精品解析：江苏南京求真中学2026-2027学年八年级上学期10月学情数学自测试卷

2026~2027学年第一学期求真中学学情检测 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在四边形中，，相交于点O，，．则图中有（ ）对三角形全等． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 与的大小有关 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 计算：_______． 8. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是：_______． 9. 在中，，则________．（填“”、“”或“”） 10. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 11. 已知：，，，，则______． 12. 圆的面积扩大为原来的5倍，半径扩大为原来的______倍． 13. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 14. 如图，点C在直线上，．将一张纸片如图放置，，纸片的边在直线上平移，当以C，P，F为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数为______． 15. 已知，，，为中点，若，，则的长为______． 16. 如图，在等腰直角中，，，，点D是边上一个定点，点E是边上一个动点，连接，在的右侧以为斜边作等腰直角，，，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求x的值或计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，，，是角平分线，点D是边上一点，连接，若，求的度数． 19. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 20. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等． （1）填空：已知，如图，在中，，和分别是______．求证：_____． （2）完成证明过程． 21. 已知：在四边形和四边形中，，，，，．求证：． 22. 尺规作图：已知线段m和，用两种不同的方法作，使得，，．要求：（1）用无刻度直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 23. 已知：如图，在四边形中，，F为中点，连接，延长交于点E（点E不与点A、B重合）． （1）求证：； （2）若，为等腰三角形，求的度数． 24. 【阅读材料】物理学中的费马原理指出：光从一点传到另一点，总是沿“路程最短”的路线传播（直线传播、镜面反射都是如此）．可见“最短”是自然界普遍遵循的法则，而数学上实现“最短”的核心手段只有一个——把折线拉直（两点之间，线段最短）．我们已经会用“对称”把两条线段的和拉直；现在难度升级：三条线段的和，还能拉直吗？ 【问题情境】某园区要在形如的区域内建一座光信号中继站P，用三条直的光缆分别连接、、三地（的三个内角都小于）．怎样选址，才能使三条光缆的总长最小？ （1）探究一 作图与猜想如图1，尺规作图： ①以为边，在的外部作等边三角形； ②以为边，在的外部作等边三角形； ③连接、，设它们相交于点． 求证：． （2）探究二 证明“最小”填空： 如图2，设是内任意一点．把绕点旋转（旋转后点恰好落在点处），得到等边，点落在点处．易得______，______；所以_____；再说明探究一中作出的点恰好使等号成立，从而求出的最小值． （3）探究三 两两成与临界退化 由探究二，等号成立时、、、四点在同一条直线上，则，点就是使得三条光缆总长最小的中继站点． 如图3，在形如的区域中，若，则将中继站建在点处．此时三条光缆的总长最小，为________（用的边长表示），并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期求真中学学情检测 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 3. 如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角形． 【详解】解： A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； 故选：D． 4. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 5. 如图，在四边形中，，相交于点O，，．则图中有（ ）对三角形全等． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ∴图中有4对全等三角形． 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 与的大小有关 【答案】A 【解析】 【分析】设，，求出，继而得到，，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，， ， 由题意得，， ，， ，， ． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 计算：_______． 【答案】5 【解析】 【详解】解：． 8. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意已知一组边相等，一个公共角相等，再添加一个角相等即可求解； 【详解】解：添加， ∵，，， ∴（答案不唯一）． 9. 在中，，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答． 【详解】解：在中，，即， ∵对，对，根据大边对大角， ∴． 故答案为：． 10. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 11. 已知：，，，，则______． 【答案】5 【解析】 【详解】解：， ． 12. 圆的面积扩大为原来的5倍，半径扩大为原来的______倍． 【答案】 【解析】 【分析】设圆原来的半径为，扩大后圆的半径为，圆原来的面积为，则扩大后圆的面积为，把、都用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：设圆原来的半径为，扩大后圆的半径为，圆原来的面积为，则扩大后圆的面积为， 则有， 可得：，， ， 半径扩大为原来的倍． 13. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 【答案】3 【解析】 【分析】过P作于点D，则，从而得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过P作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，，， ∴， ∴． 14. 如图，点C在直线上，．将一张纸片如图放置，，纸片的边在直线上平移，当以C，P，F为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解： 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，的度数为或． 15. 已知，，，为中点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，同角的余角相等，用证明，得到，再用证明，全等三角形对应的边相等． 【详解】解：过点作交延长线于点，则，如图所示， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ． 16. 如图，在等腰直角中，，，，点D是边上一个定点，点E是边上一个动点，连接，在的右侧以为斜边作等腰直角，，，连接，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】用勾股定理求出，过点F作交于点H，作交于点K，利用全等判定定理证明，得到，根据角的平分线的判定定理可知点F在的平分线上运动，点到线之间，垂线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在等腰直角中，，，， 有勾股定理得：， ， 过点F作交于点H，作交于点K，则，如下图所示， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 平分， ， 当时，取得最小值， 当时，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ． 【点睛】分析点F的运动轨迹，点到线之间，垂线段最短． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求x的值或计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）根据化简绝对值，零指数幂，算术平方根进行计算即可求解； （2）根据零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根进行计算即可求解； （3）先移项，再根据平方根的定义解方程即可求解； （4）根据平方根的定义解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ，． 18. 如图，在中，，，是角平分线，点D是边上一点，连接，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，求出的度数，再根据等边对等角结合三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴. 19. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【小问1详解】 解：由题意得 化简得： 解得： 【小问2详解】 将代入，得： 9的算术平方根是3． 20. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等． （1）填空：已知，如图，在中，，和分别是______．求证：_____． （2）完成证明过程． 【答案】（1）腰上的中线； （2）证明：∵和分别是的腰上的中线， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意，易得和分别是的中线，求证； （2）证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：在四边形和四边形中，，，，，．求证：． 【答案】证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴. 【解析】 【分析】连接，证明，得出，，再证明即可证明结论． 【详解】略 22. 尺规作图：已知线段m和，用两种不同的方法作，使得，，．要求：（1）用无刻度直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 方法一：先作，在上截取，再作的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，则即为所求作； 方法二：先作，在上截取，再以为边在外作，在上取点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，交于点Q，最后作，交于点C，则即为所求作； 【解析】 【分析】方法一：先作，在上截取，再作的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，则即为所求作； 方法二：先作，在上截取，再以为边在外作，在上取点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，交于点Q，最后作，交于点C，则即为所求作； 【详解】解：方法一：连接， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 则满足要求； 方法二：由作图知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则满足要求． 23. 已知：如图，在四边形中，，F为中点，连接，延长交于点E（点E不与点A、B重合）． （1）求证：； （2）若，为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，延长到点，使得，连接， ∵F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可证明， ∴； （2）或 【解析】 【分析】（1）延长到点，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即，则可证明，同理可证明，则； （2）由等边对等角得到，，则；再分三种情况①当时， ②当时， ③当时，讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，， ∴； 设，则， ①当时，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当时，，则， 解得， ∴； ③当时，， ∵， ∴， 解得 ∴， ∴，即此时点E与点B重合，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 24. 【阅读材料】物理学中的费马原理指出：光从一点传到另一点，总是沿“路程最短”的路线传播（直线传播、镜面反射都是如此）．可见“最短”是自然界普遍遵循的法则，而数学上实现“最短”的核心手段只有一个——把折线拉直（两点之间，线段最短）．我们已经会用“对称”把两条线段的和拉直；现在难度升级：三条线段的和，还能拉直吗？ 【问题情境】某园区要在形如的区域内建一座光信号中继站P，用三条直的光缆分别连接、、三地（的三个内角都小于）．怎样选址，才能使三条光缆的总长最小？ （1）探究一 作图与猜想如图1，尺规作图： ①以为边，在的外部作等边三角形； ②以为边，在的外部作等边三角形； ③连接、，设它们相交于点． 求证：． （2）探究二 证明“最小”填空： 如图2，设是内任意一点．把绕点旋转（旋转后点恰好落在点处），得到等边，点落在点处．易得______，______；所以_____；再说明探究一中作出的点恰好使等号成立，从而求出的最小值． （3）探究三 两两成与临界退化 由探究二，等号成立时、、、四点在同一条直线上，则，点就是使得三条光缆总长最小的中继站点． 如图3，在形如的区域中，若，则将中继站建在点处．此时三条光缆的总长最小，为________（用的边长表示），并说明理由． 【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2），， （3） ，理由：如图，在的外部作等边三角形；在的外部作等边三角形；连接、，设它们相交于点． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴、、三点共线，且点在线段上， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴、、三点共线，即探究一中的交点与点重合． 由（2）知，当、、、四点共线时，取得最小值， ∴把中继站建在点处时，三条光缆的总长最小，最小值为． 【解析】 【分析】（1）要证，只需证明这两条线段所在的两个三角形全等——由等边三角形的性质可得两组边相等和一组夹角相等，用“边角边”即可证得； （2）把绕点旋转，利用旋转中对应线段相等，把、分别转化为、，再用“两点之间线段最短”得出； （3）当时，等号成立的位置退化到顶点，先由与互补得、、三点共线，再说明把中继站建在点处时总长最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵绕点旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短，， ∴． 等号成立当且仅当、、、四点在同一条直线上． 下面说明探究一中的点恰好使等号成立： ∵，且、、， ∴把绕点旋转后可与重合，即点落在点处、点落在点处， ∴直线旋转后成为直线． ∵是直线与直线的交点， ∴旋转后的对应点在直线上；又也在直线上， ∴、、、四点在同一条直线上，即等号成立． ∴． ∴当取探究一中作出的点时，取得最小值，最小值为（由（1）知）． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $