3.5图形的位似 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3.5 图形的位似 教学目标 1.了解位似多边形的有关概念，能利用位似将一个图形放大或缩小。 2.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标，分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。 如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成.在图片 ①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都 经过镜头中心点O，且 都等于一个固定值.请你实际试 一试. 1 知识点 图形的位似 如图是两个相似五边形，设直线AA ′与BB ′相交于点O， 那么直线CC ′，DD ′，EE ′是否也都经过点O？ 位似多边形的定义： 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的 直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的 两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．k就是这两 个相似多边形的相似比． 要点精析：(1)位似图形必须同时满足：①两个图形是相似图 形；②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二 者缺一不可． (2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两 个位似图形之间． (3)常见的位似基本形构成如图所示： 例1 判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如 果是，请指出其位似中心． 解：①是位似图形，位似中心为点A；②是位似图形，位似 中心为点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中 心为点O；⑤不是位似图形 2 知识点 位似图形的性质 1.位似图形对应顶点的连线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于 相似比． 3. 位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对 应线段之比相等． 4. 两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相 似比，面积比等于相似比的平方． 注：利用位似图形的性质可将图形放大或缩小． 例2 △ABC与△A′B′C′是位似图形，且 △ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是(　　) 　 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 导引： ∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与 △A′B′C′的相似比是1∶2， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4. ∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12. D 3 知识点 位似图形的坐标变化规律 问题 1 　　如图(1)，在直角坐标系中，有 两点A(6，3)，B(6， 0).以原点O为 位似中心，相似比为 ，把线段 AB缩小.观察对应点之间坐标的变 化，你有什么发现? 　　如图 (2)，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4， 4)， O(0，0)，C(5，0).以点O为位似中心，相似比为2，将 △AOC放大. 观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现? 　　可以看出，图(1)中，把AB缩小后，A，B的对应点 为A′(2，1)，B′(2，0)； A′′ (－2，－1)，B′′ (－2，0). 　　图(2)中，把△AOC放大后，A，O，C的对应点为 A′(8，8)，O(0，0)， C′(10，0)，A′′ ( －8，－8)， O(0， 0)， C′′(10，0). 归 纳 　　在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中 心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 －k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对 应顶点的坐 标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0). 　　注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边 的比. 13 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为(　　) A．(3，2)　　　 B．(3，1)　　　 C．(2，2)　　　 D．(4，2) 例3 A 直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质求出 AD的长，然后根据△OAD∽△OBG，求出OB的长， 即可确定C点的坐标． ∵正方形BEFG的边长是6，∴BE＝EF＝6， ∵两正方形的相似比为1∶3. ∴ ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2. 根据位似图形的性质可知， ∴OB＝3.∴C点坐标为(3，2)．故选择A. 导引： 练习．在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为 （　　） A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（﹣2m，﹣2n） C．（m，n） D．（m，n）或（﹣m，﹣n） 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A (－2，4)，B (－2，0) ，O(0，0)以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 例 4 由于要画的图形是三角形， 所以关鍵是确定它的各顶 点坐标.根据 前面总结的 规律，点A的对应点A′的 坐标为 即(－3，6). 类似地，可以确定其他顶点的坐标. 分析： 如图，利用位似中对应点的 坐标的变化规律，分别取点 A′(－3， 6)，B′(－3，0) ， O(0，0)顺次连接点A′，B′， O，所得 △A′B′O就是要画 的一个图形. 解： 练习1.如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为　 　． 2．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为　 　　 　． 3.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　 　，　 　． 总 结 　一、定义及性质： 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一种对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有oP’=kOP(K不等于0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 　二、在平面直角坐标系中. 如果位似图形是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 －k. 若原图形中的某一点坐标为(x0，y0)则其对应点的坐 标 为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0). $