上海市南洋中学2026-2027学年高二上学期10月学习能力诊断测试数学试卷

高二年级数学学科10月学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．空间两条异面直线与所成的角的取值范围是______．（用区间表示） 2．已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为______． 3．已知在正方体中，，若，则______． 4．在正四面体中，异面直线与所成角的大小为______． 5．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有______条． 6．已知、、是直线，是平面，、，则“平面”是“且”的______条件． 7．如图，正方形边长为，它是水平放置的某一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______． 8．如图，底面为正方形，顶点在底面上的射影为正方形的中心，侧面与底面所成的锐二面角为，侧棱与底面所成的角为，则______． 9．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．如图，底面为邪田，两畔、的长分别为1、3，正广长为，平面，则邪所在直线与平面所成角的大小为______． 10．在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且（），则点到平面的距离为______． 11．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______． 12．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，点，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”．如图，已知两个体积分别为，的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．对任意直线，平面上必有直线，使与成为（ ） A．平行直线 B．相交直线 C．异面直线 D．垂直直线 15．在正方形中，、分别是、的中点，是的中点．现在沿、及把这个正方形折起，使、、三点重合，重合后的点记为，那么（ ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 16．点为平面外的一点，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）证明：无论点在边的何处，都有． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正四棱柱，底面的边长为2，． （1）求二面角的大小；（结果用反三角形式表示） （2）求点到平面的距离． 19．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分） 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已知圆锥的母线长为，圆柱高为，底面的周长为． （1）求这种“笼具”的体积； （2）现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括底面）50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计算）的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到0.1元） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如图，在直四棱柱中，，，，，点为的中点，点在上，且满足，点在上，且满足． （1）求直四棱柱的侧面积； （2）以点为坐标原点，以为轴正半轴，以为轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量、、的坐标； （3）判断直线是否在平面上，并说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如图，已知直三棱柱中，且，，、、分别为、、的中点，为线段上一动点． （1）求直线与平面所成角的正切值； （2）证明：； （3）求锐二面角的余弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $