满足：2x>1nc-1。 又令m园=2红-he+1(e>,而m(@)=2-}=2。， 故：m(x)在(e3,+o)上单调递增， ∴m(ac)>m(e)=2e2-1>0,故：2x>lnc-1成立 ∴当a>0,r>e时，不等式(nc-1)f(m)>g()恒成立。