精品解析：河南辉县市冠英学校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试卷

九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 5. 若一元二次方程有一根为0，则的值是（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 4 6. 已知，则简化的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 2 D. 3 7. 某网购平台9月份的销售额比7月份增加了，那么该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 9. 如图，若，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为（       ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 12. 已知关于x的不等式的解集为，化简的结果为______． 13. 已知，则代数式的算术平方根是____________． 14. 若，则代数式的值为_________． 15. 对于实数、，定义运算“※”如下：，例如．若，则的值为________． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45° （1）求证△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，BE＝，求CD的长． 19. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的底边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 20. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 21. 某种商品的标价为80元/件，经过两次降价后的价格为64.8元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率． （2）已知该商品进价为60元/件，经过市场调研发现，当以90元/件售出时，平均每天能售出20件，若每件降价2元，则每天可多售出10件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每天盈利1125元，则每件商品应降价多少元？ 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． （4）若是“倍根方程”，求代数式的值． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，可化简，故不是最简二次根式； B、，可化简，故不是最简二次根式； C、，可化简，故不是最简二次根式； D、无法进一步化简，故是最简二次根式． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程；根据一元二次方程的定义一一判断即可． 【详解】选项没说，若，则方程为一元一次方程，不符合题意；选项不是整式方程，不符合题意；选项整理后为，是一元一次方程，不符合题意；选项整理后为，符合一元二次方程的定义． 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案． 【详解】∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 若一元二次方程有一根为0，则的值是（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解；根据一元二次方程的概念，方程的解的概念列式，再进行计算即可作答． 【详解】解：一元二次方程有一根为0， ， ， ， 故选：C． 6. 已知，则简化的结果是（ ） A. -3 B. 3 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简；由，再结合x的范围化简绝对值，最后进行合并计算即可. 【详解】解： ∵ ∴，， ∴. 故选：C. 7. 某网购平台9月份的销售额比7月份增加了，那么该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设7月份销售额为，则9月份销售额为，设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设7月份销售额为，则9月份销售额为，设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 即设该网购平台7月至9月的销售额平均每月增长率为， 故选：B． 8. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中第一项与第四项的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项正确； C、，故C选项错误； D、，故D选项错误． 故选：B． 9. 如图，若，则下列各式错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 10. 解某个一元二次方程时，甲看错了方程的常数项，因而得出两根为8和2；乙看错了方程的一次项的系数，因而得出两根为或，那么正确的方程为（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：由各个选项可知，原一元二次方程二次项系数为1， 由于甲看错了方程的常数项，得出的两根为8和2，则一次项系数为， 而乙看错了方程的一次项的系数，得出两根为或，则常数项为， 所以原一元二次方程为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 如果与最简二次根式可以合并成一个二次根式，则a=_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义可得到3a﹣8＝7，然后解方程即． 【详解】解：∵， 而最简二次根式与可以合并成一个二次根式，即它们是同类二次根式， ∴3a﹣8＝7， ∴a＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了同类二次根式：若把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式． 12. 已知关于x的不等式的解集为，化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵的解集为， ∴， ∴． 故答案为：-a-2． 【点睛】此题考查不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，以及二次根式的性质及化简，掌握不等式的性质是解题的关键． 13. 已知，则代数式的算术平方根是____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数可求出a，b的值，从而计算出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴a=6，b=28， ， ∴的算术平方根是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了算术平方根的计算以及二次根式有意义的条件，解题的关键是根据已知条件得出a，b的值． 14. 若，则代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 15. 对于实数、，定义运算“※”如下：，例如．若，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程等知识，先由新定义运算将化简为，解一元二次方程即可得到答案，读懂题意，理解新定义运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 由可得，解得或， 故答案为：或． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的乘除法则进行计算，再合并解题即可； （2）先利用完全平方公式以及平方差公式计算，然后合并计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法与公式法解一元二次方程； （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程； （2）先化为一般形式，再根据求根公式解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 即或 解得： 【小问2详解】 解： 原方程可化为： ∵，， ∴ 解得： 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45° （1）求证△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，BE＝，求CD的长． 【答案】 （1）证明：在中，，， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，，即可推出； （2）求出，，证，求出． 【详解】解：（1）略 （2）在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定的综合运用，题目比较好，但是有一定的难度． 19. 已知关于的一元二次方程， （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的底边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，计算得出，即可得证； （2）根据为底边，则，为腰长，则，则．得出．进而解一元二次方程，得出，根据三角形的三边关系检验，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为底边，则，为腰长，则，则． ，解得：． 此时原方程化为， ，即． 此时三边为3，2，2能构成三角形，三角形的周长为． 20. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21. 某种商品的标价为80元/件，经过两次降价后的价格为64.8元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率． （2）已知该商品进价为60元/件，经过市场调研发现，当以90元/件售出时，平均每天能售出20件，若每件降价2元，则每天可多售出10件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每天盈利1125元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）该商品每次降价的百分率为 （2）每件商品应降价5元． 【解析】 【分析】（1）直接代入公式即可求出降价率； （2）先设未知数，再利用单个利润乘以数量等于总利润列出方程，再解方程即可，要利用每件降价幅度不超过10元排除其中一个答案． 【小问1详解】 解：设该商品每次降价的百分率为x． 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该商品每次降价的百分率为． 【小问2详解】 设每件商品应降价x元． 根据题意，得， 解得． ∵降价幅度不超过10元， ∴． 答：每件商品应降价5元． 【点睛】本题考查平均增长率问题和一元二次方程的实际问题，细心审题和记忆理解公式是解题的关键． 22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． （1）根据上述定义，一元二次方程________（填“是”或“不是”）“倍根方程”． （2）若一元二次方程是“倍根方程”，则c=________． （3）若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为________． （4）若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）不是 （2）2 （3） （4）的值为0． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根与系数的关系等知识点．熟记相关结论是解题关键． （1）求解一元二次方程即可进行判断； （2）设方程的两个根分别为：，将根代入方程积累二元一次方程组即可求解； （3）设方程的两个根分别为：，根据根与系数的关系消去即可求解； （4）方程的两个根为：，根据题意可得或，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； 【小问2详解】 解：设方程的两个根分别为：， ∴， 解得：或（舍去） 故答案为：2； 【小问3详解】 解：设方程的两个根分别为：， 则由根与系数的关系可得：， 消去得：， 故答案为：； 【小问4详解】 解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $