第一章直线与圆（期中知识清单）高二数学上学期北师大版

第一章 直线与圆　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 直线与直线的方程 1.1 一次函数的图象与直线的方程 一次函数 （）的图象是一条直线，它是以满足 的每一对 ， 的值为坐标的点构成的。同时，函数解析式 可以看作二元一次方程。在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题。 示例：函数 的图象是一条直线，数对 满足函数解析式，则直线上存在一点 ，它的坐标是 ；而直线上每一点的坐标都满足函数解析式 。 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线 ，把 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 首次重合时所成的角，称为直线 的倾斜角。通常倾斜角用 表示。当直线 和 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。因此，直线的倾斜角 的取值范围为 。 直线的斜率 （其中 ）称为经过不同两点 ， 的直线的斜率。显然，若直线垂直于 轴，则它的斜率不存在；若直线 不与 轴垂直，则它的斜率存在且唯一，因此，我们常用斜率来表示直线的倾斜程度。 示例：经过点 ， 的直线的斜率 。 直线的斜率与倾斜角的关系 由正切函数的概念可知，倾斜角不是 的直线，它的斜率和它的倾斜角 满足 （其中 ）。 直线的斜率与方向向量的关系 若 是直线 的斜率，则 是它的一个方向向量；若直线 的一个方向向量的坐标为 ，其中 ，则它的斜率 。 示例：直线 的斜率为 ，则 是它的一个方向向量的坐标。 1.3 直线的方程 直线方程的概念 一般地，如果一条直线 上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线 上，那么这个方程称为直线 的方程。 点斜式 经过点 且斜率为 的直线 的方程 ，称为直线方程的点斜式。 示例：经过点 且斜率为 的直线方程的点斜式为 。 斜截式 若直线 经过点 且斜率为 ，则直线方程的点斜式为 ，即 。该方程中的 为直线的斜率， 为直线 在 轴上的截距。 称为直线方程的斜截式。 两点式 经过两点 ，（其中 ，）的直线方程为 ，这个方程称为直线方程的两点式。 截距式 方程 （其中 ）称为直线方程的截距式。其中， 为直线与 轴交点的横坐标（即直线在 轴上的截距）， 为直线与 轴交点的纵坐标（即直线在 轴上的截距）。 一般式 关于 ， 的二元一次方程 （其中 ， 不全为 ）表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式。 点法式 与方向向量垂直的向量称为直线的法向量。若直线 经过点 ，且它的一个法向量为 ，则直线 的方程为 ，称这个方程为直线方程的点法式。 示例：经过点 ，且一个法向量为 的直线方程为 ，即 。 1.4 两条直线的平行与垂直 两条直线平行 对于两条不重合的直线 和 （其中 ）， 的充要条件是 。若直线 与直线 的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为 的直线，从而它们互相平行或重合。 两条直线垂直 对于两条不重合的直线 和 ， 的充要条件是 。特殊地，当 ， 中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与 轴垂直，因此，若 ，则另一条直线与 轴平行或重合，即另一条直线的斜率为 。 示例：直线 与 的斜率均为 而截距不等，故 ；直线 与 满足 ，故 。 1.5 两条直线的交点坐标 一般地，两条直线 ， 交点的坐标就是两个方程的公共解。因此，可通过解方程组得到两条直线 ， 的交点坐标。 示例：直线 与 ，解方程组得 ，，故交点为 。 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，若两点为 ，，则 ， 两点间的距离公式为 。特殊地，当 与 轴或 轴平行时，这两点间的距离就是坐标轴上的距离，此时公式仍然适用。 示例：点 ， 间的距离 。 点到直线的距离公式 点 到直线 的距离公式为 （其中 ， 不全为 ）。 示例：点 到直线 的距离 。 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线 ，（其中 ， 不全为 ，且 ）间的距离公式为 。 示例：两平行直线 与 间的距离 。 2. 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 在平面几何的学习中，我们已经认识到圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合（或轨迹），其中定点是圆心，定长是半径。 方程 就是以点 为圆心， 为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程。 对于点 和圆 ，点 在圆 上的充要条件是 ；当 时，点 在圆 外；当 时，点 在圆 内。 示例：圆 的圆心为 ，半径为 ；点 到该圆圆心的距离为 ，恰好等于半径，故点 在该圆上。 圆的简单几何性质 以圆心为原点、半径为 的圆 为例： 范围：圆上任意一点 都满足不等式 ，。这说明圆上的所有点都在两条平行直线 ， 和两条平行直线 ， 围成的正方形之间。 对称性：圆 既是关于 轴和 轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形。 2.2 圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成 的形式。方程 （其中 ）称为圆的一般方程。它的圆心为 ，半径为 。 当 时，方程仅有一组解，表示一个点 ；当 时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。 示例：圆 中 ，，，圆心为 ，半径为 。 2.3 直线与圆的位置关系 已知直线 （， 不全为 ）和圆 ，则圆心 到直线 的距离 。 当 时，直线 与圆 相交；当 时，直线 与圆 相切；当 时，直线 与圆 相离。 此外，也可以由方程组解的情况来判断直线 和圆 的位置关系：当方程组有两组不同的实数解时，直线 与圆 相交；当方程组只有一组实数解（两组相等的实数解）时，直线 与圆 相切；当方程组没有实数解时，直线 与圆 相离。 示例：直线 与圆 ，圆心 到直线的距离 ，故直线与圆相切。 2.4 圆与圆的位置关系 平面内两个不等的圆之间有 种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。两个圆的圆心距 、两个圆的半径 ， 的大小关系与两个圆的位置关系有如下的对应关系： 位置关系 圆心距 与半径 ， 的关系 外离 外切 相交 内切 内含 若圆 与圆 ，则两个圆的圆心分别为 ，，半径分别为 ，，于是圆心距 。 示例：圆 （圆心 ，半径 ）与圆 （圆心 ，半径 ），圆心距 ，，，由 知两圆相交。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 一般式直线的斜率与截距 直线 （）的斜率 ，在 轴上的截距为 ，在 轴上的截距为 （）。如直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 。 1.2 直线的方向向量与法向量 直线 的一个法向量为 ，一个方向向量为 （或 ）。斜率为 的直线的一个方向向量为 ，一个法向量为 。如直线 的一个法向量为 ，一个方向向量为 。 1.3 与已知直线平行、垂直的直线系 与直线 平行的直线可设为 （）；与它垂直的直线可设为 。如过点 且平行于直线 的直线可设为 ，代入得 ，故直线为 。 1.4 过两条直线交点的直线系 过两条直线 与 交点的直线系方程为 （其中 为参数，不含直线 ）。 【使用提醒】 用交点直线系表示时不含 本身，若所求直线恰为 ，需单独检验。 1.5 圆的直径式方程 以 ， 为直径两端点的圆的方程为 。如以 ， 为直径的圆，圆心为 ，方程为 ，即 。 1.6 圆的弦长 直线被圆截得的弦长 ，其中 为圆的半径， 为圆心到直线的距离。如圆心在原点、半径为 的圆被直线 截得的弦长，由 ，得 。 1.7 过圆上一点的切线方程 圆 上一点 处的切线方程为 ；圆 上一点 处的切线方程为 。如圆 上点 处的切线方程为 。 1.8 两圆公共弦所在直线 两圆 与 相交时，公共弦所在直线的方程为 （即两圆方程相减）。如圆 与 的公共弦所在直线为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求直线的方程 根据已知条件选择适当形式：已知一点和斜率（或方向向量）→用点斜式；已知两点→先求斜率再用点斜式（或两点式）；已知在两轴上的截距→用截距式；已知一点和一个法向量→用点法式。最后通常化为一般式。如经过点 、斜率为 的直线为 ，即 。 2.2 判断两条直线的位置关系 把两条直线方程都化为斜截式（或直接看斜率与截距）：斜率相等且截距不相等→平行；斜率之积为 →垂直；否则相交。斜率不存在时单独判断。如 与 ，由 ，， 知 。 2.3 求点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 点与圆：比较点到圆心距离与半径；直线与圆：比较圆心到直线的距离 与半径 ；圆与圆：比较圆心距 与 、。如圆 （圆心 ，半径 ）与直线 ，由 知相交。 2.4 求圆的方程 几何法：直接确定圆心和半径，写出标准方程；待定系数法：设标准方程 或一般方程 ，由条件列方程组求参数。如经过 ， 且圆心在直线 上，设圆心 ，由 与 解得圆心 ，，故方程为 。 2.5 求圆的切线方程 过圆上一点：用切线公式（切线垂直于过切点的半径）；过圆外一点：设点斜式，用 （或联立消元令 ）求斜率，注意斜率不存在的情形。如过点 作圆 的切线，设 ，由 得 ，切线为 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 倾斜角求斜率 （）；锐角 ，钝角 ， 时 时 斜率求倾斜角 时 ； 时 时 两直线垂直速判 一般式 与 垂直的条件是 与 满足 ，垂直 截距式使用条件 要求 且 （不过原点、不平行于坐标轴） 过原点的直线不能用截距式 配方化标准方程 一般方程配方得圆心 ，半径 圆心 ， 圆的弦长速算 弦长 ，先求 再代入 ， 时弦长 4. 常见考试模型 4.1 圆上的点到直线的距离最值模型 公式： 圆 上动点 到直线 的距离的最大值为 ，最小值为 （当 时最小值为 ），其中 为圆心到直线 的距离。 限定： 圆心到直线的距离 ；求”距离最值”先求 ，再与 比较。 示例： 圆 上点到直线 的距离中，，最大值为 ，最小值为 。 4.2 点关于直线对称模型 公式： 点 关于直线 的对称点 ，由线段 的中点落在 上、且 列方程组求解。 限定： ， 不全为 ；反射、折叠等问题可化归为对称问题。 示例： 点 关于直线 的对称点，由中点在直线上且连线斜率为 ，解得对称点为 。 4.3 直线与圆相交的弦长模型 公式： 直线与圆相交所得弦长 ，其中 为圆的半径， 为圆心到直线的距离。 限定： 直线与圆相交，即 ；求弦长时优先用”圆心到直线的距离 + 勾股定理”，避免联立运算。 示例： 圆 被直线 截得弦长，由 ，得 。 4.4 过圆外一点作切线模型 公式： 过圆外一点 作圆的切线，设切线点斜式，由圆心到切线的距离 求斜率；斜率不存在时需检验 是否也相切。 限定： 须讨论斜率不存在的情形；切线有两条。 示例： 过点 作圆 的切线，设 ，由 得 ，故切线为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：倾斜角与斜率的对应关系，忽略 在 上不是单调函数 典例：已知直线的斜率 满足 ，求倾斜角 的取值范围。 错解：由 ，结合正切函数单调性，得 。 正解：倾斜角 。当 即 时，；当 即 时，。故 的取值范围为 。 原因：概念理解错误。学生误以为正切函数在整个定义域上单调，直接把 两边取 得连续区间。事实上倾斜角 ，而 在 和 上分别单调递增， 对应钝角（）， 对应锐角（），必须分段讨论。 易错点 2：截距是”坐标”不是”距离”，且截距式要求 ，漏掉过原点的情形 典例：求经过点 ，且在 轴、 轴上的截距相等的直线的方程。 错解：设截距式 ，代入 得 ，解得 ，故直线为 。 正解：截距相等包括截距都为 的情况（直线过原点）。当截距不为 时，设 ，代入得 ，直线为 ；当截距为 时，直线过原点，设为 ，代入 得 ，直线为 。故直线为 或 。 原因：条件遗漏。学生把”截距相等”默认理解为”两个正的截距相等”，忽略了截距可以为 （直线过原点）这一情形；同时没意识到截距式 的使用前提是 。纠正要点：涉及截距的问题先考虑”截距是否为 “，截距式不能表示过原点的直线。 易错点 3：两直线平行、垂直时忽略”斜率不存在”的情形 典例：求过点 且与直线 垂直的直线的方程。 错解：直线 的斜率不存在，无法用 判断，故满足条件的直线不存在。 正解：直线 垂直于 轴，与它垂直的直线必平行于 轴，斜率为 。又所求直线过点 ，故其方程为 。 原因：思维遗漏。学生只会套”斜率都存在时 “的结论，忘记了”一条斜率不存在时，另一条斜率为 “这一特殊情形。同理，判断平行时若两直线斜率都不存在，它们也互相平行或重合。纠正要点：涉及平行、垂直先检查两直线斜率是否都存在，斜率不存在时单独判断。 易错点 4：圆的一般方程表示圆漏掉条件 典例：若方程 表示圆，求 的取值范围。 错解：方程已写成 的形式，所以它一定表示圆， 取任意实数。 正解：配方得 ，方程表示圆需 ，即 。故 的取值范围为 。 原因：条件遗漏。学生看到 的形式就误以为它一定表示圆，忽略了圆的一般方程表示圆的充要条件是 。纠正要点：给定含参数的一般方程，先配方或计算 ，再据其符号判断”圆 / 一个点 / 无图形”。 易错点 5：求圆的切线方程漏掉”斜率不存在”的切线 典例：求经过点 且与圆 相切的直线的方程。 错解：设切线为 ，即 ，由圆心 到切线的距离等于半径 ，得 ，解得 ，故切线为 。 正解：① 当斜率存在时，同上解得 ，切线为 ；② 当斜率不存在时，切线为 ，此时圆心 到直线 的距离恰为 ，也满足相切。故切线为 或 。 原因：条件遗漏。设点斜式 默认了斜率存在，从而漏掉了垂直于 轴（斜率不存在）的那条切线。纠正要点：过圆外一点求切线时，先检验斜率不存在的情形（即检验 是否与圆相切），再设点斜式求其余切线。 易错点 6：圆与圆的位置关系，把”内切”（）与”内含”（）混淆 典例：判断圆 与圆 的位置关系。 错解：圆心距 ，两圆半径分别为 ，，，。因为 ，且 ，所以两圆内含。 正解： 时两圆内切（有唯一公共点，即切点），而内含要求 。故两圆的位置关系是内切。 原因：概念混淆。学生把”内切”和”内含”混为一谈，只记住”大圆包小圆”的画面，分不清两者在圆心距 与 关系上的区别：内切 （两圆相切，有一个公共点），内含 （两圆无公共点）。纠正要点：记准”相切必有公共点”——外切、内切都满足” 等于半径和或差的绝对值”，而无公共点的外离、内含才是严格不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $