2.3 二次根式 分层卷 2026～2027 学年北师大版八年级上册数学

2.3二次根式分层卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 二次根式要求被开方数非负，且根指数为 2； A 错：， 无意义； B 错： 是三次根式，不是二次根式； C 错：当 时 无意义，不一定是二次根式； D 对：， 一定是二次根式．选 D． 【解题提示】判断二次根式：①根指数为 2（通常省略）；②被开方数非负． 恒大于 0，是最经典的「一定有意义」的被开方数． 2．下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 A 错：，算术平方根的平方只有一个非负值； B 对：； C 错：，不是 16； D 错：，不是 ．选 B． 【解题提示】两条性质：，结果唯一且非负；，结果也是非负的，不会出现 ． 3．下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 A 错：，不是 9； B 错：，不是 ； C 对：； D 错： 无意义．选 C． 【解题提示】二次根式的两条核心性质：；，结果总是非负的． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开尽方的因数或因式； ，，被开方数含开尽方因数，不是最简； 被开方数含分母，不是最简； 满足两个条件，是最简二次根式．选 A． 【解题提示】最简二次根式的两个条件缺一不可：被开方数不含分母、不含能开尽方的因数（如 4、9、16、25 等）． 5．估计 的值所在的范围是（　　） A．在 3 和 4 之间 B．在 4 和 5 之间 C．在 5 和 6 之间 D．在 2 和 3 之间 【答案】 A 【解析】 因为 ，所以 ； 不等式两边同时减 2，得 ； 所以 在 3 和 4 之间，选 A． 【解题提示】估算二次根式的值：先找相邻的两个完全平方数，确定被开方数在哪两个平方数之间，再对不等式做相同变形． 6．若最简二次根式 与 能合并，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 几个二次根式化成最简后，被开方数相同才能合并； 所以 ，解得 ，； 验证： 时 ，，被开方数相同，选 C． 【解题提示】能合并的二次根式（同类二次根式）化成最简后被开方数相同；据此列方程求参数，注意代回验证被开方数非负． 7．下列二次根式中，能与 合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 先把各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否为 3； ，，， 已是最简； 只有 与 的被开方数都是 3，是同类二次根式，能合并．选 B． 【解题提示】判断能否合并（同类二次根式）：先化成最简二次根式，被开方数相同的才能合并． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 A 错： 与 不是同类二次根式，不能合并； B 错：，结果非负； C 错：，系数相乘、被开方数相乘（）； D 对：．选 D． 【解题提示】逐项甄别：二次根式加减只有同类才能合并；乘除按法则 、； 结果非负． 9．计算 的结果是（　　） A．1 B．3 C． D．9 【答案】 A 【解析】 利用平方差公式：； ，选 A． 【解题提示】二次根式混合运算中，整式乘法公式仍然适用； 是常用的分母有理化工具． 10．对于任意不相等的两个实数 ，，定义运算，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 根据定义，； ，选 D． 【解题提示】新定义运算题：严格按照定义代入计算；注意分母 是负数，结果带负号； 要化为最简． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】 二次根式有意义的条件是被开方数非负； ，所以 ． 【解题提示】 有意义 ；列不等式求解，注意等号． 12．化简： ______． 【答案】 【解析】 ． 【解题提示】把被开方数分解成一个完全平方数与另一个因数的积，再用 化简． 13．计算： ______． 【答案】 4 【解析】 ． 【解题提示】；，结果是整数． 14．计算： ______． 【答案】 【解析】 ； ． 【解题提示】先化简 ，再合并同类二次根式；． 15．把 分母有理化的结果是 ______． 【答案】 【解析】 分子分母同乘 ： ． 【解题提示】分母有理化：把分母中的根号化去；对于 ，分子分母同乘 ；对于 ，分子分母同乘 ． 16．观察下列等式：，，，，则 ______． 【答案】 【解析】 观察规律：； 当 时，； 所以 ． 【解题提示】规律题先写出第 个等式的一般形式：；验证 时 ， 时 ， 时 ，规律成立． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）下面是小明同学化简二次根式的过程，请判断每一步是否正确，若不正确，请写出正确的化简过程： (1) ； (2) ． 【答案】 (1) 不正确，正确结果为 6；(2) 不正确，正确结果为 【解析】 (1) 不正确． 要求 ，、，不能直接拆分； 正确：． (2) 不正确．带分数要先化成假分数，不能拆成整数乘分数； 正确：． 【解题提示】使用 时，被开方数必须非负；带分数开方要先化为假分数，不能把整数部分和分数部分分别开方． 18．（6 分）已知一个长方形的长为 ，宽为 ． (1) 求这个长方形的面积； (2) 求这个长方形对角线的长（结果保留根号）． 【答案】 (1) ；(2) 【解析】 (1) 面积 长 宽 ； ． (2) 由勾股定理，对角线长 ； ． 【解题提示】几何中求面积、长度时，二次根式的乘方法则仍然适用；注意 ，系数和被开方数都要平方． 19．（6 分）先化简，再求值： (1) ，求化简后的结果； (2) 已知 ，，求 的值． 【答案】 (1) ；(2) 2 【解析】 (1) ，； 原式 ． (2) ； ； ； 所以 ． 【解题提示】(1) 加减运算先化最简再合并同类二次根式；(2) 先因式分解 ，再整体代入，避免直接展开计算出错． 20．（6 分）计算： (1) ； (2) ． 【答案】 (1) 11；(2) 3 【解析】 (1) 利用平方差公式：． (2) ； ； 原式 ． 【解题提示】乘法公式在二次根式中同样适用：平方差、完全平方公式；注意 ，系数也要平方． 21．（6 分）已知 ，求 的值． 【答案】 【解析】 二次根式的被开方数必须非负： 由 有意义得 ，即 ； 由 有意义得 ，即 ； 所以 ； 代入原式，，即 ，； ． 【解题提示】双重非负性：① 中 （被开方数非负）；②、（结果非负）；几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0；由两个被开方数同时非负可夹出 的唯一值． 22．（6 分）先化简，再求值：，其中无需代入数值，直接计算结果． 【答案】 【解析】 ； ； 原式 ． 【解题提示】混合运算按顺序：先乘方、再乘除、最后加减；能用公式的用公式简化运算；结果化为最简． 23．（8 分）已知 ，化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) （已知 ）． 【答案】 (1) ；(2) ；(3) 【解析】 (1) ，因为 ，所以 ，即 ． (2) 因为 ，所以 ； ． (3) 因为 ，，所以 ，有意义； ． 【解题提示】含字母的二次根式化简核心：；先由条件判断字母正负，再去绝对值；移到根号外的因式必须非负， 时移出的是 （正数）． 24．（8 分）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，需要分母有理化； ． (1) 化简：； (2) 利用上述规律计算：． 【答案】 (1) ；(2) 9 【解析】 (1) ，； 原式 ． (2) 原式 ； ． 【解题提示】分母有理化后 ；求和时相邻项中间的 一正一负抵消（裂项相消），只剩首项的 和末项的 ，结果为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次根式分层卷2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．估计 的值所在的范围是（　　） A．在 3 和 4 之间 B．在 4 和 5 之间 C．在 5 和 6 之间 D．在 2 和 3 之间 6．若最简二次根式 与 能合并，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，能与 合并的是（　　） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．计算 的结果是（　　） A．1 B．3 C． D．9 10．对于任意不相等的两个实数 ，，定义运算，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ______． 12．化简： ______． 13．计算： ______． 14．计算： ______． 15．把 分母有理化的结果是 ______． 16．观察下列等式：，，，，则 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）下面是小明同学化简二次根式的过程，请判断每一步是否正确，若不正确，请写出正确的化简过程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）已知一个长方形的长为 ，宽为 ． (1) 求这个长方形的面积； (2) 求这个长方形对角线的长（结果保留根号）． 19．（6 分）先化简，再求值： (1) ，求化简后的结果； (2) 已知 ，，求 的值． 20．（6 分）计算： (1) ； (2) ． 21．（6 分）已知 ，求 的值． 22．（6 分）先化简，再求值：，其中无需代入数值，直接计算结果． 23．（8 分）已知 ，化简下列二次根式： (1) ； (2) ； (3) （已知 ）． 24．（8 分）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，需要分母有理化； ． (1) 化简：； (2) 利用上述规律计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $