第2章实数基础过关卷2026～2027 学年北师大版数学八年级上册

第2章实数基础过关卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．π D． 2．49 的平方根是（　　） A．7 B．-7 C．±7 D． 3．若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x > 3 B．x ≥ 3 C．x < 3 D．x ≤ 3 4．估计 的值在（　　） A．3 与 4 之间 B．4 与 5 之间 C．5 与 6 之间 D．6 与 7 之间 5．下列说法正确的是（　　） A．4 的平方根是 2 B．-8 没有立方根 C．立方根等于它本身的数是 0 和 ±1 D． 的平方根是 ±2 6．下列各数中，最小的是（　　） A． B．-2 C．0 D．-π 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，长方形 OABC 的边 OA 在数轴上，点 O 是原点，OA = 3，OC = 2．以点 O 为圆心、对角线 OB 的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 P，则点 P 表示的数是（　　） A． B． C．3 D． 9．若 ，则 的值是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 10．已知 ，则化简 的结果是（　　） A．x B．-x C．3x D．-3x 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11． 的相反数是 ______， ______． 12．16 的算术平方根是 ______，-27 的立方根是 ______． 13．已知一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是 ______． 14．计算 ______． 15．若最简二次根式 与 可以合并，则 ______． 16．已知 a、b 为实数，且 ，则 的平方根是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 18．（6 分）计算下列各题： (1) ； (2) ． 19．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 20．（6 分）小丽想用一块面积为 400 平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 平方厘米的长方形纸片，使它的长是宽的 3 倍．请你通过计算说明她能否裁出． 21．（6 分）已知一个正方形的面积是 12 平方厘米，设它的边长为 a 厘米． (1) 估计 a 在哪两个相邻整数之间，并说明理由； (2) 估计 a 的值（精确到 0.1）． 22．（6 分）已知 ，求 的值． 23．（8 分）已知实数 a、b、c 满足 ． (1) 求 a、b、c 的值； (2) 求 的平方根； (3) 求 的值． 24．（8 分）观察下列各式：，，，… (1) 请你写出第 4 个等式； (2) 用含 n（n 为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章实数基础过关卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识实数、2.2 平方根与立方根、2.3 二次根式、回顾与思考。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C．π D． 【答案】 C 【解析】 π 是无限不循环小数，它是无理数． 、 都是分数，属于有理数； 是整数，也属于有理数．所以选 C． 【解题提示】判断无理数抓住两点：无限、不循环．常见的无理数是 π 与开不尽方的数，如 、． 2．49 的平方根是（　　） A．7 B．-7 C．±7 D． 【答案】 C 【解析】 因为 ，， 所以 49 的平方根有两个，它们是 7 和 -7，记作 ±7．选 C． 【解题提示】正数的平方根有两个，它们互为相反数；「平方根」与「算术平方根」要分清，算术平方根只取非负的那一个． 3．若二次根式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（　　） A．x > 3 B．x ≥ 3 C．x < 3 D．x ≤ 3 【答案】 B 【解析】 二次根式有意义，要求被开方数不小于 0， 所以 ，解得 ．选 B． 【解题提示】二次根式 有意义的条件是 ；若根号出现在分母上，还要再加上分母不为 0． 4．估计 的值在（　　） A．3 与 4 之间 B．4 与 5 之间 C．5 与 6 之间 D．6 与 7 之间 【答案】 B 【解析】 因为 ，，而 ， 所以 ，即 在 4 与 5 之间．选 B． 【解题提示】估算 时，先找出与 n 相邻的两个完全平方数 、，则 就在 a 与 b 之间． 5．下列说法正确的是（　　） A．4 的平方根是 2 B．-8 没有立方根 C．立方根等于它本身的数是 0 和 ±1 D． 的平方根是 ±2 【答案】 C 【解析】 A 错：4 的平方根是 ±2，不是 2． B 错：任何实数都有立方根，-8 的立方根是 -2． C 对：设这个数为 x，则 ，即 ，解得 或 ． D 错：，2 的平方根是 ，不是 ±2．选 C． 【解题提示】正数有两个平方根、一个算术平方根；而立方根对任何数都存在且只有一个，符号与原数一致． 6．下列各数中，最小的是（　　） A． B．-2 C．0 D．-π 【答案】 D 【解析】 负数小于 0，所以最小的数一定在负数中找． 因为 ，π ≈ 3.142， 所以 ，． 比较得 ，因此最小的是 -π．选 D． 【解题提示】比较几个负数的大小，可以先比较它们的绝对值，绝对值越大的负数反而越小． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 A 错： 与 不是同类二次根式，不能直接相加． B 对：． C 错：，不等于 ． D 错：．选 B． 【解题提示】二次根式相乘除，把被开方数相乘除后再化简；加减则必须先化成同类二次根式才能合并． 8．如图，长方形 OABC 的边 OA 在数轴上，点 O 是原点，OA = 3，OC = 2．以点 O 为圆心、对角线 OB 的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 P，则点 P 表示的数是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】 A 【解析】 四边形 OABC 是长方形，所以 ∠OAB = 90°，且 ． 在 Rt△OAB 中，． 由作图可知 ，点 P 在数轴的正半轴上， 所以点 P 表示的数是 ．选 A． 【解题提示】要在数轴上表示一个无理数，可以先用勾股定理构造一条长度等于它的线段，再用圆规把这段长度搬到数轴上． 9．若 ，则 的值是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】 A 【解析】 因为 ，，而它们的和为 0， 所以 且 ， 解得 ，． 所以 ．选 A． 【解题提示】几个非负数的和为 0，则每一个非负数都等于 0．常见的非负数有二次根式、绝对值和偶次方． 10．已知 ，则化简 的结果是（　　） A．x B．-x C．3x D．-3x 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以 ，． 所以 ，，． 原式 ．选 A． 【解题提示】，化简时先判断 a 的正负，再去掉绝对值，这是这类题的关键一步． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11． 的相反数是 ______， ______． 【答案】 ，π - 3 【解析】 在 前面添上负号即得它的相反数 ． 因为 π ≈ 3.142 > 3，所以 ， 它的绝对值等于它的相反数，即 ． 【解题提示】求一个数的相反数就在它前面加负号；去绝对值前一定先判断里面的式子正负． 12．16 的算术平方根是 ______，-27 的立方根是 ______． 【答案】 4，-3 【解析】 ，所以 16 的算术平方根是 4． 因为 ，所以 -27 的立方根是 -3． 【解题提示】算术平方根只取正的那个值；立方根的符号与被开方数相同． 13．已知一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是 ______． 【答案】 49 【解析】 一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ， 解得 ，． 此时两个平方根分别是 和 ， 所以这个正数是 ． 【解题提示】「一个正数的两个平方根」是一对相反数，据此列方程求字母，再平方得到原数． 14．计算 ______． 【答案】 【解析】 ，， 所以 ． 【解题提示】二次根式加减，先把每一式化成最简二次根式，再合并同类二次根式． 15．若最简二次根式 与 可以合并，则 ______． 【答案】 5 【解析】 两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，被开方数相同， 所以 ， 解得 ，． 【解题提示】同类二次根式化成最简后被开方数相同，据此列出方程即可求出未知字母． 16．已知 a、b 为实数，且 ，则 的平方根是 ______． 【答案】 ± 【解析】 要使两个二次根式都有意义，被开方数必须都不小于 0， 所以 且 ，即 且 ， 因此 ． 把 代入，得 ， 所以 ，5 的平方根是 ． 【解题提示】两个二次根式的被开方数互为相反数时，只能取使它们同时为 0 的值；最后别忘了「平方根」有正负两个． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】 (1) 12；(2) -9；(3) -5；(4) 7 【解析】 (1) 因为 ，所以 ． (2) ，所以 ． (3) 因为 ，所以 ． (4) ． 【解题提示】 表示 a 的算术平方根，结果是正数或 0；，而 ，两者不要混淆． 18．（6 分）计算下列各题： (1) ； (2) ． 【答案】 (1) ；(2) 7 【解析】 (1) ，，， 所以原式 ． (2) ， ， 所以原式 ． 【解题提示】加减先把根式化成最简再合并同类二次根式；遇到 用平方差公式，遇到 合并成 ． 19．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】 (1) 或 ；(2) 【解析】 (1) 两边同时除以 4，得 ， 所以 或 ， 解得 或 ． (2) 因为 ，所以 ， 解得 ． 【解题提示】开平方时不要漏掉负的那个根；开立方只有唯一一个根，符号与被开方数一致． 20．（6 分）小丽想用一块面积为 400 平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 平方厘米的长方形纸片，使它的长是宽的 3 倍．请你通过计算说明她能否裁出． 【答案】 不能裁出（理由见解析） 【解析】 正方形纸片的边长是 （厘米）． 设裁出的长方形纸片的宽为 厘米，则长为 厘米， 由题意得 ，即 ， 因为 ，所以 ，长为 （厘米）． 因为长方形的长 30 厘米大于正方形纸片的边长 20 厘米，放不进正方形纸片， 所以沿着边的方向不能裁出这样的长方形纸片． 【解题提示】这类题先用面积求出正方形的边长，再算出长方形的长和宽，把它与边长比较：有一边超过边长就裁不出． 21．（6 分）已知一个正方形的面积是 12 平方厘米，设它的边长为 a 厘米． (1) 估计 a 在哪两个相邻整数之间，并说明理由； (2) 估计 a 的值（精确到 0.1）． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 由正方形面积公式得 ，且 ，所以 ． 因为 ，，且 ， 所以 ，即 ． (2) 因为 ，， 所以 a 在 3.4 与 3.5 之间，且更接近 3.5， 所以 （厘米）． 【解题提示】估算 先把 a 夹在相邻的两个整数之间，再逐位试算到所需的精确度． 22．（6 分）已知 ，求 的值． 【答案】 3 【解析】 先把 x 化成最简形式（分母有理化）： ． 所以 ，两边平方得 ，即 ． 所以 ． 【解题提示】求含二次根式的代数式的值，先把分母有理化求出 x，再观察所求式子的结构，用配方法整体代入，往往比直接代入简便． 23．（8 分）已知实数 a、b、c 满足 ． (1) 求 a、b、c 的值； (2) 求 的平方根； (3) 求 的值． 【答案】 (1) ，，；(2) ±2；(3) 【解析】 (1) 因为 ，，，而它们的和为 0， 所以每一个都等于 0： ，，， 解得 ，，． (2) ，4 的平方根是 ±2． (3) ， 所以 ． 【解题提示】几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0；注意「平方根」有两个（互为相反数），而算术平方根只有一个非负数． 24．（8 分）观察下列各式：，，，… (1) 请你写出第 4 个等式； (2) 用含 n（n 为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明理由． 【答案】 (1) ；(2) （理由见解析） 【解析】 (1) 观察可知，第 4 个等式是 ． (2) 一般地，（n 为正整数）． 理由：， 所以 ． 【解题提示】探究规律题，先把等式一边的根号内凑成完全平方的形式，验证思路成立后，再按同样的结构写出第 n 个等式． 学科网（北京）股份有限公司 $