精品解析：吉林长春汽车经济技术开发区第六中学2026-2027学年高三上学期第一次考试数学试题

2027届高三校内第一次考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A、B，进而求得 【详解】因为, 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算与复数的几何意义可得. 【详解】， 由与对应的点关于虚轴对称， 则. 故选：B. 3. 已知，若，则m的取值为（ ） A. 2 B. 1 C. -4 D. 2或-4 【答案】D 【解析】 【分析】令，得出和的关系，求出后列出方程求解即可. 【详解】令，则， 其中是的系数，， 所以由题可知， 所以， 所以或， 所以m的取值为2或-4. 4. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出. 【详解】因为，所以； 当时，，此时显然单调递增， 所以可以推出为递增数列； 当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足， 所以为递增数列不能推出， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由圆锥曲线，可知， 则，所以，曲线为双曲线， 所以焦距为， 解得，则， 所以离心率. 6. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 . 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】对 A 作差判号，对 B 按"改量词、否结论、条件不动"的规则检验否定，对 C 取 举反例，对 D 用乘"1"的代换配合基本不等式求最小值并验证等号可取. 【详解】A项，由 知 、 同号，， 当 时，分子 、分母 ，该差小于 ，即 ，A正确； B项，全称命题"，"的否定只需把量词改为存在、结论改为否定， 条件 保持不变，应为"，"，B错误； C项，当 时，，不等式不成立，C错误； D项，由 得 ， 此时 ，即 ，结合 得 、， 等号可以取到，故最小值为 ，D正确. 10. 已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设的抽象函数关系式，通过赋值代入计算，利用函数的奇偶性定义即可逐一判断选项. 【详解】对于A，因①，②， 令，则有 两式相减得，即，故A错误； 对于B，在①式中，令， 得， 即，因为是上的非常值函数，所以，即，故B正确； 对于C，在②式中，将替换成，可得，则有，故C正确； 对于D，在②式中，令，再将替换成，可得，即是偶函数， 再对①式，将替换成，可得③， 再对②式，将替换成，可得 ④， 由④-③，可得，即 因为是上的非常值函数，所以， 即是奇函数，又因为是偶函数，所以为奇函数，故D正确. 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得，即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联立直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，由得， 则， 令，解得， 又，所以的拐点是，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【解析】 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，则函数的定义域为，从而函数的定义域为，则函数的定义域是. 14. 在和上递增，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，函数分为两部分；在二次式两根外侧，是一次函数；在两根之间，是开口向上的二次函数，分析可得一次函数递增得，落在负根外侧，包含两根之间及正根外侧两部分区间，对称轴需满足以保证区间内函数递增，列式解答，即可得到答案. 【详解】令，原函数可改写为：， 当，即时，， 当，即时，， 二次函数的判别式，所以恒有两个零点， 设为，由韦达定理可得，说明两个零点一正一负：， 所以的解集为，的解集为； 当或时，是一次函数，在和上递增， 所以一次项系数必须满足； 当时，是开口向上的抛物线，对称轴，， 为保证函数在区间上单调递增，需二次函数对称轴，解得， 为保证函数在区间上单调递增，需， 当时，，满足， 综上可得， 故实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求周长的范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 由已知等式：展开左边得：，移项化简得：，由正弦定理得：，由余弦定理 得，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，且，由正弦定理得：，所以，三角形周长，因为，所以，其中. 由于， 因为，所以，所以， 因此，周长. 16. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）函数恒成立问题结合二次函数的性质与图象分类讨论得出参数范围； （2）先因式分解，再针对参数分情况讨论，得出解集． 【小问1详解】 由题意恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，得，得； 综上可得，的取值范围是. 【小问2详解】 由题，即， ①当时，，解得，所以不等式的解集为， 当时，或； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为或； ④当时，，不等式的解集为； ⑤当时，，不等式的解集为，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17. 某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量．原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化．为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关； （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为，求的数学期望． 附，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为产品质量与生产线有关 （2） 【解析】 【分析】（1）给出零假设：产品的质量与生产线无关，再计算，结合参考数据，即可判断； （2）根据列联表中数据，计算总体优等品的概率；结合服从二项分布，写出对应取值的概率，以及的数学期望即可． 【小问1详解】 零假设：产品的质量与生产线无关； ， 根据的独立性检验，拒绝零假设，并认为产品的质量与生产线有关； 【小问2详解】 甲生产线优等品概率：，乙生产线优等品概率：； 混合产品中，甲乙数量比为，故甲产品占比，乙产品占比； 故总体优等品概率为：； 由题可知：， ，， ，， 故的分布列如下所示： 的数学期望． 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若，都有，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据是定义域为的奇函数，结合的表达式可得定义域内的解析式； （2），都有转化为对任意恒成立，通过求解的最大值与最小值，可得. 【小问1详解】 函数是定义域为的奇函数，所以. 设，则，， 由是定义域为的奇函数可得. 综上所述 【小问2详解】 ，都有， 所以对任意恒成立. 时，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值也是最小值， 且当，当，所以， 又因为奇函数，则当时， 所以，即实数m的取值范围为 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； （2）当时，求函数的极值点的个数. 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （2） 若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）求导，结合导数的几何意义列式求解即可；（ⅱ）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）分和两种情况，令整理可得，构建，利用导数分析的单调性，结合的图象分析的极值点的个数. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， （ⅰ）由题意可知：，解得， （ⅱ）此时，， 若，则，可得， 可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：的单调递减区间为，，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减，无极值点； 若，令，整理得， 构建，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当x趋近于0时，趋近于1；当x趋近于时，趋近于； 作出的图象，如图所示： 且，可知： 当，则， 可知与有且仅有一个交点，可知有且仅有一个极值点； 当，则， 可知与没有交点，可知没有极值点； 综上所述：若，有0个极值点； 若，有且仅有1个极值点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三校内第一次考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则m的取值为（ ） A. 2 B. 1 C. -4 D. 2或-4 4. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 命题“，”的否定是“，” C. 若，则 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 为奇函数 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 ，则函数的解析式为_________. 13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______ 14. 在和上递增，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求周长的范围． 16. 已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 17. 某高科技制造企业致力于智能生产线的研发与应用，以提升关键精密元件的产品质量．原有甲生产线采用传统自动化技术，而新投入使用的乙生产线引入了基于物联网和大数据分析的智能调控系统，实现了生产参数的实时优化．为评估技术创新对产品质量的影响，质检部门从甲、乙两条生产线生产的同种产品中各随机抽取100件进行检测，得到如下列联表： 优等品 非优等品 合计 甲生产线 65 35 100 乙生产线 90 10 100 合计 155 45 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断产品的质量是否与生产线有关； （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从甲、乙两条生产线生产的此种产品中各随机抽取一定数量的产品混合在一起，其中甲、乙两条生产线的产品数量之比为2：3，若从混合产品中随机抽取3件，记这3件产品中优等品的个数为，求的数学期望． 附，其中． 0.100 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）若，都有，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线方程为， （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求函数的单调区间和极值； （2）当时，求函数的极值点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $