上海市骏博外国语学校2026-2027学年上学期10月 九年级数学学情自测卷

骏博外校九年级第一学期数学10月大作业 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（ ） A. 当时，抛物线开口向下 B. 抛物线与轴交点坐标为 C. 顶点坐标是 D. 当时，顶点是抛物线的最低点 2. 已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（ ） A. B. C. D. 是与的比例中项 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 顶角为的两个等腰三角形相似 B. 一个锐角为的两个直角三角形相似 C. 一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D. 两个等边三角形一定相似 4. 已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（ ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A. B. C. D. 5. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是的边、、的中点，求证：．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（ ） A. 可证，进而证得 B. 可证，，进而证得 C. 可证，，进而证得 D. 可证，，进而证得 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么的值是______． 8. 已知，，在函数的图象上，则的大小关系______． 9. 若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________． 10. 如图，直线，如果，，那么长______． 11. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为______． 12. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 13. 如图，已知点D、E分别在线段和上，点F是与的交点，，如果，，，那么的长等于 _____． 14. 数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是______． 15. 如图，在中，是上的高，且，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，如果设为，矩形的面积为，那么关于的函数关系式是_____． 16. 定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 17. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题：（本大题共7题，满分77分） 18. 已知抛物线经过点、、． （1）求该抛物线的表达式及其对称轴l； （2）如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积． 19. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点F、G，连接，使∽，且； （2）在图②中，在边上画点H，使得． 20. 如图，四边形中，，是的中点，，．求证： （1）； （2）平分． 21. 已知：如图，在中，，点D、E分别是边、的中点，，与相交于点F，的延长线与相交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 22. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，直线分别交x轴、y轴于点，点C在直线上，且． （1）求的长； （2）如图2，已知点P在线段上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，连接，． ①如果直线的表达式为，求t的值； ②延长交x轴于点D，连接，若在射线上有一点G，使得以C、B、G为顶点的三角形与相似，求点G的坐标． 24. 已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． （1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； （2）联结，如果平分，求a的值； （3）点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 骏博外校九年级第一学期数学10月大作业 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】## 三、解答题：（本大题共7题，满分77分） 【18题答案】 【答案】（1），直线 （2）24 【19题答案】 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2） 所作图形如图所示： 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，∵， ∴； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2） 证明：∵，点是边的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 由（1）已证：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∴． 【22题答案】 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【23题答案】 【答案】（1） （2）①；②或 【24题答案】 【答案】（1）直线， （2） （3）直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $