专题03 椭圆（考点清单，6个考点梳理+7大题型解读）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题03 椭圆（考点清单，6个考点梳理+7大题型解读） 【清单01】椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 【清单02】椭圆的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 【清单03】椭圆的性质 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 【清单04】焦点三角形有关结论 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 【清单05】直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 【清单06】椭圆有关弦问题 1. 弦长公式：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 2.椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 【考点题型一】椭圆的定义 【例1】.（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1-1】.（2024高二上·福建漳州·期末）点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】.（2024高二上·全国·课后作业）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 【变式1-3】.（2024高二下·四川内江·开学考试）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】.（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【变式1-5】.（2024·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【变式1-6】.（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】椭圆的方程 【例2】.（2024高二上·山东济南·期中）（多选）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【变式2-1】.（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【变式2-2】.（2024高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（2024高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【变式2-5】.（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】椭圆有关轨迹方程问题 【例3】.（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【变式3-1】.（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（2024高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（2024高二上·全国·期中）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【变式3-4】.（2024高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【考点题型四】椭圆的性质 【例4】.（2024高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等 【变式4-1】.（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【变式4-2】.（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（23-24高二上·河南·期中）（多选）已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 【变式4-4】.（23-24高二上·北京·期中）在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ，为定值， 在中，，在中，， 所以 ，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 【考点题型五】椭圆的离心率 【例5】.（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 【变式5-1】.（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【变式5-2】.（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（2024高二上·浙江·期中）已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【变式5-5】.（2024·重庆万州·模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-6】.（2024高二上·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 【考点题型六】直线与椭圆的位置关系 【例6】.（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【变式6-1】.（2024高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式6-2】.（2024高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】.椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 【变式6-4】.（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. (3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【考点题型七】椭圆中有关弦问题 【例7】.（2024高二上·青海西宁·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求椭圆E的方程： (2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长． 【变式7-1】.已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（2024高三上·四川内江·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 【变式7-4】.（23-24高二下·广西南宁·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆（考点清单，6个考点梳理+7大题型解读） 【清单01】椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 【清单02】椭圆的方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 【清单03】椭圆的性质 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 【清单04】焦点三角形有关结论 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (3)设P(xP，yP)，焦点三角形的面积S△F1PF2＝c|yP|＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝b2tan. 【清单05】直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 【清单06】椭圆有关弦问题 1. 弦长公式：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 2.椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 【考点题型一】椭圆的定义 【例1】.（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，即， 因此，即，所以，即. 故选：B. 【变式1-1】.（2024高二上·福建漳州·期末）点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】椭圆，即， 其中 由椭圆定义可知： 得， 故选：A. 【变式1-2】.（2024高二上·全国·课后作业）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长， 又过的直线交椭圆于A、B两点， 故的周长 ， 故选：D 【变式1-3】.（2024高二下·四川内江·开学考试）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，， 即. 设，所以由椭圆的定义可得：①. 因为，所以由数量积的公式可得： ，所以. 在中， 所以由余弦定理可得：②， 由①②可得：，所以. 故选：A. 【变式1-4】.（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【详解】   设椭圆的半焦距为，则，， 如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立， 故的最大值为. 故选：A. 【变式1-5】.（2024·河南开封·三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 【变式1-6】.（23-24高二下·贵州黔南·期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则． 因为， 且，所以， 所以， 可得，则， 所以，故． 故选：B． 【考点题型二】椭圆的方程 【例2】.（2024高二上·山东济南·期中）（多选）已知曲线（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确； 对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：AD. 【变式2-1】.（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C. 【变式2-2】.（2024高二上·福建龙岩·期中）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上. 将,代入椭圆方程得: , 解得, 椭圆C的标准方程为. 故选:D. 【变式2-3】.（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案C】 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C. 【变式2-4】.（2024高二上·全国·课后作业）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】   由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：， 由题意，， 所以，，，， 所以椭圆方程为：， 当椭圆焦点在轴上时，同理可得：， 故选：B 【变式2-5】.（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 【考点题型三】椭圆有关轨迹方程问题 【例3】.（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ； 【答案】 【详解】设动圆的半径为，由已知得： 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径， 圆可化为标准方程：， 即圆心，半径，， 经分析可得，，则. 由题意可知：， 两式相加得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 可设方程为， 则，，，，， 所以轨迹的方程为. 故答案为： 【变式3-1】.（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 故选：D. 【变式3-2】.（2024高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 【变式3-3】.（2024高二上·全国·期中）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】 【详解】圆，圆 因为圆M与圆外切，所以， 因为圆M与圆内切，所以，， 两式相加得， 所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为. 【变式3-4】.（2024高二·全国·课后作业）下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】② 【详解】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在； ②中，因为，所以点P的轨迹是线段； ③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即. 故答案为：② 【考点题型四】椭圆的性质 【例4】.（2024高二下·上海杨浦·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等 【答案】C 【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为； 椭圆即，因为， 则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为, 故两个椭圆的焦距相等． 故选：C． 【变式4-1】.（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为； 当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为． 故选：D． 【变式4-2】.（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 【变式4-3】.（23-24高二上·河南·期中）（多选）已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 【答案】 BC 【详解】椭圆：（），即， 椭圆（），， 则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确； 的离心率为，的离心率，故C正确； 因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上， 则与有2个公共点，故D错误. 故选：BC. 【变式4-4】.（23-24高二上·北京·期中）在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆的形状，即用平面截圆柱面，当圆柱的轴与平面所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球，嵌入圆柱内，使它们分别位于平面的上方和下方，并且与圆柱的侧面相切，和平面相切于，两点，与交于点.过截线上的任意一点作圆柱的母线，设母线与上下两个球分别相切于点，（如有必要，需自己作出）.证明：截线是椭圆，且就是长轴长.请将下述证明补充完整. 证明：因为两球和平面分别相切于，两点，那么对于每个球来说，球外一点向球作切线，切线长相等，即，， ，为定值， 在中，，在中，， 所以 ，所以截线上的点满足椭圆的定义， 所以截线是以，为焦点的椭圆，就是长轴长. 【答案】 【详解】根据题意，，分别为两球面的切线，切点为，， 又两球和平面分别相切于，两点，，， ，为定值. 在中，，在中，， ，即， 所以截线是椭圆，且就是长轴长. 故答案为：；. 【考点题型五】椭圆的离心率 【例5】.（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】 由，，得， 而，由勾股定理有， 所以，所以，故． 故答案为：. 【变式5-1】.（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形， 设， 因为，，则， 且，可得，， 又因为，则， 在中，则， 可得， 即，解得， 所以椭圆C的离心率． 故答案为：． 【变式5-2】.（2024高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则直线：，由，得，即，    而，，由，得，即， 有，又，因此， 所以E的离心率为. 故选：A 【变式5-3】.（2024高二上·浙江·期中）已知、是椭圆的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点为，由题意得：，， 由椭圆定义得：，所以， 故选：B． 【变式5-4】.（2024·湖南岳阳·二模）已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点，而，则， 由，得，即， 因此点在以为圆心，半径为的圆上，而点在椭圆上，则圆与椭圆有公共点， 由椭圆的几何性质知，即，亦即， 整理得，即，所以椭圆离心率， 故答案为： 【变式5-5】.（2024·重庆万州·模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以，即， ， 又因为点，为椭圆上的两点， 所以，两式相减可得：，即， 所以， 因为，所以， 所以，即，即， 因为，所以， 又因为，为椭圆上的两点，所以， 所以，解得：，即. 故选：C. 【变式5-6】.（2024高二上·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是 【答案】 【详解】如图示，由椭圆定义可得 , 则的周长为4a,设， 设内切圆半径为，的内切圆的周长是， 故 ， 由题意得 ，    得，由于，故， 所以由可得， 故答案为： 【考点题型六】直线与椭圆的位置关系 【例6】.（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知椭圆E：的左焦点，过点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆E的方程； (2)设A，B是椭圆E的左、右顶点，是椭圆E的右焦点，过点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（点M在x轴的上方），直线AM，BN分别与y轴交于点P，Q，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）根据题意，当时，代入椭圆方程，得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）是定值，理由如下： 由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得，则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【变式6-1】.（2024高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【变式6-2】.（2024高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：B 【变式6-3】.椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点． (1)求椭圆C的方程； (2)若面积为3，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为. （2）当直线与轴重合时，不符合题意， 设直线的方程为，联立， 可得， ， 设，由韦达定理可得，， 则， 则， 解得， 所以直线的方程为. 【变式6-4】.（23-24高二下·重庆·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值. (3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得① 又由，所以②， 由①②联立且，可得， 故椭圆的标准方程为； （2）易知，则，所以， 设，联立与有， 则，由解得， 到的距离即为在边上高的最小值，即， 此时面积的最小值； （3）设，则，即， 又由，得， 整理得， 再代入得，即， 所以， 同理令，，则， 则，， 则直线的方程为 ， 同理的方程为 ， 两式相减，整理得，即点在定直线上. 【考点题型七】椭圆中有关弦问题 【例7】.（2024高二上·青海西宁·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． (1)求椭圆E的方程： (2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点， 直线的斜率，解得，， 所以， 椭圆的方程为； （2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为， 由，解得或，不妨令、， 所以. 【变式7-1】.已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于，两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， ，， 故椭圆的离心率． 故选：B． 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则，， 且，， 作差得，所以， 即直线l的斜率是． 故选：C． 【变式7-3】.（2024高三上·四川内江·期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆， 则，所以， 因此动点的轨迹的方程是. （2）如图：    不妨设点在轴上方，连接， 因为分别为有中点，所以， 所以， 当直线的斜率不存在时，其方程为，则，， 此时； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 设，，显然直线不与轴重合，即， 联立，得， 则，， 所以， 又点到直线的距离， 所以，令， 则， 因为，所以， 所以，所以. 综上，，即的最大值为. 【变式7-4】.（23-24高二下·广西南宁·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可得， ，又， 解得，椭圆方程为； （2）若为钝角，则， 由题可得， ，又， 解得; （3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设，联立， 消去得， ， 直线的方程为，令，得， . 同理可得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$