江苏南京求真中学2026-2027学年八年级上学期10月学情数学自测试卷

2026~2027学年第一学期求真中学学情检测 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 化简的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，在四边形中，，相交于点O，，．则图中有（ ）对三角形全等． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 与的大小有关 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 计算：_______． 8. 如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是：_______． 9. 在中，，则________．（填“”、“”或“”） 10. 若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为___________． 11. 已知：，，，，则______． 12. 圆的面积扩大为原来的5倍，半径扩大为原来的______倍． 13. 如图，已知，点P在边上，，点M，N在边上，．若，则的长是____． 14. 如图，点C在直线上，．将一张纸片如图放置，，纸片的边在直线上平移，当以C，P，F为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数为______． 15. 已知，，，为中点，若，，则的长为______． 16. 如图，在等腰直角中，，，，点D是边上一个定点，点E是边上一个动点，连接，在的右侧以为斜边作等腰直角，，，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求x的值或计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，，，是角平分线，点D是边上一点，连接，若，求的度数． 19. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 20. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等． （1）填空：已知，如图，在中，，和分别是______．求证：_____． （2）完成证明过程． 21. 已知：在四边形和四边形中，，，，，．求证：． 22. 尺规作图：已知线段m和，用两种不同的方法作，使得，，．要求：（1）用无刻度直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 23. 已知：如图，在四边形中，，F为中点，连接，延长交于点E（点E不与点A、B重合）． （1）求证：； （2）若，为等腰三角形，求的度数． 24. 【阅读材料】物理学中的费马原理指出：光从一点传到另一点，总是沿“路程最短”的路线传播（直线传播、镜面反射都是如此）．可见“最短”是自然界普遍遵循的法则，而数学上实现“最短”的核心手段只有一个——把折线拉直（两点之间，线段最短）．我们已经会用“对称”把两条线段的和拉直；现在难度升级：三条线段的和，还能拉直吗？ 【问题情境】某园区要在形如的区域内建一座光信号中继站P，用三条直的光缆分别连接、、三地（的三个内角都小于）．怎样选址，才能使三条光缆的总长最小？ （1）探究一 作图与猜想如图1，尺规作图： ①以为边，在的外部作等边三角形； ②以为边，在的外部作等边三角形； ③连接、，设它们相交于点． 求证：． （2）探究二 证明“最小”填空： 如图2，设是内任意一点．把绕点旋转（旋转后点恰好落在点处），得到等边，点落在点处．易得______，______；所以_____；再说明探究一中作出的点恰好使等号成立，从而求出的最小值． （3）探究三 两两成与临界退化 由探究二，等号成立时、、、四点在同一条直线上，则，点就是使得三条光缆总长最小的中继站点． 如图3，在形如的区域中，若，则将中继站建在点处．此时三条光缆的总长最小，为________（用的边长表示），并说明理由． 2026~2027学年第一学期求真中学学情检测 八年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 【7题答案】 【答案】5 【8题答案】 【答案】（答案不唯一） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】5 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共8小题，共68分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4）， 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）腰上的中线； （2）证明：∵和分别是的腰上的中线， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【21题答案】 【答案】证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴. 【22题答案】 【答案】 方法一：先作，在上截取，再作的垂直平分线，交于点D，再以点B为圆心，长为半径作弧，交于点C，连接，则即为所求作； 方法二：先作，在上截取，再以为边在外作，在上取点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接，交于点Q，最后作，交于点C，则即为所求作； 【23题答案】 【答案】（1）证明：如图所示，延长到点，使得，连接， ∵F为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可证明， ∴； （2）或 【24题答案】 【答案】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2），， （3） ，理由：如图，在的外部作等边三角形；在的外部作等边三角形；连接、，设它们相交于点． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴、、三点共线，且点在线段上， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴、、三点共线，即探究一中的交点与点重合． 由（2）知，当、、、四点共线时，取得最小值， ∴把中继站建在点处时，三条光缆的总长最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $