精品解析：北京市第四中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

2026北京四中高三10月月考 数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 函数的定义域是_______________． 12. 已知，则________． 13. 已知，则函数的最小值为________． 14. 在中，为角C的平分线，若，，则等于______． 15. 已知定义在上的函数与，将函数的零点从小到大排成数列．给出下列四个结论： ①； ②函数共有6个零点； ③对任意，存在，使得当时，总有； ④将函数的零点从小到大排成数列，则． （参考数据：） 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值与最小值． 17. 在中，． （1）求B的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，．求的值． 20. 设函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）设和分别为的零点和极大值点，求证：． 21. 已知集合（且），，且．若对于任意，，当时，总存在，使得，则称A是S的m元美子集． （1）判断下列集合是否是的3元美子集，请直接写出结论； ①；②． （2）若是的4元美子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京四中高三10月月考 数学 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】先求集合，，所以， 再求集合，，因为，所以，所以， 因此的区间为. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法计算得到，即可求得 【详解】， 所以. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，当时，此时，故错误， 对于，函数单调递减，当时，，故错误， 对于，函数在定义域上单调递增，当时，，此时，故错误， 对于，，，正弦函数在上单调递增，，故正确. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数和三角函数以及对数函数的单调性，分别比较与的大小关系. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以. 所以 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理结合边角关系求解即可； 【详解】题意可知，，， 由正弦定理可知 因为，所以 6. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】验证必要性：若，代入，利用三角函数诱导公式化简，结合的奇偶性判断. 验证充分性：若，利用三角函数的诱导公式，推导与的关系. 【详解】必要性证明： 已知， 若为偶数，设，则，， 故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明： 由得， 根据的通解：， 代入得：， 因此充分性也成立， 综上，“”是“”的充分必要条件. 7. 已知函数，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的值域可推断在和处分别取得最大和最小值，因此区间的长度需要超过周期的一半，再用表示，且两数要在上述区间中，求解不等式可得答案. 【详解】函数的值域为，而，则和必定一个为，一个为， 不妨设，， 函数的周期，要使，且，， 则，即， 对于函数， 有，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，不满足； 若，即，故. 同理，，则，其中， 因为，所以，解得，其中， 因为，所以， 若，即，结合，即. 综上所述，的最小值为 8. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 9. 已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，，单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正实数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 10. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造奇函数，利用单调性和奇偶性化简不等式，再利用换元法把三角恒成立问题转化为二次函数求最大值，进而求出m的范围． 【详解】令，其定义域为， ，故是奇函数， ，和在上均单调递增，故在上单调递增， 不等式等价于， 即， 由奇偶性可得， 结合单调性可得， 已知不等式在上恒成立，则在恒成立， ，令， 则是开口向下，对称轴为的二次函数， 故，则， 故m的取值范围是． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 函数的定义域是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式组，得且，故函数的定义域为． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 13. 已知，则函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合，将函数变形为，将其化简再结合基本不等式可以求出最小值. 【详解】，， 由， . （当即时，“=”成立.）. 的最小值为. 14. 在中，为角C的平分线，若，，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由为角C的平分线，得，不妨设，，根据正弦定理及二倍角的正弦公式即可求解． 【详解】因为为角C的平分线， 所以， 因为，所以， 不妨设，， 在中，， 所以， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 15. 已知定义在上的函数与，将函数的零点从小到大排成数列．给出下列四个结论： ①； ②函数共有6个零点； ③对任意，存在，使得当时，总有； ④将函数的零点从小到大排成数列，则． （参考数据：） 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查函数的零点问题，以及需要结合的性质解题；对于①，在上，，，则，即；对于②，要对，变形整理得，将的零点转化成与的图象交点；对于③，取即可；对于④，结合②的图象分析，函数，在上单调递增，随着曲线越来越高，相邻零点之间的距离会变大即可得答案. 【详解】对于①，因为，所以， 因为，所以，又因为， 所以，即，故①正确； 对于②，， 的零点满足的条件是，即， 整理得， 因为，所以，即，两边取对数得， ， 所以的零点只能在区间内，画出与的图象，如图所示， 在内，，从1降到-1，此时与有1个交点； 在内，，从-1升到1，此时与有1个交点； 在内，，从1降到-1，此时与有1个交点； 在内，，从-1升到1，此时与有1个交点； 在内，，从1降到-1，此时与有1个交点； 在内，，从-1升到1，此时与有1个交点； 在内，从1开始下降，而，所以与有1个交点 综上所述，函数共有7个零点，故②错误； 对于③，，因为，所以， 要，则，两边取对数可得，解得， 取，当时，有，故③正确； 对于④，由②可知，函数，在上单调递增，随着曲线越来越高，相邻零点之间的距离会变大，设函数的零点，从左到右，依次为，，，， 则，整理得，故④错误. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值与最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间. （2）取得最大值为，取得最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦函数的性质即可求出； （2）先确定的范围，再结合正弦函数的图像即可求出. 【小问1详解】 由题意得，， 的最小正周期为, 令，解得，故的单调递增区间. 【小问2详解】 当时，, 当时，即，取得最大值为， 当时，即，取得最小值为. 17. 在中，． （1）求B的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1） （2）选择条件①：；选择条件②：不存在；选择条件③：或 【解析】 【分析】（1）正弦定理边化角，切化弦化简得，从而求出角； （2）选①：利用中线定理结合余弦定理求边，再利用三角形面积公式计算； 选②：利用已知条件结合正弦定理推出两角均为钝角，进而得出三角形不存在； 选③：利用余弦定理求，再利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 由正弦定理，故，结合得， ，即， 已知，故，故，即， 又，故． 【小问2详解】 已知，， 选择条件①：边上中线的长为， 设中点为，则， 由中线定理，即， 由余弦定理， 联立可得，解得（舍去）或， 故； 选择条件②：， 由得为钝角，， 由正弦定理， 由大边对大角得，但为钝角，故，故满足条件②的不存在； 选择条件③：， 由余弦定理，代入得：， 即，解得或，均符合三边关系， 当时，； 当时，． 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求导判断符号，确定函数单调区间； （2）分离参数转化为函数最值问题，求得参数范围为 【小问1详解】 当时，，定义域为. . 令，即，解得. 当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 对，恒成立. 因为，所以分离参数可得恒成立. 则题干问题等价于，令. 求导得. 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此在处取极小值同时也为最小值，. 所以，即的取值范围是. 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，．求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率,以及椭圆过点，列出相应的等式，解方程组可得答案. （2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，，然后求出点P,Q的坐标，进而表示出，将，代入化简即可得结论. 【小问1详解】 由题意得 解得，， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在． 设直线的方程为（），，， 由，得， 则，， 依题意，解得． 因为点的坐标为，所以直线的方程为． 令，得点的纵坐标为， 所以． 同理，可得． 于是 ， 所以. 20. 设函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）设和分别为的零点和极大值点，求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由题意可得，即， 因为，恒成立，要使成立，则，即，， 当时，由（i）可知，，此时，成立； 当时，由（i）可知，，此时， 由得， 因为， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，当时，只有一个极值点，不符合题意，当时，结合题意可得，再检验即可求解；（ii）由题意可得，当时，，计算即可证明，当时，，由得，根据计算即可证明. 【小问1详解】 由题意得， 得到，， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）令，得，即， 当时，恒成立，只有一个实数解， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调增，在区间上单调递减， 此时函数只有一个极大值点； 当时，要使函数存在两个极值点， 则在有解，所以； 检验，当时，令，得，此时， 当时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间单调递减， 所以函数的极值点为和符合题意； 同理，检验时，令，得，此时， 当时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间单调递减， 所以函数的极值点为和符合题意； 综上：实数的取值范围为； （ii）略. 21. 已知集合（且），，且．若对于任意，，当时，总存在，使得，则称A是S的m元美子集． （1）判断下列集合是否是的3元美子集，请直接写出结论； ①；②． （2）若是的4元美子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）不是S的3元美子集；是S的3元美子集 （2）的最小值为20 （3）证明：设，假设存在某个，使得， 由，可得， 根据美子集的定义可知，只要集合内两个任意元素之和小于等于，则两元素之和一定属于集合，所以，，，是中的元素，且共有个不同的元素； 因为，所以上面的个元素全都大于， 且均属于集合，但是集合中仅有个元素，一个只有个元素的集合，不可能容纳个元素，所以矛盾， 因此假设不成立； 所以设，对任意的，都有，于是 即； 取等号时，所有配对和等于，则 故，由夹逼得， 而， 而介于只有，故， 依次类推有，故等号成立时为等差数列，公差为， 故， 所以，得，， 由题可知，，所以， 即， 当且仅当且时等号成立； 【解析】 【分析】（1）根据m元美子集的定义判断可得结论； （2）不妨设，由，，分别由定义求得的最小值； （3）用反证法证明存在某个，使得，不成立，因此对任意的，都有，由此即可证明. 【小问1详解】 因为，又，所以不是S的3元美子集; ，， 因为，，，， 即除外中任意两个元素之和都大于5，不存在满足的元素对， 符合美子集的定义，所以是S的3元美子集. 【小问2详解】 要使最小，不妨设， 若，则，故，同理， 可推导出集合的元素个数大于4，不满足4元美子集的条件； 若，若取，则，故，，故， ，故，此时至少包含5个元素，不符合4元美子集的要求， 而，故此时，故，则，故，， 故，得到，满足4元美子集要求， 则； 若，则，，，， 所以的最小值为20. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $