精品解析：黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2026届高三上学期第二次月考数学试题

宾县一中2025－2026学年度高三上学期第二次月考 数学试卷 命题人：高二数学组 2025.11.04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”成立的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再由充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】因为或， 所以，但成立推不出， 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知向量，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，求得，进而利用即可求解 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以转化为的表达式，代入求解即可. 【详解】因为，分子分母同除， ， 故选：D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB：以正方体为载体，举反例说明即可；对于CD：面面平行、垂直分析判断即可. 【详解】作正方体， 对于A，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线异面，故A选项错误； 对于B，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线不垂直，故B选项错误； 对于C：若，，，则，故C选项错误； 对于D：若，，，则，故D选项正确. 故选：D. 5. 已知等差数列的前6项和为60，且，则（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由通项公式及前项和公式代入求解即可. 【详解】由， 可得：，即， 又， 所以， 所以. 故选：C 6. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合得，利用正弦定理得，进而得，由已知求得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理有：，又，所以， 又由正弦定理有：， 又， 所以， 又为三角形的内角， 所以或（舍去），所以，又， 所以 ，所以， 所以， 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，求得，根据题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 因为函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得， 则满足，解得，所以的取值范围为. 故选：C. 8. 已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导可得为单调递减函数，即可求解. 【详解】由于的定义域为，且， 故， 因此， 因此为单调递减函数，由于，故故， 即， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由于，则，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，若，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A错误； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B正确； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求解. 详解】. 故答案为：． 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列性质结合对数运算运算求解即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，可得， 所以. 故答案为：5. 14. 已知函数且满足则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】函数有意义，由，解得， 即的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 且， 函数和都是上的增函数，所以为上的增函数， 由，得， 则有，解得， 同时有，解得， 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知分别为的三个内角的对边，若边上的高，，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理即可求解； （2）通过求得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 （1）因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以的面积 16. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程. （2）当，求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值，极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线斜率，利用直线的点斜式方程即得； （2）对函数求导，分析函数的单调性，即得函数的极值. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，而， 故函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，函数的定义域为， 则， 令，得或；令，得， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值； 在处取得极大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形．其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，则直线平面； （2）求二面角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证得平面，平面，利用面面平行的判定定理证得平面平面，利用面面平行的性质定理证得平面． （2）由平面得到，A点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，求出平面的一个法向量， 求出平面的一个法向量为，设二面角的大小为，利用数量积求出，利用公式求出二面角的正弦值． 【小问1详解】 在线段上取一点，使，连接， 因为，则， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又，，点为中点，， 所以平行且等于，即四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面， 因平面，平面， 所以在平面内一定存在一条直线与直线平行， 所以平面． 【小问2详解】 如图所示， 因为平面，， 所以以A点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 所以由题意得：，，，， 又点为中点，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为：， 则， 令，，所以， 设平面的一个法向量为：， 则， 令，，所以， 设二面角的大小为， 所以， 所以二面角的正弦值为：． 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案； （2）由题意可得即恒成立，设，利用导数求出的最大值即可． 【小问1详解】 当时，， ， 令，则， 故在上单调递减，而， 因此0是在上的唯一零点， 即0是在上的唯一零点， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，递减区间为； 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以． 所以的取值范围为． 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字（，，…，）来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，，记，加密矩阵，加密过程是，其中，，则密文为数字，分别对应的字母，若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，如若得到，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“me”的希尔密码的密文． （2）若，． （ⅰ）证明：在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）已知分别为的内角的对边，，且，恒成立，证明：． 【答案】（1）ec （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义计算即可求解； （2）（ⅰ）由定义结合三角恒等变换得出，令，得出，或，，结合分类讨论即可证明；（ⅱ）由平面向量数量积的定义及运算律，余弦定理，勾股定理逆定理即可证明． 【小问1详解】 “me”对应的数字分别为12，4，则， 28对26的余数为2，所以密文两个字母对应的数字分别为4，2，则密文为“ec”． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知， 所以． 令，则， 所以，或，， 若，则只能取0，从而或， 即方程在区间上有2个解， 所以在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）在中，，则由（ⅰ）可知． 在中，， 由余弦定理得， 由两边同时平方得， 化简得，即恒成立， 则关于二次方程至多只有1个实数根， 所以， 又，所以． 所以，从而，， 所以，即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾县一中2025－2026学年度高三上学期第二次月考 数学试卷 命题人：高二数学组 2025.11.04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 已知等差数列的前6项和为60，且，则（ ） A 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 在中，角所对的边分别为，且，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的导函数，同时，对任意，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知，若，则（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 10. 已知向量，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则______. 14. 已知函数且满足则实数a取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知分别为的三个内角的对边，若边上的高，，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 16. 设函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程. （2）当，求函数的极值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形．其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点． （1）证明：若，则直线平面； （2）求二面角的正弦值； 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若，求a取值范围． 19. 希尔密码是基于矩阵运算的一种加密算法，在希尔密码中，每个英文字母都用数字（，，…，）来代替，其加密过程如下：假设明文中2个字母对应的数字分别为，，记，加密矩阵，加密过程是，其中，，则密文为数字，分别对应的字母，若所得数字大于25，则取该数对26取余数后余数对应的字母，如若得到，则取数字4对应的字母． （1）若加密矩阵，求明文为“me”的希尔密码的密文． （2）若，． （ⅰ）证明：在区间上有且仅有2个零点． （ⅱ）已知分别为的内角的对边，，且，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $