黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026~2027学年度高三年级第一学期10月份月考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数及其性质、导数及其应用、三角函数、 解三角形，平面向量与复数，数列。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={xlx2-5.x<0),N={x3-1>1},则M∩N= A.(0,1) B.(1,5) C.(0,2) D.(2,5) 2.已知数列{a,》满足a1=-1,a+1=2-1,则a2a3a4a5= a A.9 B.3 c. D 3.已知单位向量a,b满足|2a十b=7,则向量a与b的夹角的余弦值为 A.2 B一司 c D.- 4 4.已知复数=1十2i,则 A.2=3+4i B.1(1-i)z|=√5 C.复数的虚部为1 D.复数在复平面内的对应点在第一象限 5.已知函数fx)=sin一Bc0sax(w>0),x∈R,若函数fx)在（一-2g,2g）上单调递增， 且图象关于直线=-2g对称.则f代)一 A.2- B②⑧ 4 C②6 D.②6 4 2 【高三年级10月份月考·数学第1页（共4页）】 27-X-025C 6.已知等比数列{an}是递增数列，其前n项积为Tm,若一8a1,a12,a13成等差数列，a14=32,则当 Tn取最小值时，n= A.9 B.11 C.13 D.15 7.已知x>0,y>0,x十2y=3,则 Ay的最小值为号 B.3+9的最小值为23 C.x(x十y)的取值范围是(0,9) D+芳的最小值为4 8.若e十2x≥mx+2xnx+2xlnm对x>0成立，则实数m的最大值为 A日 B.1 C.2 D.e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若命题p:3x>0,lgx>2.x,则7p:Hx>0,lgx≤2x B“>1”是“是<1”的充分必要条件 C.若函数y=x2-a.x十1在(-1,2)上不单调，则实数a的取值范围是（一2,4） D.若函数f(x)=(m2一m一1).x”是幂函数，且f(x)是奇函数，则f(m)=一1 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=1,a5=7,则 A.存在正整数i,j,k(i<j<k),使a:,S,Sk成等差数列 B.数列{(-1)"an}的前100项和为100 C数列受的前10项和为1950 D.数列 5}的前10项和为 11.若xlnx-(k一1)x十k>0对x>0成立，则实数k的取值可以是 日 B号 c号 D.4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=(g+bx)cosx+2,a,b∈R.若f(2)=3,则f(-2)= 13.已知a是第二象限角，且18cos2a十12sina=19,则tan2a= 14.已知数列a的前n项和为S,且a,十S,=6一2.设A=2数列，}的 (n+2)a 前n项和为Tn,则T,= 【高三年级10月份月考·数学第2页（共4页）】 27-X-025C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=4 sin xsin(x+p),0<p<π，且f(5)-2. (1)求的值和函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈(0，是器)时，求fx)的取值范围. 16.(本小题满分15分)》 已知数列a清足：a+号+号+十==-3，nN. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若b,=an十log3a+1,求数列{bn}的前n项和Tm 17.(本小题满分15分) 已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sin Bcos C+cos Bsin C)=bsin B+ (26+c)sin C. (1)求A: (2)设△ABC的面积为2，a=25,D是BC边的中点. (ⅰ)求△ABC的周长； (ⅱ)求BC边上中线AD的长. 【高三年级10月份月考·数学第3页（共4页）】 27-X-025C 18.(本小题满分17分)》 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=l,nSw+1=(n十1)(n十2Sn). (1)求证：数列 S,+”是等比数列，并求出数列{an}的通项公式： 2)令么一中记数列么的前n项和为 (i)求Tn; (i)若对任意的n∈N,均有(3m+7)m≥(2m-7)(S-T)·2恒成立，求实数m的 取值范围。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(.x)=(x2-5.x十7)e,设f(-1)=m,f(t)=n,t>-1. (1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[一1，]上单调； (2)试判断m,n的大小，并说明理由； （8》若存在∈（一10，满足-号(：-1，求1的取值范围并确定满足条件的的 个数 【高三年级10月份月考·数学第4页（共4页）】 27-X-025C2026~2027学年度高三年级第一学期10月份月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.BM={x|0<x<5},N={xx-1>0}={xx>1},M∩N={x1<x<5}.故选B. 2A因为4，=1=2=8，a=2-=号a=2古-号a=2=号 =7,所以a2asa4a6=9.故 选A. .A由单位向量a,b满足2a十b1=万得4十4a·b十1=1，a·6=合，设向量a,b的夹角为0，则os0= a·b 1a·b-之.故选A 4.Cx2=(1十2)2=1十4i+4=一3十4i,A不正确：因为(1-Dz=3+i=√0，所以B不正确；5i 5i1一2=2+i,虚部为1，C正确：i=i1+2)=一2+i,对应点为(-2,1)在第二象限，D不正确.故选C 5 5.D)=2sin(omr一音)，由题意知-2管-子=-吾，所以d=子w>0,所以w之fom=/(受） =2sin(至-吾)=B,6放选n 2 6.B设{an}的公比为g,则一8ag0+a2=2a1q',所以一8十=2q,所以q=一2或4，因为{a}是递增数 列，所以q=4,又4q3=32,所以a1=2”,an=ag1=23,前n项积为Tn=22x1-3+2×2-23)++2w3= 2w22,所以n=11时，Tn最小.故选B. 7.C因为>0，y>0,x+2y=3,所以x+2≥2V2,<号，当且仅当=2y=号时取等号，y的最大值 为号，A错误：因为3+9>≥2V3·9=2V西=65，当且仅当3=9，x=2y=号时取等号，B错误 因为+)=(3-23-)=2y-9+9=2(-》'-号，由条件知0<y<号，所以品<(y-号)月 <器，所以0<十<9，C正确：是+云士+等=1计+云3，D错误放选C 8.D由e+2x2≥mx+2zlnx+2xlnm得g+2(x-lnx)≥m+2lnm=eam+2lnm,令x-lnx=t,则e+2t ≥enm+2lnm.因为y=e十2x在R上单调递增，所以lnm≤1=x-nx,记f(x)=x-lnx,则f(x)=1一 士=号f)=0>1时，)0：0长<1时，0.所以)的最小值为=1，所以hm≤ 1,0<me.故选D. 9.ACD由全称命题与特称命题的否定知A正确：因为>1时，<1成立，但上<1时，x>1或x<0,B错 误：由-1<2<2得-2<a<4,C正确：因为f(x)=(m2-m-1)x“是幂函数，所以m2-m-1=1,m=2或 -1,f(x)=2或f(x)=,又fa)是奇函数，所以m=-1,f(m)=与=-1，D正确.故选ACD. 10.AB设等差数列(a.}的公差为d,由a2=1,as=7得d=2,=-1,所以aw=2m-3,S,=ua十a)= 2 n(n一2).因为a2=1,S4=8,S=15,1,8,15成等差数列，A正确；当n为奇数时，（一1）”am十（一1）+a+1 -(2-3)+(2m-1)=2,所以{(-1)am}的前100项和为100，B正确：三=1-2，{m-2的前100项和为 n 四士8-4850，C错误因为子”士中所以5己}的前10m项和为1-寸十之 子+了古+十成应=1+日向品≠器D错误故选A业 山.0当x=1时，hx一k-1Dz+友=1>0：当>1时hx一k-Dx十>0化为<血，设/) 【高三年级10月份月考·数学参考答案第1页（共4页）】 27-X-025C -半>D则了✉)=北2，令a)=-hx十x一2>.则)=号+1.所以当 x-1 x>1时，'(x)>0,(x)在(1，十∞)上单调递增，而a(3)=1-ln3<0,(4)=2-ln4>0,所以存在 xm∈(3,4)，使u(x)=0,即n-2=lnan,当x∈(1，xn)时，f(x)<0,函数f(x)单调递减.当x∈ (xm,十∞)时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，所以f(x)在x=xo处有极小值（也是最小值），所以f(x)mm )=ln十=一2)）+西=0.又k<f)恒成立，所以k<f(x)m=n.当0<<1时，k> xo-1 x0-1 边中，设g)=0<1g0=b多0<<.由da)=-hx+x-20< x-1 <1,则()=司+1，所以当0<<1时，()<04()在0,1)止单调递减(）=是>0，（日） =。-1<0,所以存在∈（合，））=-hn+-2=0,ln西=-2.0<<n时()>0， g(x)>0,g(x)在(0，)上单调递增；<x<1时(x)<0,g'(x)<0,g(x)在(，1)上单调递减.gmx(x) -g)n2=.综上，n<k<其中西∈（日，是）∈(3,4），所以k可以取号，号，不可 x-1 以取日，4.故选BC 12. 已知得fx)+f-)=2+2,所以f2)+f(-2)=4+子，f-2)=4+-3=, 13. 35 17 因为18cos2a+12sina=19,所以18(1-2sin2a)+12sina=19,sina= 合，因为a是第二象限角， 65,tan a-sin a 3 1 所以cosa= 2tan a=- os&-/3需tan2 1tan0。 35 17 14.1- i20∈N)因为a,十5=6-24，所以2a,=6-4=2,a+S1=6-去，所以a=1,2a 1 -a,=去，所以21a1-2a,=4,2a=2,所以(2a,是首项为2，公差为4的等差数列，所以2a,=2+ 40r-1D=4M-2a.-2只则a-2an2-2 (n+2)an n+2 1 (0m十1)2，所以{6}的前n项 1 和T.=(1-)+(文)++(x2x0+D)1 1 1 (n+1)2m1 15.解：)因为f(受）=4sin受sim(受十9）=4cosp=2, 2分 所以c0s9=2,又因为0<g<,所以9=5 …4分 因为f(x)=4 sinsin(x+号）=2simx+25 sin cos=1-cos2x+/3sin2x=2sin(2x-吾)+1， 6分 所以f(x)的最小正周期T=经=元 7分 (2)由2x一受<2：一音≤2x+登，k∈Z得x看<1x+苔，kcZ.所以函数的单调递增区间为 [k红晋，x十登]，∈乙同样可得)的单调递减区间为[x十晋，kx+],∈乙 …9分 所以()在(o,)上单调递增，在(5，)上单调递减。 f0)=0,f(于）=3,2=f(）f(g）3,… 11分 所以当0<<爱时，0<)<3，即)的取值范围是(0,3]. 13分 16.解：1因为a十号十号十…十名=3-3，nN, 当n=1时，01=3-3=0，… …2分 【高三年级10月份月考·数学参考答案第2页（共4页）】 27-X-025C 当≥2时a十号+学++==31-3. 所以写2=3”-3-(3"1-3)=2X3”,… 4分 所以an=2X32w2(>1), 5分 0,n=1, 所以an= 12X32m-2,n>1. 7分 (2)由题可知b,=an十l0g3a+1=an十2n十log32,…8分 所以Tn=(a十a2十a3十…十an)十2(1十2十3+…十n)十nlog32,…9分 令Sn=a十a2十a3十…十an,则S=a=0, 10分 0>1时，S=0+2×32+2×3++…+2X32=-2+21-92_9”-9」 1-9 4 又=1时，92=0=S,所以8=9,9mN, 4 13分 因为2(1+2+3+…十0)=2X10=m+, 2 14分 以T,=十7十（自+l0g2)h… 15分 17.解：(1)由条件得bsin B+csin C.-asin A=-√2 bsin C, 由正弦定理得b十c2一a2=一√2bc,… 2分 由余弦定理得cosA=+2-d-一 2bc 2, 4分 因为0<A<x,所以A-平 6分 (2)(1)由△ABC的面积为2 bcsinA=-2,A=平得6c=4巨， 7分 又b+c2-a2=-√2bc,a=2√5， 所以(b+c)2=b2十c2+2bc=a2-√2bc+2bc=12十8√2=4（√2+1）2，…9分 所以b十c=2(W2+1),所以△ABC的周长为a十b十c=2/5+22+2.…11分 (注：结果为2√5+√12+8√2不扣分) ()因为D是BC中点，所以Ai=号(A店+AC… ……12分 所以A市=子萨+A花+2A市.AO=子(2+G+2c·osA)=子a2-22)=1,.14分 所以AD1=1.即BC边上的中线AD的长为1.… 15分 18.1)证明：因为nS+1=(m+1)(m+2S),所以S1=+1)n+2S2 …1分 所以1器+1=5+1=5， …2分 S+十n十1 因为=1，所以3中=2.所以3，≠0，且 1 三2，… n S.+n 3分 n 所以S十是首项为2，公比为2的等比数列… 4分 n 所以S十1=2”，S,=n(2”-1D. …5分 当n>1时，a=S。-S,-1=(2-1)-(n-1)(2r1-1)=(n十1)2-1-1； 又n=1时，(n十1)2-1-1=1，所以{an}的通项公式是an=(n十1)2"-J-1. 6分 (2)解：(1)油(1)知6，=+1D=, （%十7)74，…7分 所以工=2+是+章+…+0. 【高三年级10月份月考·数学参考答案第3页（共4页）】 27-X-025C 所以=是+是++…@， ①-②得： 1 是=2++是 _+1=1+ 4 n+17_4× 1+1 4-了 4” 4” 3 3 …9分 1 所以T,=283m+7 99X4"可· 10分 (i)h题意，对任意的u∈N,均有(3十)m≥(21-D(S-T）·2恒成立， f以(307）21-7）（31十7.20，.. 9×4"J 12分 即m≥4X21恒成立，………13分 9 设dn=2”-7 所以d+1-d,=205_21-1_9-2 2+7 当n≤4时，dn+1一dn>0,即d+1>dn；… 14分 当n≥5时，d山n+1-dn<0,即dn+中<dn,…15分 所以4，的最大值为山，=最 16分 所以m≥号×是= 放m的取值范围足[十e) 17分 19.解：(1)f'(x)=(x2-5.x+7)e+(2x-5)e=(x-1)(x-2)e.由f'(x)>0,得x>2,或x1;由f(x)< 0,得1<x<2. 所以f(x)在（一∞，1），(2，十∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减.…2分 因为函数f(x)在[一1，t]上为单调函数， 所以一1<1≤1.故当t的取值范围是（一1,1]时，使得函数f(x)在[一1，t]上单调.…4分 (2)m<. 5分 因为f(x)在(-∞，1)，(2，十∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以f(x)在x=2处取得极小值为f(2)=e己.又因为f(-1)=13<, …6分 所以f(x)在[一1，十∞)上的最小值为f(-1).故当>一1时，f(-1)<f(t),即m<. …8分 3图为f2=(-10-2,且-号-1，所以-1a-2》=号-1.…9分 e'0 令g)=(x-1D-2》-是4-10， 则问题转化为讨论g(x)在（一1，）上有零点，求t的取值范围，并讨论零点的个数.…10分 因为g-1D=6-号u-10=-号u+1D4-3,g0=-1D-2)-24-1)=-2+1D-1D. 且g(在(-1，号)上单调递减，在（号，十∞）上单调递增，g④）=g(-1D. …12分 所以①当-1<1<号时，g(-1Dg0<0时，g()在(-1,0上有一个零点，此时1<1<号： …13分 且当一1<≤1时，g(t)≥0，g(x)在（一1，t)上没有零点；…14分 ②当号<1<3时，g(-1D>0,g0<0,g()在(-1,0上有-个零点：… 15分 ③当t≥3时，g(-1)≤0，g(t)<0,g(x)在(-1，t)上没有零点.…16分 综上，t的取值范围是(1,3)，且有唯一的xn适合题意.……17分 【高三年级10月份月考·数学参考答案第4页（共4页）】 27-X-025C