第2章 实数 单元进阶卷 2026～2027 学年北师大版八年级上册数学

第2章实数单元进阶卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在实数 ，0，，，0.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次多一个）， 中，无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，一个半径为 1 个单位长度的圆，从数轴上表示 0 的点出发，沿数轴向右无滑动地滚动一周，滚动前圆上一点 A 与表示 0 的点重合，则滚动结束后点 A 所表示的数所在的范围是（　　） A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间 3．如图，将两个边长为 1 的小正方形，沿图中的线剪开得到四个全等的三角形，再把它们不重叠、不留缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 4．若二次根式 与 都有意义，则 （　　） A． B．0 C． D．任意实数 5．一个正方形的面积为 10，其边长为 ，则下列关于边长 的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．已知整数 满足 ，且 是整数，则 的值共有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．一个运算程序：输入 ，先计算 ，再输出它的算术平方根．若输入 ，则输出的结果是（　　） A．2 B． C． D． 9．实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的化简结果是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法中：①带根号的数都是无理数；②一切实数都能用数轴上的点表示；③两个无理数的商一定是无理数；④任何实数都有立方根．其中正确的有（　　） A．1 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数是 ______． 12．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上，则 的周长是 ______． 13．一只蚂蚁从数轴上表示 的点出发，沿数轴向右爬行 5 个单位长度到达点 P，则点 P 表示的数是 ______． 14．比较大小： ______ （填「>」「<」或「=」）． 15．已知两个正方体的体积之和为 224 立方厘米，体积之差为 208 立方厘米，则较大正方体的棱长比小正方体的棱长长 ______ 厘米． 16．已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）把 、、 化成最简二次根式，并求 的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) 求 的值． 18．（6 分）已知一个长方形的长为 厘米，宽为 厘米． (1) 求这个长方形的面积和周长（结果化为最简二次根式）； (2) 求这个长方形的对角线长． 19．（6 分）阅读材料：我们知道 ，，，可以发现 ，． (1) 若 ，填空： ______， ______； (2) 若 ，，填空： ______， ______． 20．（6 分）如图，数轴上点 B 表示的数为 2，过点 B 作数轴的垂线 BA，且 （点 A 在数轴上方），连接 OA；再画弧：弧的圆心为 O，半径等于 OA 的长，弧交数轴正半轴于点 P． (1) 求 OA 的长，并说明理由； (2) 求点 P 表示的数． 21．（6 分）先化简，再求值：． 22．（6 分）已知 ． (1) 求 的值； (2) 若 取正数，求 的值； (3) 若 取负数，求 的值． 23．（8 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 若 ，求 的值； (3) 若 ，求 的值． 24．（8 分）观察下列等式：，，，，… (1) 填空： ______； (2) 用含 （ 为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明理由； (3) 利用上述规律，计算 的值． 参考答案与详细解析 1．【答案】 C 【解析】 是开不尽方的数，是无理数； 0 是整数， 也是整数， 是分数，它们都是有理数； 0.1010010001… 是无限不循环小数， 也是无限不循环小数，都是无理数． 所以无理数有 、0.1010010001…、，共 3 个，选 C． 【解题提示】判断无理数要抓住无限不循环；带根号的未必是无理数（如 ），不带根号的也未必是有理数（如 ）． 2．【答案】 B 【解析】 圆滚动一周的距离等于圆的周长：； 所以点 A 落在表示 的位置； 因为 ，所以 ； 因为 ，所以点 A 表示的数在 6 和 7 之间，选 B． 【解题提示】圆沿数轴无滑动滚动一周，滚过的距离就是圆的周长 ；再结合 的近似值估算所在范围． 3．【答案】 A 【解析】 剪拼前后图形的面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和：； 设大正方形的边长为 （），则 ， 所以 ，即大正方形的边长为 ，选 A． 【解题提示】剪拼问题抓住「面积守恒」：拼成的大正方形面积等于各部分面积之和；面积为 2 的正方形边长是 ，它是一个无理数． 4．【答案】 A 【解析】 要使两个二次根式都有意义，需 且 ， 即 且 ，所以 ，选 A． 【解题提示】两个被开方数互为相反数时，只有使它们都等于 0 的那个值才同时满足非负． 5．【答案】 B 【解析】 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 所以 ，选 B． 【解题提示】估计 的范围，找平方后恰好夹住 n 的两个数：平方大的数对应的根式也大． 6．【答案】 D 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，选 D． 【解题提示】根号外的字母化简时，，必须判断 a 的正负再去绝对值． 7．【答案】 C 【解析】 是整数，说明 是完全平方数； 因为 ，所以 ，其中完全平方数有 1，4，9，16； 对应的 为 17，14，9，2，共 4 个，选 C． 【解题提示】「根号下是整数」等价于被开方数是完全平方数，先把被开方数的范围求出来再逐一列举． 8．【答案】 C 【解析】 输入 ，先算 ； 再取算术平方根：，选 C． 【解题提示】按程序逐步代入即可，注意 ；输出算术平方根前确认被开方数非负． 9．【答案】 A 【解析】 由图可知 ，所以 ，； ；； 原式 ，选 A． 【解题提示】数轴化简题先读图定符号：a 在原点左侧取负，，a<b 时 ． 10．【答案】 D 【解析】 ①错： 是有理数，带根号的数不一定是无理数； ②对：实数与数轴上的点一一对应； ③错：，商可以是有理数； ④对：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0．所以正确的有 2 个，选 D． 【解题提示】举反例是判断命题真假的关键：一个反例即可否定一个命题． 11．【答案】 49 【解析】 一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ， 解得 ； 两个平方根分别为 和 7， 这个正数为 ． 【解题提示】正数的两个平方根互为相反数，之和为 0；先求出平方根，再平方得到原数． 12．【答案】 【解析】 ； ，； 所以周长 ． 【解题提示】网格中水平、竖直方向的边长直接数格；斜的边长用勾股定理求，结果保留最简二次根式． 13．【答案】 【解析】 向右爬行用加法：点 P 表示的数为 ； 即 ． 【解题提示】数轴上向右移动加、向左移动减；结果写成最简形式时把数字放在根式前面． 14．【答案】 < 【解析】 ， ， 因为 ，所以 ，即 ． 【解题提示】比较二次根式的大小，可以把根号外的系数平方后移入根号内，再比较被开方数． 15．【答案】 4 【解析】 较大正方体体积 （立方厘米）， 较小正方体体积 （立方厘米）； 较大正方体棱长 （厘米），较小正方体棱长 （厘米）； 棱长之差 （厘米）． 【解题提示】先由「和差问题」求出两个体积，再开立方求棱长；立方根只有一个，符号与被开方数一致． 16．【答案】 【解析】 因为 ，，，所以 ， 的整数部分 ，小数部分 ， 所以 ． 【解题提示】夹逼法：先找出 相邻的两个完全平方数，整数部分是较小的那个；小数部分 = 原数 - 整数部分． 17．【答案】 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】 (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【解题提示】化简二次根式，把被开方数分解出一个最大的完全平方因数，移出根号；合并同类二次根式时系数加减、根式不变． 18．【答案】 (1) 面积 30 平方厘米，周长 厘米；(2) 厘米 【解析】 (1) 面积 （平方厘米）． 周长 （厘米）． (2) 由勾股定理，对角线 （厘米）． 【解题提示】长方形面积 = 长 × 宽，周长 = 2(长 + 宽)，对角线用勾股定理；二次根式运算后要化简． 19．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) ； ． (2) ； ． 【解题提示】规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点移动一位；移动方向相同． 20．【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 因为 BA 垂直于数轴，所以 是直角三角形，，； 由勾股定理，． (2) 弧的半径为 ，圆心为 O，所以 ； 点 P 在数轴正半轴上，所以点 P 表示的数是 ． 【解题提示】数轴上表示无理数：先用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再以原点为圆心画弧转移到数轴上． 21．【答案】 【解析】 ； 因为 ，且 ， 所以 ； 原式 ． 【解题提示】复合根号 先凑成完全平方，再开方取绝对值；平方差公式 用于前一项． 22．【答案】 (1) 或 ；(2) 8；(3) 4 【解析】 (1) ，所以 或 ． (2) 当 时，． (3) 当 时，． 【解题提示】，化简后根据 x 的正负分情况讨论，代入时注意符号． 23．【答案】 (1) 5；(2) 或 ；(3) 或 【解析】 (1) ． (2) ， 所以 ，， 或 ． (3) ， 所以 ， 或 ． 【解题提示】新定义运算题，先把定义翻译成普通算式再计算；，开方后要讨论 a 的符号． 24．【答案】 (1) 6；(2) （理由见解析）；(3) 1013 【解析】 (1) ，所以 ． (2) 规律：（ 为正整数）． 理由： 是前 个连续正奇数的和，它等于 ，所以 ． (3) 最大的奇数 ，解得 ， 所以 ． 【解题提示】前 n 个连续正奇数的和等于 ，这是规律探究的核心；先从具体数归纳出一般式，再用一般式解决具体问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章实数单元进阶卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在实数 ，0，，，0.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次多一个）， 中，无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】 C 【解析】 是开不尽方的数，是无理数； 0 是整数， 也是整数， 是分数，它们都是有理数； 0.1010010001… 是无限不循环小数， 也是无限不循环小数，都是无理数． 所以无理数有 、0.1010010001…、，共 3 个，选 C． 【解题提示】判断无理数要抓住无限不循环；带根号的未必是无理数（如 ），不带根号的也未必是有理数（如 ）． 2．如图，一个半径为 1 个单位长度的圆，从数轴上表示 0 的点出发，沿数轴向右无滑动地滚动一周，滚动前圆上一点 A 与表示 0 的点重合，则滚动结束后点 A 所表示的数所在的范围是（　　） A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间 【答案】 B 【解析】 圆滚动一周的距离等于圆的周长：； 所以点 A 落在表示 的位置； 因为 ，所以 ； 因为 ，所以点 A 表示的数在 6 和 7 之间，选 B． 【解题提示】圆沿数轴无滑动滚动一周，滚过的距离就是圆的周长 ；再结合 的近似值估算所在范围． 3．如图，将两个边长为 1 的小正方形，沿图中的线剪开得到四个全等的三角形，再把它们不重叠、不留缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】 A 【解析】 剪拼前后图形的面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和：； 设大正方形的边长为 （），则 ， 所以 ，即大正方形的边长为 ，选 A． 【解题提示】剪拼问题抓住「面积守恒」：拼成的大正方形面积等于各部分面积之和；面积为 2 的正方形边长是 ，它是一个无理数． 4．若二次根式 与 都有意义，则 （　　） A． B．0 C． D．任意实数 【答案】 A 【解析】 要使两个二次根式都有意义，需 且 ， 即 且 ，所以 ，选 A． 【解题提示】两个被开方数互为相反数时，只有使它们都等于 0 的那个值才同时满足非负． 5．一个正方形的面积为 10，其边长为 ，则下列关于边长 的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 所以 ，选 B． 【解题提示】估计 的范围，找平方后恰好夹住 n 的两个数：平方大的数对应的根式也大． 6．已知 ，，化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，选 D． 【解题提示】根号外的字母化简时，，必须判断 a 的正负再去绝对值． 7．已知整数 满足 ，且 是整数，则 的值共有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】 C 【解析】 是整数，说明 是完全平方数； 因为 ，所以 ，其中完全平方数有 1，4，9，16； 对应的 为 17，14，9，2，共 4 个，选 C． 【解题提示】「根号下是整数」等价于被开方数是完全平方数，先把被开方数的范围求出来再逐一列举． 8．一个运算程序：输入 ，先计算 ，再输出它的算术平方根．若输入 ，则输出的结果是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】 C 【解析】 输入 ，先算 ； 再取算术平方根：，选 C． 【解题提示】按程序逐步代入即可，注意 ；输出算术平方根前确认被开方数非负． 9．实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的化简结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 由图可知 ，所以 ，； ；； 原式 ，选 A． 【解题提示】数轴化简题先读图定符号：a 在原点左侧取负，，a<b 时 ． 10．下列说法中：①带根号的数都是无理数；②一切实数都能用数轴上的点表示；③两个无理数的商一定是无理数；④任何实数都有立方根．其中正确的有（　　） A．1 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】 D 【解析】 ①错： 是有理数，带根号的数不一定是无理数； ②对：实数与数轴上的点一一对应； ③错：，商可以是有理数； ④对：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0．所以正确的有 2 个，选 D． 【解题提示】举反例是判断命题真假的关键：一个反例即可否定一个命题． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数是 ______． 【答案】 49 【解析】 一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ， 解得 ； 两个平方根分别为 和 7， 这个正数为 ． 【解题提示】正数的两个平方根互为相反数，之和为 0；先求出平方根，再平方得到原数． 12．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上，则 的周长是 ______． 【答案】 【解析】 ； ，； 所以周长 ． 【解题提示】网格中水平、竖直方向的边长直接数格；斜的边长用勾股定理求，结果保留最简二次根式． 13．一只蚂蚁从数轴上表示 的点出发，沿数轴向右爬行 5 个单位长度到达点 P，则点 P 表示的数是 ______． 【答案】 【解析】 向右爬行用加法：点 P 表示的数为 ； 即 ． 【解题提示】数轴上向右移动加、向左移动减；结果写成最简形式时把数字放在根式前面． 14．比较大小： ______ （填「>」「<」或「=」）． 【答案】 < 【解析】 ， ， 因为 ，所以 ，即 ． 【解题提示】比较二次根式的大小，可以把根号外的系数平方后移入根号内，再比较被开方数． 15．已知两个正方体的体积之和为 224 立方厘米，体积之差为 208 立方厘米，则较大正方体的棱长比小正方体的棱长长 ______ 厘米． 【答案】 4 【解析】 较大正方体体积 （立方厘米）， 较小正方体体积 （立方厘米）； 较大正方体棱长 （厘米），较小正方体棱长 （厘米）； 棱长之差 （厘米）． 【解题提示】先由「和差问题」求出两个体积，再开立方求棱长；立方根只有一个，符号与被开方数一致． 16．已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ______． 【答案】 【解析】 因为 ，，，所以 ， 的整数部分 ，小数部分 ， 所以 ． 【解题提示】夹逼法：先找出 相邻的两个完全平方数，整数部分是较小的那个；小数部分 = 原数 - 整数部分． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）把 、、 化成最简二次根式，并求 的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) 求 的值． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 【解析】 (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【解题提示】化简二次根式，把被开方数分解出一个最大的完全平方因数，移出根号；合并同类二次根式时系数加减、根式不变． 18．（6 分）已知一个长方形的长为 厘米，宽为 厘米． (1) 求这个长方形的面积和周长（结果化为最简二次根式）； (2) 求这个长方形的对角线长． 【答案】 (1) 面积 30 平方厘米，周长 厘米；(2) 厘米 【解析】 (1) 面积 （平方厘米）． 周长 （厘米）． (2) 由勾股定理，对角线 （厘米）． 【解题提示】长方形面积 = 长 × 宽，周长 = 2(长 + 宽)，对角线用勾股定理；二次根式运算后要化简． 19．（6 分）阅读材料：我们知道 ，，，可以发现 ，． (1) 若 ，填空： ______， ______； (2) 若 ，，填空： ______， ______． 【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) ； ． (2) ； ． 【解题提示】规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点移动一位；移动方向相同． 20．（6 分）如图，数轴上点 B 表示的数为 2，过点 B 作数轴的垂线 BA，且 （点 A 在数轴上方），连接 OA；再画弧：弧的圆心为 O，半径等于 OA 的长，弧交数轴正半轴于点 P． (1) 求 OA 的长，并说明理由； (2) 求点 P 表示的数． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 因为 BA 垂直于数轴，所以 是直角三角形，，； 由勾股定理，． (2) 弧的半径为 ，圆心为 O，所以 ； 点 P 在数轴正半轴上，所以点 P 表示的数是 ． 【解题提示】数轴上表示无理数：先用勾股定理构造出长度为无理数的线段，再以原点为圆心画弧转移到数轴上． 21．（6 分）先化简，再求值：． 【答案】 【解析】 ； 因为 ，且 ， 所以 ； 原式 ． 【解题提示】复合根号 先凑成完全平方，再开方取绝对值；平方差公式 用于前一项． 22．（6 分）已知 ． (1) 求 的值； (2) 若 取正数，求 的值； (3) 若 取负数，求 的值． 【答案】 (1) 或 ；(2) 8；(3) 4 【解析】 (1) ，所以 或 ． (2) 当 时，． (3) 当 时，． 【解题提示】，化简后根据 x 的正负分情况讨论，代入时注意符号． 23．（8 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 若 ，求 的值； (3) 若 ，求 的值． 【答案】 (1) 5；(2) 或 ；(3) 或 【解析】 (1) ． (2) ， 所以 ，， 或 ． (3) ， 所以 ， 或 ． 【解题提示】新定义运算题，先把定义翻译成普通算式再计算；，开方后要讨论 a 的符号． 24．（8 分）观察下列等式：，，，，… (1) 填空： ______； (2) 用含 （ 为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明理由； (3) 利用上述规律，计算 的值． 【答案】 (1) 6；(2) （理由见解析）；(3) 1013 【解析】 (1) ，所以 ． (2) 规律：（ 为正整数）． 理由： 是前 个连续正奇数的和，它等于 ，所以 ． (3) 最大的奇数 ，解得 ， 所以 ． 【解题提示】前 n 个连续正奇数的和等于 ，这是规律探究的核心；先从具体数归纳出一般式，再用一般式解决具体问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章实数单元进阶卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在实数 ，0，，，0.1010010001…（每两个 1 之间 0 的个数依次多一个）， 中，无理数有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．如图，一个半径为 1 个单位长度的圆，从数轴上表示 0 的点出发，沿数轴向右无滑动地滚动一周，滚动前圆上一点 A 与表示 0 的点重合，则滚动结束后点 A 所表示的数所在的范围是（　　） A．5 和 6 之间 B．6 和 7 之间 C．7 和 8 之间 D．8 和 9 之间 3．如图，将两个边长为 1 的小正方形，沿图中的线剪开得到四个全等的三角形，再把它们不重叠、不留缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 4．若二次根式 与 都有意义，则 （　　） A． B．0 C． D．任意实数 5．一个正方形的面积为 10，其边长为 ，则下列关于边长 的估计正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．已知整数 满足 ，且 是整数，则 的值共有（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．一个运算程序：输入 ，先计算 ，再输出它的算术平方根．若输入 ，则输出的结果是（　　） A．2 B． C． D． 9．实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的化简结果是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法中：①带根号的数都是无理数；②一切实数都能用数轴上的点表示；③两个无理数的商一定是无理数；④任何实数都有立方根．其中正确的有（　　） A．1 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个正数是 ______． 12．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上，则 的周长是 ______． 13．一只蚂蚁从数轴上表示 的点出发，沿数轴向右爬行 5 个单位长度到达点 P，则点 P 表示的数是 ______． 14．比较大小： ______ （填「>」「<」或「=」）． 15．已知两个正方体的体积之和为 224 立方厘米，体积之差为 208 立方厘米，则较大正方体的棱长比小正方体的棱长长 ______ 厘米． 16．已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）把 、、 化成最简二次根式，并求 的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) 求 的值． 18．（6 分）已知一个长方形的长为 厘米，宽为 厘米． (1) 求这个长方形的面积和周长（结果化为最简二次根式）； (2) 求这个长方形的对角线长． 19．（6 分）阅读材料：我们知道 ，，，可以发现 ，． (1) 若 ，填空： ______， ______； (2) 若 ，，填空： ______， ______． 20．（6 分）如图，数轴上点 B 表示的数为 2，过点 B 作数轴的垂线 BA，且 （点 A 在数轴上方），连接 OA；再画弧：弧的圆心为 O，半径等于 OA 的长，弧交数轴正半轴于点 P． (1) 求 OA 的长，并说明理由； (2) 求点 P 表示的数． 21．（6 分）先化简，再求值：． 22．（6 分）已知 ． (1) 求 的值； (2) 若 取正数，求 的值； (3) 若 取负数，求 的值． 23．（8 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 若 ，求 的值； (3) 若 ，求 的值． 24．（8 分）观察下列等式：，，，，… (1) 填空： ______； (2) 用含 （ 为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明理由； (3) 利用上述规律，计算 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $