精品解析：江苏省天一中学宛山湖分校2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试题

江苏省天一中学宛山湖分校2026—2027学年第一学期 10月学情检测试卷高一数学 命题：盛红 审核：朱琳 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定规则，变换量词并否定结论即可得出结果 【详解】原命题为：，， 按规则否定：量词替换：将改为；取值范围保留：仍为； 结论否定：的否定为， 因此的否定为，. 2. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 3. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 4. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，解得，则，结合的范围即可求得． 【详解】解：令，， 则 ， 则， ∵ ， ∴ ． 又， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代数式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 故选：B. 6. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 当时，，即，符合题意； 当时，，即时， ，解得，所以； 综上所述：. 7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以， 所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得. A选项是充要条件，不成立； B选项中，不可推导出，B不成立； C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确； D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确. 故选：C. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 8. 若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为对任意，都有恒成立，参变分离可得，结合对勾函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】“存在，使得”为假命题， 则对任意，都有恒成立，整理可得， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，由，得，当时，由，得，故B错误； 对于C，， 又因为，所以，又，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又因为，所以，故D错误. 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 11. 对于集合A，B，我们把集合叫做集合A，B的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在t，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】首先求出集合，理解差集的定义，并求出，然后逐个进行判断即可. 【详解】由，解得， 则， 当时，， 又，则，，故A正确，B正确； 对于C，当时，，又， 此时， 且，所以可得：， 即时， 故C错误； 对于D，由，，又， 则，可得， 则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为或，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由不等式的解集为，则，且方程的两根为1和.则由韦达定理有，解得所以. 13. 已知，且，则n的取值集合为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知n为方程的根，当时，； 当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得， 此时，即. 综上所述：的取值集合为. 14. 已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据用x表示出y，根据可求出，同理可求．将配为，将构造为，利用基本不等式即可求解． 【详解】由可得 显然，故得， ∵，∴，同理． 可化为， 整理得， ∵，，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为， 故答案为：． 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 【答案】（1）或，. （2）或. 【解析】 【小问1详解】 解不等式，即，得，即， 不等式，则，解得或，或， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）及，得或. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系求出； （2）根据列关系式求解或利用结合补集思想求出. 【小问1详解】 由题意，得． “”是“”的充分条件，． 又， ，解得， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 方法一：命题“，”是真命题，． 下面讨论的情形： ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或，解得或，所以， 当时，，当时，． 综上，命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 方法二：命题“，”是真命题，． ． 即命题“，”是真命题时，实数的取值范围为． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省天一中学宛山湖分校2026—2027学年第一学期 10月学情检测试卷高一数学 命题：盛红 审核：朱琳 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，，则集合（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 11. 对于集合A，B，我们把集合叫做集合A，B的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在t，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知不等式的解集为或，则______. 13. 已知，且，则n的取值集合为______. 14. 已知，且，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $