精品解析：吉林长春市第五中学2026-2027学年高三上学期期初大练习数学试题

2026-2027学年度高三年级上学期 数学学科期初大练习试题 满分150分 9月20日 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合，由交集运算即可求解. 【详解】 ， 所以 故选：B 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题否定的方法写出即可. 【详解】因命题“，”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以“，”的否定为：，. 故选：B 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 4. 方程的根所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 5. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，再由基本不等式得出答案. 【详解】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 7. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 若从因式选取，则需， 此时展开式中含的项为； 故展开式中的系数为. 故选：D 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数单调性及分段点处函数值的大小关系，得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可. 【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且， 则，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，令，则原式转化为，结合赋值法，以及二项展开式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 故选：ACD. 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据古典概率、条件概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 【答案】48 【解析】 【分析】先由甲乙一人担任旗手，再其余全排即可； 【详解】先甲乙选一人担任旗手，再将其余全排， 可得不同的安排方法种数为种， 故答案为：48. 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 【答案】 ①. 0.4## ②. 64 【解析】 【分析】由题意可知：，根据方差的性质可得；根据正态分布的对称性可得. 【详解】由题意可知：，即，所以； 因为，且， 所以. 故答案为：0.4；64. 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为方程的实根个数问题，通过求导分析函数单调性、极值与值域，结合判别式确定的取值范围. 【详解】函数有两个零点等价于方程有两个不同的实根， 由题可知函数的定义域为，求导得：， 令，解得临界点： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故函数极小值为，极大值为； ，当时，因此的值域为， 由，整理得：， 当时，方程为，仅有个实根，不符合“两个零点”； 当时，方程为一元二次方程，若要有两个不同实根， 需满足判别式：，解得，即， 且当时，方程仅有唯一实根或，不符合两个零点的要求； 故时，方程恰好存在两个不同的实根，即的两个零点， 综上实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可知函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值，即可求出函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 16. 2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及第80百分位数； （2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差． 【答案】（1），82.5 （2） 0 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数，再判断其服从二项分布，逐一求概率后列分布表并算期望； 【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． 又，故第80百分位数在，则， 所以第80百分位数为82.5． （2）成绩在的频率为， 用频率估计概率，则从全公司中随机抽取1人，成绩在的概率为0.25． 随机抽取3人，成绩在范围的人数服从二项分布， 则，，，，， 0 1 2 3 得到，． 17. 福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； （2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】（1）用最小二乘法公式求出回归系数，得到线性回归方程； （2）将销量代入回归方程，求出定价的预测值. 【小问1详解】 由题可知：， ； 计算得，， 所以，， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，． 所以若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元 18. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表1所示： 表1 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 30 女 12 合计 50 现邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表2所示： 表2 成功完成时间/分 人数 10 10 5 5 （1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关； （2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧三阶魔方的平均时间；（以频率作为概率，以区间的中点值作为本组的完成时间） （3）现从表2中成功完成时间在内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 8 30 女 8 12 20 合计 30 20 50 能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关 （2）（分）． （3） X 0 1 2 3 P ． 【解析】 【小问1详解】 依题意，补充完整的表1如下： 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 8 30 女 8 12 20 合计 30 20 50 由表中数据计算，得， 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关． 【小问2详解】 依题意，所求平均时间为. 【小问3详解】 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ，，，． 故的分布列为： 0 1 2 3 故． 19. 已知函数． （1）若a＝2，求函数在处的切线方程； （2）若函数的极大值不小于2a，求实数a的取值范围． 【答案】（1）x＋y－2＝0 （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解； （2）利用导数求得函数的极大值，得，再构造函数即可得解. 【小问1详解】 当a＝2时，，则， 所以， 所以在处的切线方程为：，即x＋y－2＝0． 【小问2详解】 因为函数的定义域为，又． ①当时，对任意的，， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不合题意，舍去． ②当时，令，得． 当时，，当时，， ∴函数在单调递增，在单调递减． 函数的极大值， 整理得：． 令，其中， 因为，所以函数在上单调递增，且． 由可得， ∴． 故实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三年级上学期 数学学科期初大练习试题 满分150分 9月20日 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，则集合（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ） A. 90 B. 120 C. 180 D. 200 4. 方程的根所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（ ） A. 13 B. C. D. 8 6. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 展开式中的系数为（ ） A. B. 24 C. D. 16 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 10. 若，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 11. 一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某中学每次升国旗仪式由1名旗手和4名护旗手进行，旗手需要掌握擎旗、展旗等技术，每名护旗手也各有不同的职责．现安排甲、乙、丙、丁、戊5人升国旗，其中甲和乙能担任旗手或护旗手，其他人只能担任护旗手，则不同的安排方法种数为________． 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 16. 2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及第80百分位数； （2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差． 17. 福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示： 12 12.5 13 13.5 14 14 13 11 9 8 （1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程； （2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数） 参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，． 18. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表1所示： 表1 性别 拧魔方习惯 合计 喜欢盲拧 不喜欢盲拧 男 22 30 女 12 合计 50 现邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表2所示： 表2 成功完成时间/分 人数 10 10 5 5 （1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧魔方与性别有关； （2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧三阶魔方的平均时间；（以频率作为概率，以区间的中点值作为本组的完成时间） （3）现从表2中成功完成时间在内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 19. 已知函数． （1）若a＝2，求函数在处的切线方程； （2）若函数的极大值不小于2a，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $