精品解析：吉林省长春市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

2026—2027学年度高三年级第一次调研测试 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到集合，再根据整数条件列举出集合，最后取两个集合的公共元素得到交集． 【详解】由，得，解得， 所以， 又， 所以． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， . 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，取、，可得， 故“”不是“”的充分条件； 若，则、，则，故，即有， 故“”是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的必要不充分条件. 4. 已知函数，则（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】将函数写成 的形式，利用乘积的求导法则求 ，可避免将多项式完全展开． 【详解】令 ，则 ． 由乘积的求导法则， 所以 5. 若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 6. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故选：A. 【点睛】构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题， 常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理，以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】已知，则. 因为，因此. 因为，所以，化简得. 进而，解得. 因为，所以，解得. 因此，解得. 8. 已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据命题的否定判断；对于B，根据函数的定点判断；对于C，根据抽象函数的定义域求法判断；对于D，对含参二次函数参数时分析判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故错误； 对于B，令，，故正确； 对于C，若函数的定义域为，则，所以， 所以函数的定义域是. 对于D，当时，不等式变为，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，故D错误. 10. 已知函数，其部分图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的单调递增区间为 C. 是函数图象的一个对称点 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数图象得到函数的最小正周期，即可判断A，可求出，结合正弦函数的性质即可判断BC，根据函数的平移变换得到函数解析式为，可判断D. 【详解】由图可知的最小值为，故， ，所以最小正周期，故A正确； 所以， 因为，所以， 解得，又，所以， 所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为，故B正确； 又，所以是函数图象的一个对称点，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象对应的解析式为，而的图象不关于原点对称，故D错误. 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知​，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 13. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，由题意知在内有两个不等实根，再结合二次方程根的分布列不等式即可求得m的范围. 【详解】作出的图象， 令，则方程，即为， 有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 14. 教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质把变形成，即，再找出对称中心. 【详解】因为， ， ， 所以， 因为为奇函数，则也奇函数， 所以关于点对称， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． （1）求的值及的对称中心； （2）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的性质求出的值，以及对称中心； （2）根据正弦型函数的图象变换求出的解析式，再由正弦函数的图象性质即可求得该函数在给定区间上的值域. 【小问1详解】 由 ， 因，是函数的两个零点，且的最小值为， 则函数的周期，即，解得，则. 由，可得. 故，的对称中心为； 【小问2详解】 依题意，将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位， 可得， 因，则，由正弦函数的图象性质可得， 故在上的值域为. 16. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，不等式化简为，从而得解； （2）问题等价于，转化为求两个函数的最小值，进而得解. 【小问1详解】 因为，， 当时，由，得， 所以，即，解得， 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 因为对任意的，存在，不等式成立， 所以当，时，， 当时，单调递增，所以， 又函数开口向下，对称轴为，由于， 当，即时，， 所以由，得，解得，此时； 当，即时，， 所以由，得，解得，此时； 综上，，则实数的取值范围为. 17. 若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知 （1）求函数的拐点； （2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：． 【答案】（1）2 （2） （3）令， 因为函数在和处的切线斜率相等， 所以， 由（2）可知，在上递减，在上递增，且时，的图象如下图所示： 故， 要证明，即证， 即证，即证． 不妨设， 则， 因为，所以，，所以， 所以，故在上递减， 因此，，即，即． 【解析】 【分析】（1）先求一阶导和二阶导，令二阶导为零得 ，再验证二阶导在  左右两侧符号相反（由负变正），确定拐点为； （2）利用二阶导符号判断的单调性，找到其最小值点 ，并分析在两侧的极限和零点；结合函数图象与水平直线有两个交点，得出参数  的取值范围； （3）构造函数，由  推出 ，要证 ，等价于证 ，令 ，通过求导判断其单调性，利用端点值  完成证明． 【小问1详解】 ， 令，得， 因为在上为负，上为正， 所以的拐点为2. 【小问2详解】 由（1）知当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，；当；当． 令，得， 的大致图象如下所示， 当直线与的图象有两个交点时，． 【小问3详解】 略. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长； （3）若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系将余弦函数转化为正弦函数，再利用正弦定理进行角化边，最后利用余弦定理进行求解； （2）等面积法求出a，b的关系式，再联立（1）中所得边的关系式求出，从而求得三角形的周长； （3）利用内心性质求出，设角变量，正弦定理表示边长，然后代入面积公式写出面积的表达式，利用三角恒等变换进行化简，由锐角三角形条件确定面积表达式的定义域，最后根据正弦函数的图像与性质求值域. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 又，所以． 【小问2详解】 因为为角的平分线，可得， 因为，且， 所以，即，① 由（1）知，所以，② 联立①②，解得或（舍去）， 所以的周长为． 【小问3详解】 因为为的内心，，所以， 设，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以，， 所以 因为，为锐角三角形，所以即， 所以，即， 则， 所以的面积的取值范围为． 19. 已知函数，（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意恒成立，求整数a的最小值. 【答案】（1） （2）函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）1 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出函数导数，再利用求导数判断导函数的符号，即可得到原函数的单调区间； （3）原不等式恒成立转化为，构造函数，根据单调性转化为对任意恒成立，分离参数后得，由导数求出的最大值即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以， 设， 则， 又因为，所以，即单调递增， 又因为，所以时，，即； 时，，即， 综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 因为对任意恒成， 即，， 即， 即， 设，则， 易知单调递增，所以， 所以单调递增，则原不等式等价于， 即 对任意恒成立， 所以，令，则， 又因为， 令，则，所以单调递减; 又因为，， 所以， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 所以， 所以，而， 所以整数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点之一在于对原不等式进行恰当转化，第二关键点在于结合构造函数再对不等式变形后构造出恰当函数，利用导数判断出所构造函数的单调性，再次转化恒成立结论，第三关键点在于会找函数的隐零点，得到，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高三年级第一次调研测试 数学科试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 30 5. 若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（  ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c且，且，那么△ABC外接圆的半径为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域是 D. 不等式对一切实数恒成立的充要条件是 10. 已知函数，其部分图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的单调递增区间为 C. 是函数图象的一个对称点 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______. 13. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______ 14. 教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系：若为奇函数，则的图象关于点中心对称，易知：是奇函数，则图象的对称中心是__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为． （1）求的值及的对称中心； （2）将函数的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域. 16. 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意的，存在，使不等式成立，求实数m的取值范围. 17. 若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间内有二阶导数，，使，且存在，在上的符号与在上的符号相反，则为的拐点．已知 （1）求函数的拐点； （2）已知直线与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （3）已知函数在和处的切线斜率相等，证明：． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，，且． （1）求； （2）若角的平分线交于，，求的周长； （3）若为锐角三角形，为的内心，求的面积的取值范围． 19. 已知函数，（）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意恒成立，求整数a的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $