第2章实数素养培优卷 2026-2027 学年北师大版八年级上册数学

第2章实数素养培优卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知 为实数，下列判断正确的是（　　） A． B．若 ，则 C． 的算术平方根是 D． 【答案】 B 【解析】 ， 当 时，，所以 ，B 正确． A 错：，不等于 ； C 错：当 时， 的算术平方根是 ，不是 ； D 错：当 时，．选 B． 【解题提示】 是核心性质，判断时要分 、、 三种情况讨论． 2．下列各数中，大于 且小于 的是（　　） A．1.5 B． C． D．2.5 【答案】 A 【解析】 因为 ，； 1.5 介于 1.414 与 1.732 之间，符合； 等于下界、2.5 与 都大于 ，不符合．选 A． 【解题提示】判断一个数是否介于两个根式之间，先把根式取近似值化为小数，再比较；注意「大于且小于」不包含端点． 3．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 ； ，与 化简后被开方数都是 3，是同类二次根式； ，， 的被开方数分别是 2、6、6，都不是 3．选 A． 【解题提示】判断同类二次根式，必须先把每个根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同． 4．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 ，则 ， ，选 D． 【解题提示】直接代入时，注意 ，常数项与根式分别合并． 5．对于任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数（如 ，）．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 表示 ， 两边平方（），得 ，选 D． 【解题提示】取整函数 的定义是「不超过 的最大整数」；由 得 ，再平方求范围． 6．一只蚂蚁在数轴上从原点出发爬行，第 1 次向右爬行 1 个单位长度，第 2 次向左爬行 2 个单位长度，第 3 次向右爬行 3 个单位长度，第 4 次向左爬行 4 个单位长度，……按此规律不断爬行，则第 10 次爬行结束后，蚂蚁所在位置表示的数是（　　） A． B．5 C． D．6 【答案】 A 【解析】 按规律，第 10 次爬行结束后所在位置表示的数为 ； ，，，，共 5 组； 所以 ，选 A． 【解题提示】正负交替的规律题，把相邻两项分组求和；向右为正、向左为负，第 n 次移动 n 个单位． 7．小华有一张面积为 80 平方厘米的正方形风景卡片，想把它不折叠地放入一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形信封中，则下列判断正确的是（　　） A．能放入 B．不能放入 C．恰好放入 D．无法确定 【答案】 B 【解析】 卡片的边长为 厘米； ，因为 ，所以 ； 卡片的边长超过信封的宽 8 厘米，所以不能放入，选 B． 【解题提示】判断能否放入，关键是把卡片边长开方后与信封的宽（较短边）比较；夹逼法估出 介于 8 和 9 之间即可下结论． 8．观察下列等式：，，，…，则第 个等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 第 1 个：， 第 2 个：， 第 3 个：， 第 个：，选 C． 【解题提示】先从具体例子归纳出完全平方数的规律，第 n 个用 表示，化简后等于 1． 9．小马在计算 时，不慎将加号后面的一个数用墨迹盖住，已知计算结果是 ，则被墨迹盖住的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 ； 设被盖住的数为 ，则 ； ，选 C． 【解题提示】墨迹覆盖题从「计算结果」倒推：先化简看得见的部分，再用结果减去它，就得到被覆盖的数． 10．比较 与 的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】 B 【解析】 两边都为正数，可以平方比较：； ； 因为 ，； 所以 ，即 ，选 B． 【解题提示】比较两个正数的大小可以平方后比较；平方差里出现的 用近似值估算即可下结论． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．计算 ______． 【答案】 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 原式 ． 【解题提示】先用平方差公式算乘法，再用 化简，最后合并同类项与常数项． 12．已知 ，，且 ，则 ______． 【答案】 0 【解析】 ，则 或 ； ，则 ； 因为 ，所以 与 异号，，所以 ， ． 【解题提示】平方根有两个，立方根只有一个；结合 的条件确定 的取值． 13．写出一个满足下列条件的实数 ： 是无理数，且 ．这个数可以是 ______． 【答案】 【解析】 因为 ，，， 所以 ， 是开不尽方的数，是无理数， 故 满足条件（答案不唯一，如 、、 等亦可）． 【解题提示】找一个介于两个整数之间的无理数，常用开不尽方的数：（ 不是完全平方数）． 14．估计 的大小：因为 ，，所以 的整数部分是 ______． 【答案】 4 【解析】 因为 ， 所以 ， 所以 的整数部分是 4． 【解题提示】估算立方根，找立方后夹住被开方数的两个整数；整数部分是较小的那个． 15．在数轴上，到表示 的点的距离等于 2 的点所表示的数是 ______． 【答案】 或 【解析】 到表示 的点距离为 2 的点有两个，分别在它的右侧和左侧； 右侧：；左侧：． 【解题提示】数轴上的距离问题要分左右两种情况，右侧的点用加法、左侧的点用减法，不要漏解． 16．已知 ，，则 ______． 【答案】 【解析】 ， 分子分母同乘 （分母有理化）， ． 【解题提示】分母含二次根式时，用分母有理化：分子分母同乘分母的「有理化因式」，再用平方差化简． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知 ，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 【答案】 (1) 6；(2) 5 【解析】 ， ． (1) ． (2) ． 【解题提示】已知 、 的对称式，用 、 的值整体代入； 是常用恒等式． 18．（6 分）已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间； (2) 比较 与 5 的大小，并说明理由． 【答案】 (1) 在 4 与 5 之间；(2) 【解析】 (1) ， 因为 ，所以 在 4 与 5 之间． (2) ， ，比较 与 25，即比较 与 13， ，， 所以 ，又 ，所以 ． 【解题提示】估算两根式之和，可以先用近似值相加；比较大小可以用平方比较法，两边平方后再比较． 19．（6 分）小丽有一张面积为 320 平方厘米的正方形卡纸，准备从中裁剪部件制作手工画框． (1) 求这张卡纸的边长； (2) 她想裁出一张面积为 150 平方厘米、长与宽之比为 2:1 的长方形画片，求画片的长与宽； (3) 通过计算判断这张画片能否不折叠地从卡纸中裁出． 【答案】 (1) 厘米；(2) 长 厘米，宽 厘米；(3) 能裁出 【解析】 (1) 设边长为 ，则 ，（厘米）． (2) 设宽为 厘米，则长为 厘米， ，，； 宽为 厘米，长为 厘米． (3) ， ，； 画片的长和宽都不超过卡纸边长，所以能不折叠地从卡纸中裁出． 【解题提示】正方形边长 = 面积的算术平方根；长宽比问题先设一份为 x；判断能否裁出，把两边长取近似值与卡纸边长逐一比较． 20．（6 分）不用计算器，按下列步骤估计 的大小．已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间，并说明理由； (2) 判断 的符号（正数还是负数），并说明理由． 【答案】 (1) 在 5 与 6 之间；(2) 正数 【解析】 (1) 因为 ，所以 ， 即 在 5 与 6 之间． (2) 因为 ，所以 ； 所以 ，是正数． （又因为 ，所以 ，即 ．） 【解题提示】估算 ：先用完全平方数夹逼出整数部分，再用一位小数的平方继续逼近；比较谁大就看平方后谁大． 21．（6 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 比较 与 的大小，并说明理由； (3) 当 时，直接写出使 成立的 与 满足的关系． 【答案】 (1) 2；(2) ；(3) 【解析】 (1) ． (2) ； 因为 ，所以 ． 理由：交换位置后两个结果互为相反数，正的那个大． (3) 即 ，； 因为 ，所以 ． 【解题提示】新定义运算先「翻译」成普通算式； 时 ，排除 后只剩 ． 22．（6 分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上． (1) 求 AB 和 BC 的长； (2) 求 AC 边上的高及 的面积． 【答案】 (1) ；(2) 高为 3，面积为 6 【解析】 (1) ， ． (2) 观察网格， 在同一条竖直网格线上，； 点 B 到 AC 的距离等于 B 与 AC 所在竖直线的水平格数：，即 AC 边上的高为 3； 的面积 ． 【解题提示】网格中三角形一边落在网格线上时，这条边上的高就是第三个顶点到该网格线的格数；面积用「底 × 高 ÷ 2」． 23．（8 分）已知 是 的整数部分， 是 的小数部分． (1) 求 和 的值； (2) 求 的值； (3) 求 的相反数． 【答案】 (1) ，；(2) ；(3) 【解析】 (1) 因为 ，，，所以 ， 整数部分 ，小数部分 ． (2) ， ． (3) ， 所以 的相反数为 ． 【解题提示】整数部分用夹逼法求出；小数部分 = 原数 - 整数部分；平方展开时注意 的符号． 24．（8 分）阅读材料：．这种把分子分母同乘「有理化因式」的方法，可以化简分母含根号的式子． (1) 化简：； (2) 计算：． 【答案】 (1) ；(2) 4 【解析】 (1) ． (2) 按同样的方法，每一项都可以拆成两个根式的差： 原式 ； 中间的项一正一负全部抵消，只剩首尾： 原式 ． 【解题提示】分母有理化后出现「阶梯形」结构：每一项等于，求和时中间项全部抵消，只剩下第一项的减数与最后一项的被减数（裂项相消）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章实数素养培优卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知 为实数，下列判断正确的是（　　） A． B．若 ，则 C． 的算术平方根是 D． 2．下列各数中，大于 且小于 的是（　　） A．1.5 B． C． D．2.5 3．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．对于任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数（如 ，）．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．一只蚂蚁在数轴上从原点出发爬行，第 1 次向右爬行 1 个单位长度，第 2 次向左爬行 2 个单位长度，第 3 次向右爬行 3 个单位长度，第 4 次向左爬行 4 个单位长度，……按此规律不断爬行，则第 10 次爬行结束后，蚂蚁所在位置表示的数是（　　） A． B．5 C． D．6 7．小华有一张面积为 80 平方厘米的正方形风景卡片，想把它不折叠地放入一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形信封中，则下列判断正确的是（　　） A．能放入 B．不能放入 C．恰好放入 D．无法确定 8．观察下列等式：，，，…，则第 个等式为（　　） A． B． C． D． 9．小马在计算 时，不慎将加号后面的一个数用墨迹盖住，已知计算结果是 ，则被墨迹盖住的数是（　　） A． B． C． D． 10．比较 与 的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．计算 ______． 12．已知 ，，且 ，则 ______． 13．写出一个满足下列条件的实数 ： 是无理数，且 ．这个数可以是 ______． 14．估计 的大小：因为 ，，所以 的整数部分是 ______． 15．在数轴上，到表示 的点的距离等于 2 的点所表示的数是 ______． 16．已知 ，，则 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知 ，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 18．（6 分）已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间； (2) 比较 与 5 的大小，并说明理由． 19．（6 分）小丽有一张面积为 320 平方厘米的正方形卡纸，准备从中裁剪部件制作手工画框． (1) 求这张卡纸的边长； (2) 她想裁出一张面积为 150 平方厘米、长与宽之比为 2:1 的长方形画片，求画片的长与宽； (3) 通过计算判断这张画片能否不折叠地从卡纸中裁出． 20．（6 分）不用计算器，按下列步骤估计 的大小．已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间，并说明理由； (2) 判断 的符号（正数还是负数），并说明理由． 21．（6 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 比较 与 的大小，并说明理由； (3) 当 时，直接写出使 成立的 与 满足的关系． 22．（6 分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上． (1) 求 AB 和 BC 的长； (2) 求 AC 边上的高及 的面积． 23．（8 分）已知 是 的整数部分， 是 的小数部分． (1) 求 和 的值； (2) 求 的值； (3) 求 的相反数． 24．（8 分）阅读材料：．这种把分子分母同乘「有理化因式」的方法，可以化简分母含根号的式子． (1) 化简：； (2) 计算：． 参考答案与详细解析 1．【答案】 B 【解析】 ， 当 时，，所以 ，B 正确． A 错：，不等于 ； C 错：当 时， 的算术平方根是 ，不是 ； D 错：当 时，．选 B． 【解题提示】 是核心性质，判断时要分 、、 三种情况讨论． 2．【答案】 A 【解析】 因为 ，； 1.5 介于 1.414 与 1.732 之间，符合； 等于下界、2.5 与 都大于 ，不符合．选 A． 【解题提示】判断一个数是否介于两个根式之间，先把根式取近似值化为小数，再比较；注意「大于且小于」不包含端点． 3．【答案】 A 【解析】 ； ，与 化简后被开方数都是 3，是同类二次根式； ，， 的被开方数分别是 2、6、6，都不是 3．选 A． 【解题提示】判断同类二次根式，必须先把每个根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同． 4．【答案】 D 【解析】 ，则 ， ，选 D． 【解题提示】直接代入时，注意 ，常数项与根式分别合并． 5．【答案】 D 【解析】 表示 ， 两边平方（），得 ，选 D． 【解题提示】取整函数 的定义是「不超过 的最大整数」；由 得 ，再平方求范围． 6．【答案】 A 【解析】 按规律，第 10 次爬行结束后所在位置表示的数为 ； ，，，，共 5 组； 所以 ，选 A． 【解题提示】正负交替的规律题，把相邻两项分组求和；向右为正、向左为负，第 n 次移动 n 个单位． 7．【答案】 B 【解析】 卡片的边长为 厘米； ，因为 ，所以 ； 卡片的边长超过信封的宽 8 厘米，所以不能放入，选 B． 【解题提示】判断能否放入，关键是把卡片边长开方后与信封的宽（较短边）比较；夹逼法估出 介于 8 和 9 之间即可下结论． 8．【答案】 C 【解析】 第 1 个：， 第 2 个：， 第 3 个：， 第 个：，选 C． 【解题提示】先从具体例子归纳出完全平方数的规律，第 n 个用 表示，化简后等于 1． 9．【答案】 C 【解析】 ； 设被盖住的数为 ，则 ； ，选 C． 【解题提示】墨迹覆盖题从「计算结果」倒推：先化简看得见的部分，再用结果减去它，就得到被覆盖的数． 10．【答案】 B 【解析】 两边都为正数，可以平方比较：； ； 因为 ，； 所以 ，即 ，选 B． 【解题提示】比较两个正数的大小可以平方后比较；平方差里出现的 用近似值估算即可下结论． 11．【答案】 【解析】 ， 因为 ，所以 ， 原式 ． 【解题提示】先用平方差公式算乘法，再用 化简，最后合并同类项与常数项． 12．【答案】 0 【解析】 ，则 或 ； ，则 ； 因为 ，所以 与 异号，，所以 ， ． 【解题提示】平方根有两个，立方根只有一个；结合 的条件确定 的取值． 13．【答案】 【解析】 因为 ，，， 所以 ， 是开不尽方的数，是无理数， 故 满足条件（答案不唯一，如 、、 等亦可）． 【解题提示】找一个介于两个整数之间的无理数，常用开不尽方的数：（ 不是完全平方数）． 14．【答案】 4 【解析】 因为 ， 所以 ， 所以 的整数部分是 4． 【解题提示】估算立方根，找立方后夹住被开方数的两个整数；整数部分是较小的那个． 15．【答案】 或 【解析】 到表示 的点距离为 2 的点有两个，分别在它的右侧和左侧； 右侧：；左侧：． 【解题提示】数轴上的距离问题要分左右两种情况，右侧的点用加法、左侧的点用减法，不要漏解． 16．【答案】 【解析】 ， 分子分母同乘 （分母有理化）， ． 【解题提示】分母含二次根式时，用分母有理化：分子分母同乘分母的「有理化因式」，再用平方差化简． 17．【答案】 (1) 6；(2) 5 【解析】 ， ． (1) ． (2) ． 【解题提示】已知 、 的对称式，用 、 的值整体代入； 是常用恒等式． 18．【答案】 (1) 在 4 与 5 之间；(2) 【解析】 (1) ， 因为 ，所以 在 4 与 5 之间． (2) ， ，比较 与 25，即比较 与 13， ，， 所以 ，又 ，所以 ． 【解题提示】估算两根式之和，可以先用近似值相加；比较大小可以用平方比较法，两边平方后再比较． 19．【答案】 (1) 厘米；(2) 长 厘米，宽 厘米；(3) 能裁出 【解析】 (1) 设边长为 ，则 ，（厘米）． (2) 设宽为 厘米，则长为 厘米， ，，； 宽为 厘米，长为 厘米． (3) ， ，； 画片的长和宽都不超过卡纸边长，所以能不折叠地从卡纸中裁出． 【解题提示】正方形边长 = 面积的算术平方根；长宽比问题先设一份为 x；判断能否裁出，把两边长取近似值与卡纸边长逐一比较． 20．【答案】 (1) 在 5 与 6 之间；(2) 正数 【解析】 (1) 因为 ，所以 ， 即 在 5 与 6 之间． (2) 因为 ，所以 ； 所以 ，是正数． （又因为 ，所以 ，即 ．） 【解题提示】估算 ：先用完全平方数夹逼出整数部分，再用一位小数的平方继续逼近；比较谁大就看平方后谁大． 21．【答案】 (1) 2；(2) ；(3) 【解析】 (1) ． (2) ； 因为 ，所以 ． 理由：交换位置后两个结果互为相反数，正的那个大． (3) 即 ，； 因为 ，所以 ． 【解题提示】新定义运算先「翻译」成普通算式； 时 ，排除 后只剩 ． 22．【答案】 (1) ；(2) 高为 3，面积为 6 【解析】 (1) ， ． (2) 观察网格， 在同一条竖直网格线上，； 点 B 到 AC 的距离等于 B 与 AC 所在竖直线的水平格数：，即 AC 边上的高为 3； 的面积 ． 【解题提示】网格中三角形一边落在网格线上时，这条边上的高就是第三个顶点到该网格线的格数；面积用「底 × 高 ÷ 2」． 23．【答案】 (1) ，；(2) ；(3) 【解析】 (1) 因为 ，，，所以 ， 整数部分 ，小数部分 ． (2) ， ． (3) ， 所以 的相反数为 ． 【解题提示】整数部分用夹逼法求出；小数部分 = 原数 - 整数部分；平方展开时注意 的符号． 24．【答案】 (1) ；(2) 4 【解析】 (1) ． (2) 按同样的方法，每一项都可以拆成两个根式的差： 原式 ； 中间的项一正一负全部抵消，只剩首尾： 原式 ． 【解题提示】分母有理化后出现「阶梯形」结构：每一项等于，求和时中间项全部抵消，只剩下第一项的减数与最后一项的被减数（裂项相消）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章实数素养培优卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知 为实数，下列判断正确的是（　　） A． B．若 ，则 C． 的算术平方根是 D． 2．下列各数中，大于 且小于 的是（　　） A．1.5 B． C． D．2.5 3．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．对于任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数（如 ，）．若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．一只蚂蚁在数轴上从原点出发爬行，第 1 次向右爬行 1 个单位长度，第 2 次向左爬行 2 个单位长度，第 3 次向右爬行 3 个单位长度，第 4 次向左爬行 4 个单位长度，……按此规律不断爬行，则第 10 次爬行结束后，蚂蚁所在位置表示的数是（　　） A． B．5 C． D．6 7．小华有一张面积为 80 平方厘米的正方形风景卡片，想把它不折叠地放入一个长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形信封中，则下列判断正确的是（　　） A．能放入 B．不能放入 C．恰好放入 D．无法确定 8．观察下列等式：，，，…，则第 个等式为（　　） A． B． C． D． 9．小马在计算 时，不慎将加号后面的一个数用墨迹盖住，已知计算结果是 ，则被墨迹盖住的数是（　　） A． B． C． D． 10．比较 与 的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．计算 ______． 12．已知 ，，且 ，则 ______． 13．写出一个满足下列条件的实数 ： 是无理数，且 ．这个数可以是 ______． 14．估计 的大小：因为 ，，所以 的整数部分是 ______． 15．在数轴上，到表示 的点的距离等于 2 的点所表示的数是 ______． 16．已知 ，，则 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）已知 ，． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 18．（6 分）已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间； (2) 比较 与 5 的大小，并说明理由． 19．（6 分）小丽有一张面积为 320 平方厘米的正方形卡纸，准备从中裁剪部件制作手工画框． (1) 求这张卡纸的边长； (2) 她想裁出一张面积为 150 平方厘米、长与宽之比为 2:1 的长方形画片，求画片的长与宽； (3) 通过计算判断这张画片能否不折叠地从卡纸中裁出． 20．（6 分）不用计算器，按下列步骤估计 的大小．已知 ，． (1) 估计 在哪两个相邻整数之间，并说明理由； (2) 判断 的符号（正数还是负数），并说明理由． 21．（6 分）对于任意实数 、，定义新运算 ． (1) 求 的值； (2) 比较 与 的大小，并说明理由； (3) 当 时，直接写出使 成立的 与 满足的关系． 22．（6 分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上． (1) 求 AB 和 BC 的长； (2) 求 AC 边上的高及 的面积． 23．（8 分）已知 是 的整数部分， 是 的小数部分． (1) 求 和 的值； (2) 求 的值； (3) 求 的相反数． 24．（8 分）阅读材料：．这种把分子分母同乘「有理化因式」的方法，可以化简分母含根号的式子． (1) 化简：； (2) 计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $